Comparación estadística de medias

Recordatorio sobre prueba de hipótesis Escoger un valor α (0.05) Escoger un test estadístico apropiado para comparar la hipótesis nula y alternativa Determinar la distribución del test estadístico si se asume que la hipótesis nula es verdadera Calcular los valores críticos de la distribución del test estadístico Compara la observación obtenida del muestreo con los valores críticos y tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula

Escoger un valor α. Usalmente 0.05 Escoger un test estadístico apropiado para comparar la hipótesis nula y alternativa Ej: H0 La probabilidad de encontrar adultos en el bosque es ϴ=0.5 H1 La probabilidad de encontrar adultos en el bosque es ϴ≠0.5

3) Determinar la distribución del test estadístico si se asume que la hipótesis nula es verdadera La hipótesis nula predice que la probabilidad de encontrar adultos en el bosque es ϴ=0.5 y el número de individuos muestreados es N=100 podemos calcular la distribución del muestreo 50 individuos adultos es el resultado más posible según la distribución binomial

5) Calcular los valores críticos de la distribución del test estadístico X≤ 40 X ≥ 60

5) Compara la observación obtenida del muestreo con los valores críticos y tomar la decisión de aceptar o rechazar la hipótesis nula Si el número de individuos adultos que encuentro está entre 41 y 59, acepto la hipótesis nula; pero si el número de adultos es menor a 40 o mayor a 60 rechazo la hipótesis nula. X=62 lo que me lleva a rechazar la hipótesis nula El test a producido un resultado significativo

Comparación de dos medias cuando se conoce le media y desviación estándar de la población Test Z

La población residente de pinzones µ= 67.5, desviación estándar=9.5 Isla Chirimoya Colonizadores Será que existen diferencias entre los pinzones colonizadores y los residentes? Como varía el tamaño de las alas entre pinzones residentes y pinzones colonizadores? La población residente de pinzones µ= 67.5, desviación estándar=9.5

Hipótesis estadística Ho: la media del tamaño de los pinzones colonizadores es igual a 67.5 H1: la media del tamaño de los pinzones colonizadores no es igual a 67.5

Aparte de estas hipótesis hay más información que conocemos sobre este problema. 1. El tamaño de las alas tienen una distribución normal 2. La desviación estándar de los valores es 9.5

Construcción de test estadístico Debemos examinar la diferencia entre la media de la muestra X y la media predicha por la hipótesis nula. En donde 𝑋 es la media de la muestra y μ0 es la media de la población. Si el valor de este cálculo es igual a 0, no podremos rechazar la hipótesis nula, y mientras más se aleje ese valor de 0, más oportunidades de rechazar la hipótesis nula. Pero que tan lejos debe ser ese valor para poder rechazar la hipótesis nula?

Distribución de la hipótesis nula Distribución normal: media y desviación estándar En el caso del ejercicio los individuos que llegan a la isla son una muestra de la población y la desviación estándar de muestras es igual al error estándar Si la hipótesis nula fuera verdadera la media de la distribución de las muestras sería

Cálculo del valor estándar Z Valor Z= Estandarización de la distribución normal

El 5% de la regiones críticas para el test Z siempre son las mismas

Supuestos del test Z Normalidad: Asume que la distribución de la población es normal. Independencia: Asume que las observaciones son independientes. Esto se asegura con un buen diseño experimental, en el que el muestreo sea aleatorio. Se conoce la desviación estándar de la población: Se asume que la desviación estándar de la población es conocida para poder realizar el test z, lo cual es casi imposible conocer. Por tanto este test no es muy popular.

Comparación de dos medias Test T de una muestra

El asumir que la desviación estándar de la muestra es la misma que la desviación estándar de la población puede ser sesgada. Existe otro test, que no necesita de ese supuesto. Es el test t. Este test utiliza el estimado de la desviación estándar, que se puede calcular con los mismos datos.

Distribución T Es una distribución continua parecida a la distribución normal pero con faldas que se extienden más. Esta situación ocurre cuando se piensa que una variable tiene una distribución normal, pero no conocemos su media ni la desviación estándar La distribución T está determinada por los grados de libertad

Distribución T Grados de libertad: Representan el número de datos independientes que se tienen para calcular un estimado de una población Mientras mayor los grados de libertad, la distribución t se asemejará más a la distribución normal.

Grados de libertad Supongamos que sabemos que el tamaño promedio de los Argentinos es 174 cm, y se quiere estimar la varianza. Tomamos un argentino al azar y tiene una altura de 176 cm Varianza (176-174)2 =4. Este cálculo esta basado en una pieza de información df=1 Tomamos otro argentino, y esta vez pesa 177 Varianza (176-174)2 + (177-174)2 /2=6.5 Dos grados de libertad

EstadísticoT El valor T expresa a distancia entre la media de la muestra y la media de la población en términos de desviaciones estándar de la media Si la media observada es igual a la media de la población, el valor T observado será igual a 0. Mientras más se aleje la media de la muestra de la media de la población el valor de T será mayor. Mientras el valor de T sea más alto, aumenta la probabilidad de que la media de la muestra sea diferente de la media de la población, en lugar de que sea simplemente el resultado de un error de muestreo.

Valores críticos de la distribución T

Cuando utilizar la distribución T La distribución de la población es normal La distribución es unimodal

Comparación de dos medias muestras independientes Test T

Cómo varía el tamaño del ala de aves capturadas entre individuos de las especies Metallura tyrianthina y Metallura baroni?

Hipótesis estadística Se quiere correr un test bilateral, lo que se quiere determinar es si dos muestras independientes provienen de poblaciones con la misma media (hipótesis nula) o con diferentes media (hipótesis alternativa). U1 representa la verdadera media del grupo 1 (Metallura baroni) y U2 representa la media del grupo 2 (Metallura tyrianthina). Como siempre X1 y X2 presentarán la media de las observaciones del grupo 1 y grupo 2 respectivamente. Nuestras hipótesis son las siguientes:

Construcción de las hipótesis estadísticas Construcción de la hipótesis nula. Si esta hipótesis fuera cierta, la diferencia entre las verdaderas medias de los dos grupos sería igual a 0. Como consecuencia, el test que utilizaremos se basará entre la diferencia que existe entre U1 y U2. Si la hipótesis nula fuera cierta la diferencia entre X1 y X2 será muy cerca de cero.

Test T Para hacer el cálculo del estadístico T, lo que se hace es restar la media de las observaciones de un grupo, de la media de las observaciones del otro grupo, y dividir esa diferencia para el error estándar: Como tenemos dos errores estándar (una por cada muestra), debemos calcular un promedio ponderado de la desviación estándar. S1=desviación estándar grupo 1 S2=desviación estándar grupo 2

Distribución T