DESCOMPOSICIÓN Y COMPOSICIÓN RECTANGULAR DE VECTORES

El tratamiento gráfico de los vectores es conveniente para visualizar las fuerzas, pero con frecuencia no es muy preciso. Un método mucho más útil consiste en aprovechar la trigonometría del triángulo rectángulo simple, procedimiento que en gran medida se ha simplificado, gracias a las calculadoras actuales.

Además, los métodos trigonométricos pueden mejorar la precisión y la rapidez al determinar el vector resultante o para encontrar las componentes de un vector. Para conocer las componentes del vector, se traza una línea paralela a cada uno de los ejes, de tal manera que cada una pase por el extremo del vector (punta de flecha).

TEOREMA DE PITÁGORAS A2 + B2 = R2 R = A 2 + B 2 SENO: Es la razón entre la ordenada y la distancia al origen. COSENO: Es la razón entre la abscisa y la distancia al origen. Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ¡el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos! sen θ = y R cos θ = x R A2 + B2 = R2 El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto) TEOREMA DE PITÁGORAS Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2 R R R y y R y 𝒙 sen θ = cos θ = R R R = A 2 + B 2 θ θ θ θ - x θ θ θ x θ y = R sen θ x = R cos θ R R R R − y − y

Tg = CATETO OPUESTO CATETO ADYACENTE Tg = y R x R y Analicemos como está relacionada la función tangente sen θ = y R θ Tg = y x cos θ = x R CATETO OPUESTO Tg = y R x R R sen θ = y R y = R sen θ y = R sen θ Tg-1 = y x o Inv tg Tg = y x TANGENTE θ θ x cos θ = x R x = R cos θ CATETO ADYACENTE Tg = CATETO OPUESTO CATETO ADYACENTE

sen + sen + cos - cos + sen - sen - cos - cos + 90° a 180° 0° a 90° cos - cos + sen - sen - 180° a 270° 270° a 360° cos - cos +

SUMA DE VECTORES COLINEALES En este caso la resultante se determina mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores, teniendo en cuenta la siguiente regla de signos.

Ejemplo: Determinar la resultante de los siguientes vectores: Sabiendo: A = 4, B = -3, C = -3, D = 1 Solución: R = A + B + C + D Teniendo en cuenta la regla de signos: R = 4 – 3 – 3 + 1 ⇒ R = –1 El signo negativo indica que el vector está dirigido hacia la izquierda.

SISTEMAS RECTANGULARES DE DOS FUERZAS Si se suman dos vectores entre si, se dice que son perpendiculares, o sea, si =90°. Como se sabe, estos sistemas reciben dicho nombre porque forman entre si un ángulo recto.

Ejemplo: Hallar el valor de la fuerza resultante de los vectores de 30N y de 40N, los cuales forman entre sí un ángulo de 90°. 30 N 90° 40 N

Si se realiza la suma de dichos vectores por un método gráfico, obtenemos el triángulo rectángulo que se observa a la derecha. 30 N R 40 N

Como puede observarse dicho triángulo admite una solución geométrica. Entonces el módulo del vector resultante lo calcularemos empleando el Teorema de Pitágoras que establece: “en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos:

R = A 2 + B 2

Entonces, si sustituimos los valores de los vectores en la expresión anterior tenemos: R = 30 N 2 + 40 N 2 R = 900 N 2 + 1600 N 2 R = 2500 N 2 ∴ R = 50 N

Ahora bien, empleando el mismo triangulo vectorial podemos auxiliarnos de las funciones trigonométricas para calcular la dirección del vector resultante. La función más recomendable es la tangente natural que como recordarás es la relación del cateto opuesto y el cateto adyacente.

tgα = 30 N 40 N = 0.75 Finalmente para saber el valor de ángulo, acudimos a la tabla de valores naturales (función tangente), o bien a una calculadora científica y observamos que el ángulo buscado es: α = ángulo, tg = 0.75, por lo tanto: α = 36° 52’ 11’’

SUMA DE VECTORES CONCURRENTES Y COPLANARES

Puede realizarse con dos o más vectores Puede realizarse con dos o más vectores. Iniciaremos con el caso de dos vectores que forman un ángulo entre sí, que se resuelve por el método gráfico del paralelogramo, pero aquí lo haremos con cálculos matemáticos.

En este caso el módulo de la resultante se halla mediante d En este caso el módulo de la resultante se halla mediante d. la siguiente manera: R es el valor de la magnitud o módulo del vector resultante. A y B son los valores de las magnitudes o módulos de los vectores a sumar. θ es el ángulo de los vectores A y B a sumar.

Como los vectores al sumarse no forman un ángulo recto (90°) entre si, no es factible utilizar el teorema de Pitágoras directamente; Para poder calcular la resultante aremos uso de la ley de cosenos; «el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman»

𝒂 𝟐 = b 2 + c 2 − 2∗b∗c∗Cos A 𝒃 𝟐 = a 2 + c 2 − 2∗a∗c∗Cos B 𝒄 𝟐 = a 2 + b 2 − 2∗a∗b∗Cos C

La dirección del vector resultante se halla mediante la ley de senos. R sen (180 − θ) = a sen α = b sen β sen A = a sen B b sen B = b sen C c sen C = c sen B b

Ejemplo: Encuéntrese el valor del vector resultante del siguiente sistema de fuerzas:

Utilizando el método del triángulo vectorial, obtenemos un triángulo como el que se ve:

Empleando la ley de los cosenos se puede escribir: CÁLCULO DEL MÓDULO Empleando la ley de los cosenos se puede escribir: R2 = [(80 Kp)2 + (75 Kp)2] – [2(80 Kp)(75 Kp)(cos55°)] = (6400 Kp2 + 5625 Kp2) – [(160 Kp)(75 Kp)(0.574)] R2 = 12025Kp2 – 6888Kp2 = 5137 Kp2 R = 5137 kp 2 = 71.673 Kp

R =71.673 kp A = 75 kp θ 125° B = 80 kp

CÁLCULO DE LA DIRECCIÓN Empleando la ley de los senos puede escribirse: sen A a = sen C c Despejando sen A y sustituyendo los valores conocidos obtenemos: sen A = a sen C c = (75Kp)[sen (180°−125°)] 71.673Kp =

(75Kp)(0.8192) 71.673Kp = 61.44Kp 71.673Kp = 0.857 Por lo tanto aplicando la inversa seno del valor obtenido tenemos: A = 59°0’23.74’’ de dirección. Se tiene entonces que el módulo del vector resultante es de 71.673Kp; la dirección está definida por el ángulo de 59°0’23.74’’ que forma este vector con el plano horizontal y el sentido es hacia arriba.

SUMA DE VECTORES POR SUS COMPONENTES RECTANGULARES

Hallar el valor del vector resultante, del sistema de fuerzas que se muestra en la siguiente figura:

Despejando a x de la función coseno tenemos: R = 127.20 kp Sen θ = y R 43.49 kp A = 65 kp y = R sen θ Cos θ = x R θ = 42° θ = 19°52’32.07’’ Tg = y x B = 72 kp x = R cos θ 120.30 kp R = 120.30 kp 2 + 43.49 kp 2 R = 14472.09 kp2 + 1891.38 kp2 R = 16363.4701kp2 = 127.20 kp Despejando a x de la función coseno tenemos: Despejando a y de la función seno tenemos: R = A2 + B2 θ Tg = 43.49 kp 120.30 kp = 0.3615 Componentes x Componentes y θ 0° Bx = 72kp cos 0° By = 72 kp sen 0° θ = tg-1 (0.3615) 42° Ax = 65kp cos 42° Ay = 65kp sen 42° Fx = 72kp + 48.30 kp Fy = 0 kp + 43.49 kp θ = 19°52’32.07’’ Fx = 120.30 kp Fy = 43.49 kp

calcula el vector resultante del siguiente sistema de fuerzas, utilizando el método analítico

Tg = 93.5594 kp 189.0688 kp = 0.4948 θ Componentes x Componentes y 0° y = R sen θ 0° x = R cos θ F1 = 140 kp cos 0° F1 = 140 kp sen 0° Tg = y x 46° F2 = 170 kp cos 46° F2 = 170 kp sen 46° R = A2 + B2 70° F3= -150 kp cos 70° F3= 150 kp sen 70° 43° F4= -180 kp cos 43° F4= 180 kp sen 43° 96° F5= 140 kp cos 96° F5= -140 kp sen 96° 50° F6= 200 kp cos 50° F6= -200 kp sen 50° Fx= 189.0688 kp Fy = 93.5594 kp Tg = 93.5594 kp 189.0688 kp = 0.4948

Sacando la inversa tangente para obtener la dirección tenemos: Tg-1 (0.4948) = 26.3282 Calculamos la fuerza resultante: R = 189.0688 kp 2 + 93.5594 kp 2 R = 44500.3725 kp2 R = 210.9511 kp R = 210.9511 kp 93.5594 θ = 26°19’41.49’’ 189.0688 kp

ACTIVIDAD: 19 Lee en binas cuidadosamente y resuelve el siguiente ejercicio de opción múltiple, Indica con una cruz “X” la respuesta correcta. Método gráfico, que permite sumar vectores concurrentes y coplanares. ( ) Paralelogramo. ( ) Triángulo.

( ) Polígono. ( ) Descomposición. Cuando se suman tres o más vectores, ¿qué método gráfico de adición de vectores escogerías? ( ) Paralelogramo. ( ) Triángulo.

Permite obtener las componentes rectangulares de un vector. ( ) Paralelogramo. ( ) Triángulo. ( ) Polígono. ( ) Descomposición.

La aplicación del teorema de Pitágoras nos sirve para encontrar: ( ) La magnitud del vector resultante. ( ) La componente x del vector resultante. ( ) La componente y del vector resultante. ( ) La dirección del vector resultante.

Para encontrar la dirección de la resultante en el método del paralelogramo, se utiliza. ( ) La ley de los senos. ( ) La componente x del vector resultante. ( ) La componente y del vector resultante. ( ) La ley de los cosenos.

ACTIVIDAD: 20 En equipo de cinco integrantes, resuelve los siguientes problemas. Un objeto experimenta un desplazamiento de 80 Km en una dirección de 30° con respecto a la horizontal. Calcular sus componentes rectangulares por el método gráfico y analítico.

¿Cuál es la resultante de sumar una fuerza de 200N hacia el Norte y 300N hacia el Oeste? Utiliza los métodos gráfico y analítico para determinar la resultante.  Se tienen dos fuerzas F1= 50N y F2=30N, determina la resultante de ambas fuerzas en los siguientes casos aplicando el método analítico.

Las fuerzas tienen la misma dirección (θ = 0°). Las fuerzas tienen dirección horizontal y sentidos opuestos (F1 apunta a 180°). Las fuerzas son perpendiculares, la dirección de F1 es 0°. F2 forma un ángulo de 130° con F1, F1 está a 40° con respecto a un eje horizontal.

Luis, Laura y Diana están jalando una mochila; Luis jala con 550N hacia el Este, Laura con 350N a 40° al N del W y Diana con 400N hacia el Sur. ¿Cuál será la fuerza resultante y hacia dónde se moverá la mochila? Obtén la magnitud y dirección de la resultante aplicando el método gráfico del polígono y el método analítico.