Introducción a la geostadística Dr. José Luis Arumí R. Ingeniero Civil Ph. D.

Variables distribuidas espacialmente Las variables distribuidas espacialmente corresponden a datos que poseen cierta ubicación en el espacio, por lo que usualmente son estudiados a través de mapas. En general nos interesa el estudio de algún aspecto de estos datos ya sea sus valores máximos, mínimos o medios sobre alguna área de interés. Estas variables cumplen con el principio siguiente: “aquellas cosas que están más cerca se pueden parecer más que aquellas más separadas”. Esto quiere decir que la correlación entre valores de una propiedad medida en puntos cercanos tiende a ser mayor que la correlación de valores medidos en punto distantes. La estadística tradicional no es capaz de incorporar este principio de ahí el origen del estudio de la geoestadística.

Muestreo Muestreo irregular Muestreo regular y1, y1 ,u1 x5, y5,u5

Problema Dado un conjunto de datos medidos en ciertos puntos debemos estimar la variable en otros puntos y1, y1 ,u1 x5, y5,u5 x3, y3, ,u3 x4, y4 ,u4 x2, y2 ,u2 x, y ,û

Distribución espacial Dado un conjunto de datos medidos en ciertos puntos debemos estimar la distribución de la variable Datos Cuadrícula con valores nodales Distribución espacial de la variable

Algunas técnicas clásicas Polígonos de Thiessen Triangulación con interpolación

Es necesario desarrollar métodos mas precisos, con base matemática y sistematizables Kriging Método para realizar estimaciones lineales no sesgadas La interpolación lineal puntual se puede expresar por medio de la siguiente ecuación Valor a estimar en algún punto específico valor de la variable en puntos muestreados cercanos al lugar a interpolar Peso o ponderación que se le da a cada uno de los valores observados de la variable en el lugar Xi, para todo i desde uno hasta n

Los valores de  corresponden a pesos que son calculados mediante un sistema de n+1 ecuaciones En este sistema existen n incognitas (i...n) mas el multiplicador de Lagrange  Covarianza entre los puntos xi y xj separados a una distancia dada

Consideremos los puntos separados a una distancia L, La Correlación entre estos puntos esta dada por: y1, y1 ,u1 x5, y5,u5 x3, y3, ,u3 x4, y4 ,u4 x2, y2 ,u2

Después se calcula para todos los pares de puntos ubicados a una distancia entre L y 2L, y así sucesivamente. x7 x5 4L x2 x3 2L x1 L x11 3L x6 x10 x4 x5 x8 x12 x9

A menor distancia mayor correlación La distancia a la cual la correlación desaparece se denomina rango Correlograma: Cor(L) Cor(0)= Meseta = 2 Cor(rango) = 0 Meseta L Rango

Variograma El variograma es el complemento del Correlograma (0)= 0 (rango) = Meseta Meseta L Rango

Después se calcula para todos los pares de puntos ubicados a una distancia entre L y 2L, y así sucesivamente. x7 x5 4L x2 x3 2L x1 L x11 3L x6 x10 x4 x5 x8 x12 x9

Modelos de variogramas

Luego el Kriging queda descrito de la siguiente manera: Donde

Ejemplo Datos del Lago Walker Variograma experimental

Se debe ajustar un modelo de variograma Matriz de anisotropia

Ejemplo

Consideremos el caso de Nebraska Valle del Río Platte