CAPITULO II: SOLUCION NUMÉRICA DE ECUACIONES Métodos Numéricos CAPITULO II: SOLUCION NUMÉRICA DE ECUACIONES
Introducción La solución de un problema puede, en parte, requerir la determinación de las raíces de una ecuación. Las raíces de una ecuación se definen como los valores de x que satisfacen la ecuación de la forma: f(x)=0. Ejemplos de estas ecuaciones son: f(x) = x2 + 3x + 2 = 0 g(x) = x6 - 2x5 - 3x4 + 16x2 - 2x +12 = 0 h(x) = x - tan x = 0. Las primeras dos ecuaciones son ejemplos de ecuaciones polinomiales, y la tercera es un ejemplo de una ecuación trascendente.
Tipos de Métodos Cerrados o Intervalos Necesitan de dos variables iniciales, es decir, un intervalo (limite superior, limite inferior) para encontrar un resultado aproximado a la raíz. Los valores iniciales deben ¨encerrar¨ a la raíz. Método de Bisección o Búsqueda Binaria.
Tipos de Métodos Abiertos Se basan en fórmulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierren a la raíz. Cuando los métodos abiertos convergen lo hacen más rápido que los métodos cerrados. Iteración simple de punto fijo (Aproximaciones sucesivas) Newton – Raphson Secante
Iteración simple de punto fijo (Aproximaciones sucesivas) Arreglar la ecuación f(x)=0 de tal modo que x esté del lado izquierdo de la ecuación: x=g(x) La transformación se realiza mediante operaciones algebraicas o simplemente sumando x a cada lado de la ecuación original. Ejemplos: 𝑥 2 −2𝑥+3=0 𝑥= 𝑥 2 +3 2 sin 𝑥 =0 𝑥= sin 𝑥 +𝑥
Iteración simple de punto fijo (Aproximaciones sucesivas) Fórmula: 𝑥 𝑖+1 =𝑔( 𝑥 𝑖 ) Dado un valor inicial para la raíz xi, la ecuación se utiliza para obtener una nueva aproximación xi+1. El error aproximado: 𝐸 𝑎 = 𝑥 𝑖 − 𝑥 𝑖−1 𝑥 𝑖 100%