MATEMÁTICAS FINANCIERAS BÁSICAS FACILITADOR: Carlos León con información suministrada por el Profesor Sixto De La Cruz Sep. -Octubre 2013

Agenda 1. Marco General 2. Operaciones financieras básicas 3. Ejemplos prácticos 4. Uso de la calculadora financiera

MARCO GENERAL

OPERACIONES FINANCIERAS BÁSICAS con fechas Días en el año Pagos al inicio o final Periodo de conversión de intereses Interés cobrado o pagado Plazo coincide con periodo de capitalización de intereses Descuento simple Interés equivalente (conversión) INTERÉS SIMPLE Capitalización Frecuencia de conversión Valor futuro Valor presente INTERÉS COMPUESTO Pago periódico (préstamo) Capitalización de ahorros periódicos Periodos necesarios Valor futuro Valor presente ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS Tablas de amortización Abonos no uniformes Flujos descontados: VPN, TIR Valuación de Bono, Acciones, Opciones, swap, futuros OTRAS

VF: Valor futuro, valor acumulado, monto al final del plazo VARIABLES BÁSICAS Periodo de conversión VP: Valor presente, monto inicial, capital, suma a prestar, suma a depositar VF: Valor futuro, valor acumulado, monto al final del plazo I : Monto o valor en dólares del interés, pago a intereses i : Tasa de interés (en porcentaje) PMT: Pago mensual, “letra mensual” n : Número de pagos, periodos, plazo, tiempo (Meses, años, trimestres, bimestres, semestres, años, etc.)

I=$1,000*0.18*3=$540 INTERÉS SIMPLE Capital gana intereses por todo el tiempo que dura la transacción I = VP*i*n Ejemplo: Préstamo (VP)= $1,000 i=18% N=3 añosººº I=$1,000*0.18*3=$540 VF=VP+I VF=$1,000+$540=$1,540 VF=VP+I VF=VP+VP*i*n VF=VP(1+i*n) VF=$1,000(1+0,18*3) VF=$1,000*1.54=$1,540

FRECUENCIA DE PAGO DE INTERESES (PERIODOS DE CONVERSIÓN) I = VP*i*n n= un año n= 6 meses n= 3 meses n= 4 meses n= 2 meses n= un mes n= un día (0.18/360)(30)=0.18*30/360=0.18/12 I=$1,000*0.18/1=$180 I=$1,000*0.18/2=$90 I=$1,000*0.18/4=$45 I=$1,000*0.18/3=$60 I=$1,000*0.18/6=$30 I=$1,000*0.18/12=$15 I=$1,000*0.18/360=$0.50

Interés simple exacto: año de 365 días BASE DE INTERESES Interés simple exacto: año de 365 días Interés simple ordinario: año de 360 días 10,000*0.12/365= 3.29 diario 10,000*0.12/360= 3.33 diario

I = VP*i*n I=37.00*.05= 1.85; VF=37.00+1.85= 38.85 VF= VP(1+i*n) EJERCICIO PRÁCTICO No 1: INTERÉS SIMPLE 1. Usted ha comprado una camisa de B/.37.00 en un almacén y al momento de hacer la fila en la caja se percata que sólo tiene B/.38.32 y para colmo se le quedó su tarjeta Bancomático. Le da mucha pena llegar a la caja y que no le alcance el dinero, porque quizás con el calculo del 5% se pase de la suma disponible. ¿Le alcanzará el dinero? I = VP*i*n I=37.00*.05= 1.85; VF=37.00+1.85= 38.85 VF= VP(1+i*n) VF= 37.00(1+.05)= 37.00*1.05= 38.85

EJERCICIO PRÁCTICO No 1: INTERÉS SIMPLE 2. Un cliente desea saber cuanto le pagarán de intereses por un plazo fijo de B/.10,000 si lo deja a un mes. La tasa que se paga actualmente para los depósitos a plazo a un mes es de 2 7/8. 2 7/8= 2.875 7/8=0.875 I= 10,000*0.022875/12= 23.96 3. Un Cliente se acerca a la banca de consumo para saber por cuanto tiene que hacer el cheque en el momento que va a cancelar el saldo de su préstamo. A la fecha de hoy 10 de octubre de 2007, tiene un saldo de B/,3,500 y lo piensa pagar todo el 15 de noviembre de 2007. La tasa de interés es de 9%. ¿Cuál es su respuesta al cliente? TIEMPO= 36 DÍAS VF= VP(1+ i*n) = 3,500(1 + 0.09*36/360)=3,500*1.009= 3,531.50 I=VP*i/360*36 I=3,500*0.09/360= B/.0.875*36= 31.50 VP= 3,500+31.50= 3,531.50

INTERÉS COMPUESTO

Ejemplo No 1: VF=VP(1+i)n VF=$1,000(1.005)36 Plazo fijo:$1,000 INTERÉS COMPUESTO A intervalos establecidos el interés vencido es agregado al capital y gana intereses. Se capitaliza. Ejemplo No 1: Plazo fijo:$1,000 i=6% anual, pago mensual N=3 años 1º mes VF=$1,000(1+0.06/12) = $1,000(1.005)= $1,005 2º mes VF=$1,005(1.005)=$1,010.25 3º mes VF=$1,010.25 (1.005)=$1,015.07 4º mes VF=$1,015.075 (1.005)=$1,020.15 VF=VP(1+i)n VF=$1,000(1.005)36 = $1,196.68 VP= VF/(1+i)n

La población estimada será de tres millones 350 mil habitantes INTERÉS COMPUESTO Ejemplo No 2: Panamá tiene una población actual de 3.3 millones de habitantes. Si la tasa de crecimiento anual es de 1.6%, cuantos habitantes habrá para el próximo censo del año 2010. i= 1.6% anual N=3 años VF= 3.3(1+0.016)3 = 3.3(1.016)= 3.35 La población estimada será de tres millones 350 mil habitantes VF=VP(1+i)n

Operaciones comunes ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS Monto máximo Tiempo en que se pagará un préstamo Monto máximo que se puede Recibir dada determinada capacidad de pago Calculo de amortizaciones Operaciones comunes Monto máximo que se pagara al final del préstamo Intereses cobrados en un préstamo, conociendo el plazo, pago mensual y monto

ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS, AMORTIZACIÓN DE PRÉSTAMOS Pagos iguales, efectuados a intervalos iguales de tiempo. Obligaciones pagadas mediante pagos iguales, efectuados en intervalos iguales de tiempo. VF PMT= ------------------ [(1+i)n-1] /i VP PMT= ------------------ 1- [(1+i)-n]/i

Ejemplo No 3: INTERÉS COMPUESTO PAGO MENSUAL: B/.1,741.62 Préstamo comercial por B/.150.00, a una tasa de interés anual de 7% a un plazo de 10 años. i= 7%/12=0.07/12=0.0058333 n=120 150,000 VP= ---------------------- 1-(1.0058333)-120/0.005833 150,000/((1-0.49759626)/0.00583333))=150,000/86.1264033=1,741.62 PAGO MENSUAL: B/.1,741.62

TASA NOMINAL Y EFECTIVA Dos tasas de interés con diferentes periodos de pago de interés (conversión) son equivalentes si producen el mismo interés compuesto al final del año. Cuando el interés es convertible más de una vez al año la tasa de interés anual dada se conoce como tasa nominal. La tasa de interés efectivamente ganada se conoce como tasa efectiva.

Tasa efectiva i =(1 + j/m)m - 1 i: Tasa de interés efectival J: Tasa de interés nominal m: Frecuencia de capitalización (periodo de conversión)

TASA NOMINAL, EFECTIVA Y EJEMPLO: Tasa de interés “i” equivalente a una tasa nominal de 5% pagada mensualmente Tasa equivalente: i = (1+0.05/12)12 i=(1.05/12)12- 1 = 0.05116190*100 = 5.11%

TASA NOMINAL y EFECTIVA: Ejemplo ¿Qué le convendría más a un cliente: Pactar un plazo fijo de B/.10,000 a un año con una tasa de interés de 6% o pactar el plazo fijo a un mes al 5 3/4% capitalizando los intereses? ¿Cuánto sería el monto del plazo fijo al final del año en ambos casos? ¿Cuál sería la tasa efectiva en el segundo caso? 1. A un año: PF al final del año = 10,000 * (1+0.06)= 10,600 Interés pagado = B/.600.00 2. A un mes capitalizable por un año: PF al final del año = 10,000*(1+0.0575/12)12= = 10,000*(1.004791) 12 = B/.10,590.39 Interés pagado = B/.590.39 3. Tasa efectiva: i =(1 + j/m)m - 1 i = (1.0575/12)12- 1 = 0.059039*100 = 5.9%

1. Calcular las tasas efectivas (i) para tasas nominales. de 0 1. Calcular las tasas efectivas (i) para tasas nominales de 0.25%, 7% y 21% con períodos de capitalización (m) semestral, trimestral, y mensual i =(1 + j/m)m – 1

i =(1 + j/m)m – 1 = (1+0.0425/12)12-1 = (1.003541667)12-1= 0.04333377 EJERCICIO PRÁCTICO No 2: TASA EFECTIVA Y NOMINAL ¿Cuál es la tasa efectiva de un depósito a plazo fijo a un año a una tasa de 4 ¼% anual si los intereses se pagan mensualmente? i =(1 + j/m)m – 1 = (1+0.0425/12)12-1 = (1.003541667)12-1= 0.04333377 = 0.04333377*100= 4.33% ¿Cuál es la tasa efectiva de interés de una línea de crédito de B/.50,000, pactada al 9% anual, con pago de intereses trimestrales = (1+0.09/4)4 -1 = 0.09383318 = 9.31%

CONCEPTO DE INTERÉS EFECTIVO PARA LA SUPERINTENDENCIA DE BANCOS

ACUERDO 3-2002 ARTICULO 1. NOCION DE INTERES. Se considera "interés" la suma que en cualquier forma o bajo cualquier nombre cobre el Banco por el uso del dinero. Se reputará como "interés" conforme al criterio anterior, cualesquiera sumas cobradas por el Banco al prestatario bajo diferentes denominaciones o cargos tales como "gastos de manejo", "comisiones de cierre", "gastos de cierre", “pago a comisionistas gestores de préstamos” o simplemente, "comisión" o “gasto”. Queda expresamente entendido que no forman parte de estas sumas, las denominaciones recibidas por el Banco a título de agente retenedor u otro similar, tales como, las dirigidas al Fondo Especial de Compensación de Intereses ("retención FECI"), a las Notarías para el pago de derechos notariales, al Registro Público para el pago de derechos de inscripción, a compañías de seguros para el pago de pólizas, a compañías avaluadoras para el pago de avalúos, en fin, al Estado y Municipios para el pago de tributos a cargo del prestatario o cobro de comisión por servicio de descuento. Cualquier diferencia positiva entre la suma recibida por el Banco y destinada al tercero, y la suma que efectivamente se remite al tercero se considerará, no obstante, como interés.

ACUERDO 3-2002 ARTICULO 4. NOCION DE TASA DE INTERES EFECTIVA. Se considera “Tasa de Interés Efectiva” aquella que representa el costo de uso del dinero expresado en forma anualizada que debe pagar el prestatario al Banco en concepto de “interés” – según la noción del Artículo 1 del presente Acuerdo – por el préstamo recibido, considerando el valor del dinero en el tiempo. La tasa de interés efectiva será calculada como una tasa interna de retorno de los flujos del préstamo, los cuales incluyen todas las sumas cobradas al prestatario que constituyen interés de conformidad con el Artículo 1. Para este cálculo se llevarán a cabo sucesivas iteraciones hasta que el valor presente neto del flujo de efectivo del préstamo sea igual a cero (0), o dicho de otra manera, sucesivas iteraciones hasta obtener una tasa que iguale a cero (0) el valor presente neto del flujo de efectivo del préstamo. ARTICULO 5. INFORMACION EN LOS CONTRATOS. Los Bancos indicarán la “Tasa de Interés Efectiva" de sus préstamos en todos los estados de cuenta de sus clientes o a petición de estos.

Administración de riesgos Valor del dinero en el tiempo PILARES ANALÍTICOS DE LAS FINANZAS VF=VP(1+i)n VP=VF/(1+i)n Valuación de un activo Administración de riesgos Valor del dinero en el tiempo

¿DE QUE DEPENDE EL VALOR DE UN ACTIVO? …DEL FLUJO DE EFECTIVO QUE GENERA

VALOR DE UN ACTIVO Acción: Precio inicial $50 Flujo (Dividendos): Análisis de dividendos Históricos (Dividendo esperado). Ejem. $1.50, $1.75, $1.80… Valor: Flujo actualizado CASA (B/.50,000): PARA VIVIR Inversión: Casa para alquilar Flujo (Alquiler): B/.1,500/mes = Rent/mes B/.1,500/50,000= 3% mes. Anual 36% Valor: Flujo actualizado Valor de un negocio: Suma del valor actualizado (VAN) del flujo de efectivo que genera el negocio Valor de un préstamo: Suma del valor actualizado del flujo de pagos que genera, utilizando la tasa de interés del mercado. Nota: El flujo de pagos depende del flujo del negocio, por lo tanto hay que conocerlo y vigilarlo.

VP=VF/(1+i)n ESTIMACIÓN DE LA TASA EFECTIVA TIR

EJERCICIO PRACTICO No 3 TASA EFECTIVA (TIR)= 6.3%

ALGO MÁS SOBRE TASAS

TASA DE RENDIMIENTO 18.4/509.2*100= 3.6%

TASA PROMEDIO PONDERADA 509.2/884.1= 0.6 7.5%*0.6=4.3% 72.4/884.1*100= 8.2%

TASAS DE REFERENCIA: TASA LIBOR La tasa LIBOR o London Interbanking Offered Rate, es la tasa que los bancos cobran a otros bancos en el mercado secundario de Londres. Como este índice oscila diariamente, representa en forma más actualizada el valor del dinero y es el preferido para los préstamos corporativos, inclusive en Estados Unidos.

TASA DE REFERENCIA: PRIME RATE Tasa de interés preferencial que se cobra a los mejores clientes (de mayor solvencia). Es la menor tasa de interés que cobran los bancos. El índice de la tasa prime más reconocido es el publicado en el periódico financiero Wall Street Journal  y está definido como la tasa de interés básica que se aplica a préstamos corporativos y es ofrecida por al menos un 75% de los 30 bancos principales de Estados Unidos.

USO DE LA DE LA CALCULADORA FC-100V

CONCEPTOS Y USO GENERAL DE LA CALCULADORA FINANCIERA CASIO FC 100V

-. Entrada de datos modo financieros Cursor Configuración Encendido “ON” Solución “SOLVE” Respuesta FC-200 V FC100 V Modos de calculo Apagado “SHIFT + OFF” -. Entrada de datos modo financieros -. Solución en modo de calculo

-. Cálculos de Cálculos Flujos de Amortización Interés Generales Y con funciones Flujos de efectivo Amortización Interés simple Interés compuesto Cálculos Estadísticos Y de regresión Conversión de tasa de interés Cálculos de días o fechas -. Cálculos de depreciación -. Compra y rendimiento anual -. Punto de equilibrio FC-200V Costo, precio de venta, margen de ganancia

CURSOR

CONFIGURACIÓN GENERAL Poner número o utilizar cursor CONFIGURACIÓN GENERAL SET-UP Payment: end …………… 1. Begin 2. End Date Mode: 365 ………… 1. 360 2. 365 Dn: CI …(Meses irregulares) … 1. CI 2. SI Date Input:MDY……………..1. MDY 2. DMY Digit Sep: Off…….........…… 1. Superscrpt 2. Subscript 3. Off Angle: Deg…………………..1. Deg 2. Rad 3. Gra Fix: Off…(Lugares decimales)…. Número Sci: Off…………….…………....Dígitos significativos Normal: 1…(Visualización de formato exponencial)1 2 STAT: Off………………..…..1. On 2. Off CONTRAST: ………….Contraste de pantalla 0.005 1/200) = 5 x 10-3

SHIFT CLR 9 + Clear? Setup :EXE Memory? :EXE All? :EXE *************************************************************** Clear Memory? EXE : Yes ESC : Cancel

USO FINANCIERO GENERAL GENERAL DE LA CALCULADORA FC-100V

MODO DE INTERÉS SIMPLE: SMPL MODO DE INTERÉS SIMPLE: Simple Int. Set: Dys = I% = PV= SI: SFV: ALL: EXE 1. 360 2. 365 120 EXE 5 EXE -10,000 EXE Ejemplo: Año 365 días Periodo de cálculo 120 días Tasa de interés: 5% Capital: $10,000 Monto de interés= $164.38 Monto futuro =$10,164.38 Solve 164.38 10,164,38 -164.38 ESC Solve -10,164.38 ESC Solve

MODO DE INTERÉS COMPUESTO: (Cálculos de interés compuesto y anualidades ciertas) ¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨¨ CMPD Compound Int. Set: n = I% = PV= PMT= FV= 0 P/Y: Número de pagos anuales (1,2,3,4,6,12) C/Y: Número de periodos de conversión (1,2,3,4,6,12) 1. Begin 2. End EXE 60 EXE MES PARCIAL 20/30 + 60 12 EXE -30,000 EXE Solve 667.33 Ejemplo: Préstamo por $30,000, pagadero mensualmente en un plazo de 5 años, a una tasa de interés de 12%. ¿Pago mensual? 12 EXE 12 EXE

MODO DE FLUJO DE EFECTIVO: CASH MODO DE FLUJO DE EFECTIVO: N 1 2 3 4 5 6 -100,000 EXE Cash Flow I% = Csh=D. Editor X NPV: Solve IRR: Solve PBP: Solve NFV: Solve 25,000 EXE 15.62 12 12 EXE 30,000 EXE 30,000 EXE EXE 35,000 EXE 35,000 EXE Solve 9,693.72 ESC ESC Solve 15.62 ESC Ejemplo: Inversión: 100,000, 5 años, Costo de oportunidad 12% Flujo neto de fondos: 25,000, 30,000, 30,000, 35,000, 35,000 Solve 4.51

MODO DE AMORTIZACIÓN: (Capital e intereses de un pago determinado y capital e intereses a un pago determinado) CMPD Amortization Set: ………….………… 1. Begin 2. End PM1= PM2= n = I% = PV= PMT= FV=0 P/Y: 12 C/Y: 12 BAL: INT: PRN: ΣINT: ΣPRN: 1 EXE 20 60 Saldo a capital en pago PM2 21,911.76 12 30,000 Ejemplo: Préstamo por $30,000, pagadero mensualmente en un plazo de 5 años, a una tasa de interés de 12%. ¿Capital e intereses del primer pago? ¿Saldo a capital e intereses totales pagados al pago 20? -667.33 Parte de intereses de pago PM1 -300 Parte de capital de pago PM1 367.33 Solve Interés total pagado desde el pago PM1 al PM2 -5,238.36 Solve Capital pagado desde PM1 A PM2 -8,088,24 Solve Solve Solve

667.33 - 300 TABLA DE AMORTIZACIÓN 30,000 X.012/12 30,000-367.33 SUMA

MODO DE CÁLCULO: (Cálculos generales y con funciones) COMP (3+5) + (2-20) 35 X 3 -10 105 EXE

MODO DE CONVERSIÓN DE TASA DE INTERÉS: (Tasa efectiva) CNVR MODO DE CONVERSIÓN DE TASA DE INTERÉS: (Tasa efectiva) Problema No 3 Problema No 2 Problema No 1 Conversión n = I% = EFF: SOLVE APR: SOLVE Ejemplo: 1. Tasa efectiva equivalente: 3% anual Compuesto bimestral 12% anual Compuesto mensual Tasa efectiva de 8.30% compuesta mensual ¿Tasa nominal? 12 6 EXE 12 3 8.3 EXE Solve 12.6825 3.0377 ESC 8.0 Solve

CALCULO DE DÍAS O FECHAS: DAYS Importante recordar el formato de fecha del SETUP inicial MDY o DMY Simple Int. Set: …………….………… 1. 360 2. 365 D1 = D2 = DAYS: 21022007 01022007 Solve 17042007 02042007 Ejemplo: ¿Cuántos días hay entre el 1 de febrero de 2007 y el 17 de abril de 2007 ¿Qué fecha cae 40 días después de el miércoles de ceniza 21/2/2007 40 Solve 71

!GRACIAS¡ SHIFT OFF AC