Apuntes Matemáticas 2º ESO U.D. 15 * 2º ESO PROBABILIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO U.D. 15.3 * 2º ESO REGLA DE LAPLACE @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Frecuencia y Probabilidad FRECUENCIA RELATIVA La frecuencia relativa, hi, de una modalidad (suceso) en una serie estadística vimos que era el cociente entre la frecuencia absoluta de dicha modalidad (la cantidad de veces que se repetía dicho suceso) y la suma de todos los sucesos posibles. frecuencia absoluta de A fi hi(modalidad o suceso A) = --------------------------------------------------- = ------ sumatorio de frecuencias absolutas ∑fi PROBABILIDAD Cuando en un experimento aleatorio el número de veces que se repite es lo suficientemente grande, el valor de la frecuencia relativa de una modalidad o suceso tiende a estabilizarse, y a dicho valor lo llamamos probabilidad de dicho suceso. frecuencia absoluta de A fi p(modalidad o suceso A) = ----------------------------------------------- = ---- @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO LEY DE LAPLACE LEY DE LAPLACE La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. casos favorables P(A) = ------------------------------------ casos posibles o totales Para que se pueda aplicar la fórmula de Laplace TODOS y cada uno de los sucesos elementales deben ser EQUIPROBABLES, tener la misma probabilidad de que sucedan. CONDICIONES EQUIPROBABLES Una moneda no debe estar doblada, ni abultada o con más peso en una cara. Un dado no debe estar mellado, ni abultado o con más peso en una cara. Las bolas de una urna deben ser de la misma forma, peso y tamaño. La elección de una persona debe ser escrupulosamente aleatoria. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO LEY DE LAPLACE EJEMPLOS Lanzamiento de una moneda al aire. Casos posibles o totales E = {C, X}  2 Casos favorables al suceso “Salir una cara” {C}  1 P(A) = P(de que nos resulte cara) = casos favorables / casos posibles = 1 / 2 = 0,5 Lanzamiento de un dado al aire. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  6 Casos favorables al suceso “Salir un 5” {5}  1 P(A) = P(de que nos resulte 5) = casos favorables / casos posibles = 1 / 6 Casos favorables al suceso “Salir un número par” {2, 4, 6}  3 P(A) = P(de que nos resulte par) = casos favorables / casos posibles = 3 / 6 = 0,5 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO LEY DE LAPLACE … EJEMPLOS Lanzamiento de un dado al aire. Casos posibles o totales E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  6 Casos favorables al suceso “Salir un múltiplo de 3” {3, 6}  2 P(A) = P(de que nos resulte múltiplo de 3) = c. f. / c. p. = 2 / 6 = 1 / 3 Extracción de una carta de baraja española. Casos posibles o totales E = {1O, 2O, 3O, …CB, RB}  40 Casos favorables al suceso “Salir un oro”  10 P(A) = P(de que nos resulte oro) = c. f. / c. p. = 10 / 40 = 1 / 4 = 0,25 Casos favorables al suceso “Salir una figura”  12 P(A) = P(de que nos resulte una figura) = c. f. / c. p. = 12 / 40 = 3 / 10 = 0,30 ¿Qué vale la probabilidad de que la carta sea una figura de oros?. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO LEY DE LAPLACE … EJEMPLOS Extracción de una bola de una urna que contiene 5 bolas blancas y 3 bolas negras. Casos posibles o totales E = {B1, B2, B3, B4, B5, N1, N2, N3}  8 Casos favorables al suceso “Resulta blanca” {B1, B2, B3, B4, B5,  5 P(A) = P(de que nos resulte una bola blanca) = c. f. / c. p. = 5 / 8 = 0,625 Casos favorables al suceso “Resulta negra” {N1, N2, N3}  3 P(A) = P(de que nos resulte una bola blanca) = c. f. / c. p. = 3 / 8 = 0,375 Hacemos quinielas con un dado de tres caras con el 1, dos caras con la X y la otra cara con el 2. Tras lanzar el dado, halla la probabilidad de obtener X y de obtener 2. Casos posibles o totales E = {1, 1, 1, X, X , 2}  6 Casos favorables al suceso “Salir una X”  2 P(A) = P(de que nos resulte una X) = c. f. / c. p. = 2 / 6 = 1 / 3 P(B) = P(de que nos resulte un 2) = c. f. / c. p. = 1 / 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Valor de la Probabilidad IMPOSIBILIDAD Y CERTEZA Como el valor de las frecuencias relativas siempre está entre el 0 y el 1, el valor de la Probabilidad de un suceso será siempre: 0 ≤ P(A) ≤ 1 Cuando un suceso no se pueda dar nunca, se llama suceso imposible . P(Suceso imposible) = P(Ø)=0 Cuando un suceso se da siempre, se llama suceso seguro. P(Suceso seguro) = P(E)=1. Ejemplos: Sea A el suceso “Obtener un 8 en el lanzamiento de un dado normal” Como es un suceso imposible, entonces P(A) = 0 Sea A el suceso “Obtener un número entero en el lanzamiento de un dado normal” Como es un suceso seguro, entonces P(A) = 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO LEY DE LAPLACE Se lanza al aire un dado en forma de tetraedro. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3?. ¿Y de obtener un número primo? ¿Y de no obtener un 3? Espacio muestral: E={1,2,3,4} Suceso obtener un 3: A={3} Suceso obtener un número primo: B={1,2,3} Sucesos favorables 1 P(A) = ----------------------------- = -------- = 0,25 Sucesos posibles 4 Sucesos favorables 3 P(B) = ----------------------------- = -------- = 0,75 P(Ā) = 1 – P(A) = 1 – 0,25 = 0,75 IMPORTANTE La probabilidad de obtener un número primo no es igual que la de no obtener un 3. En este experimento es simple coincidencia. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO LEY DE LAPLACE Se lanza al aire un dado en forma de dodecaedro. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 7?. ¿Y de obtener un número múltiplo de 5? ¿Y de no obtener un 3? Espacio muestral: E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Suceso obtener un 3: A={3} Suceso obtener un múltiplo de 5: B={5,10} Sucesos favorables 1 P(A) = ----------------------------- = -------- = 0,0833 Sucesos posibles 12 Sucesos favorables 2 P(B) = ----------------------------- = -------- = 0,1667 _ P(3) = 1 – P(3) = 1 – P(7) = 1 – 0,0833 = 0,9167 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO