MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO M.R.U.A.

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M. R. U. A El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (M.R.U.A.), es aquél en el que un móvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante; es decir, es aquél en que la velocidad aumenta o disminuye con la misma intensidad en cada unidad de tiempo. Este tipo de movimiento es importante porque se aplica a numerosos objetos en la naturaleza.

Por ejemplo, un objeto en caída libre cerca de la superficie terrestre se mueve en dirección vertical con aceleración constante, suponiendo que la resistencia del aire sea insignificante. Recordemos que la aceleración existe cuando cambia la velocidad, en magnitud, dirección o ambas.

Si la velocidad aumenta, es movimiento rectilíneo uniformemente acelerado; por ejemplo, el movimiento de un cuerpo que cae libremente o el de una canica que desciende por un plano inclinado. Si la velocidad disminuye, es movimiento rectilíneo uniformemente retardado; por ejemplo, el movimiento de un cuerpo lanzado hacia arriba en el vacío.

GRÁFICAS DEL M.R.U.A

Para el estudio de las gráficas del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado, tomaremos como ejemplo un objeto que se mueve con una aceleración de 4 m/s2, arrancando del origen, con una velocidad inicial cero. En el tiempo inicial t = 0, la aceleración es 4 m/s2, la distancia recorrida es 0 y la velocidad es 0 (cero).

En el tiempo t = 1 s, la aceleración es 4m/s2, la distancia recorrida es 2 y la velocidad es 4 m/s. Podemos obtener más valores, mediante la utilización de las fórmulas ya vistas: x f = x i + v i t + 1 2 a t 2 v f 2 = v i 2 +2a x f − x i vf = v i 2 +2a x f − x i

Luego ponemos los datos en una tabla y trazamos las gráficas x vs t, v vs t y a vs t t(s) x(m) v(m/s) 1 2 4 8 3 18 12 32 16 5 50 20 6 72 24 7 98 28 128 9 162 36 10 200 40

x (m) 240 200 260 120 80 40 t (s) -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

v (m/s) 48 40 32 24 16 8 t (s) -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

a (m/s2) 8 4 t (s) -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -4

Estas gráficas son representativas del M. R. U. A Estas gráficas son representativas del M.R.U.A. La gráfica xvst es del tipo parabólico; el objeto no recorre distancias iguales en tiempos iguales. La gráfica vvst es una recta inclinada; la velocidad presenta cambios iguales en tiempos iguales. La gráfica avst es una recta horizontal, lo que indica que tiene un valor constante.

En el caso de la gráfica vvst, es posible calcular fácilmente la pendiente, para obtener la aceleración. A mayor inclinación de la pendiente, en la gráfica vvst, se tiene una mayor aceleración. Para resumir, el M.R.U.A tiene las siguientes características: Movimiento que se realiza sobre una línea recta.

Velocidad variable; aumenta o disminuye cantidades iguales en tiempos iguales. La magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Aceleración constante, diferente de cero.

v (m/s) 48 El valor de la pendiente de la recta representa el valor de la aceleración del móvil a = v /t 40 32 v 24 16 t 8 t (s) -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Movimiento Uniformemente Acelerado Movimiento Uniformemente Decelerado En resumen, y comparando las gráficas del Movimiento Uniforme y el Uniformemente Acelerado o retardado: Gráfica s vs t v vs t a vs t Movimiento Uniforme recta recta con pendiente  0 recta que coincide con t Movimiento Uniformemente Acelerado parábola recta con pendiente 0, paralela a t, por sobre ella Movimiento Uniformemente Decelerado Recta con pendiente negativa recta con pendiente 0, paralela a t, bajo ella

RESUMEN DE FÓRMULAS

x = v f + v i 2 t vf = vi + at x = vi t + 1 2 at2 x = vf t − 1 2 at2 2ax = vf2 – vi2

x = a·t2 2 v = at a = v t a = v f − v i t

TIPS para resolver problemas de aceleración constante Lee el problema; luego traza un bosquejo y escribe en él los datos. Indica la dirección positiva de forma congruente. Establece los tres parámetros conocidos y los dos desconocidos. Asegúrate de que los signos y las unidades son las correctas y congruentes.

Sustituye las cantidades conocidas y resuelve la ecuación. Dados:   Encontrar: Selecciona la ecuación que incluya uno de los parámetros desconocidos, pero no al otro. Sustituye las cantidades conocidas y resuelve la ecuación.

Aquí cambia la magnitud de la velocidad, pero no la dirección Aquí cambia la magnitud de la velocidad, pero no la dirección. Vemos que por cada segundo de tiempo transcurrido, la velocidad aumenta en la misma cantidad: 6 m/s. Decimos que la velocidad cambia 6 m/s por cada segundo y que esa variación viene siendo lo que llamamos “aceleración”: a = 6m/s/s = 6 m/s2. Los datos los podemos visualizar mejor en una tabla:

dato t (s) v (m/s) 10 2 1 16 3 22 4 28 5 34 Calcularemos la aceleración con la fórmula que ya conocemos:

𝑎 = 𝑣 𝑡 = 𝒗 𝒇 − 𝒗 𝟎 𝒕 𝒇 − 𝒕 𝟎 = 𝒗 𝒇 − 𝒗 𝟎 𝒕 Para ello, seguimos los siguientes pasos: Escogemos arbitrariamente dos parejas de valores de tiempo y velocidad: los datos 2 y 4 A los de tiempo menor, les ponemos “i” de “inicial” y a los de tiempo mayor, les ponemos “f” de “final”

Los datos quedan de la siguiente manera. ti = 1 s, vi = 16 m/s tf = 3 s, vf = 28 m/s Luego: 𝑎= 28 m s − 16m s 3 s− 1 s = 12 m s 2 s =6 𝑚 𝑠 2 En cuanto a las velocidades, ya vimos que están cambiando, pero podemos calcular la velocidad promedio:

aquella que si permaneciera siempre constante, permitiría llegar al destino al mismo tiempo. Para calcularla en este ejemplo, podemos promediar las velocidades que tenemos, sumándolas todas ellas y dividiendo por el total de datos: v = 10+16+22+28+34 5 =22 m s También podemos obtener la velocidad media, usando un truco matemático:

sumando la primera velocidad con la última y dividiendo entre 2: 𝑣 = 10+34 2 =22 𝑚 𝑠 Que podemos generalizar en la fórmula: 𝑣 = 𝑣 𝑓 + 𝑣 0 2 Fórmula para calcular la velocidad media en el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado

EJEMPLO 20: Un tren reduce su velocidad de 60 a 20 mi/h en 8 segundos EJEMPLO 20: Un tren reduce su velocidad de 60 a 20 mi/h en 8 segundos. Encontrar la aceleración. SOLUCIÓN: Si observamos con detenimiento el problema, veremos que hay una inconsistencia de unidades entre la velocidad en millas por hora y el tiempo en segundos. La velocidad es convertida en m por segundo como sigue:

60 mi h X 1609.35 m 1mi X 1h 3600 s = 26.82 m/s De manera similar, se determina que 20 mi/h es igual a 8.94 m/s. 20 mi h X 1609.35 m 1mi X 1h 3600 s = 8.94 m/s La sustitución en la ecuación a = vf − vi t da:

a= 8.94 m s −26.82 m s 8 s = 17.88 m s 8s = −2.24 m s2 El signo negativo nos indica que la rapidez se reduce en 2.54 m/s cada segundo. Tal movimiento se conoce a veces como desaceleración, pero este término nos indicaría que en realidad la velocidad se vuelve más negativa en esa cantidad cada segundo. Si la rapidez se incrementa en dirección negativa, la aceleración también es negativa.

EJEMPLO 21: Un automóvil mantiene una aceleración constante de 8 m/s2 EJEMPLO 21: Un automóvil mantiene una aceleración constante de 8 m/s2. Si su velocidad inicial era de 20 m/s, ¿cuál será su velocidad después de 6 s? TIP: La velocidad aumentará en 8 m/s cada segundo que el auto se desplace. Para obtener la velocidad final sólo se requiere sumar este cambio a la velocidad inicial. SOLUCIÓN: La velocidad final se obtiene a partir de la ecuación vf = v0 + at.

vf = 20 m/s + (8 m/s2)(6 s); vf = 20 m/s + 48 m/s; por lo tanto la velocidad final queda: vf = 68 m/s Mientras la aceleración sea constante, la velocidad media de un objeto se calcula igual que el promedio aritmético de dos cantidades. Dadas una velocidad inicial y una final, la velocidad media es simplemente:

v = vf − vi 2 Recordará que la distancia x es el producto de la velocidad media por el tiempo. Por consecuencia es posible sustituirla en la ecuación: v = x t Para obtener una expresión más útil para calcular la distancia cuando la aceleración es uniforme: x = v f + v i 2 t

EJEMPLO 26: El choque de prueba Un coche que va a 100 km/h choca contra una pared de hormigón rígida. ¿Cuál es su aceleración? Planteamiento del problema. En este ejemplo no es correcto considerar el coche como una partícula, ya que las distintas partes del mismo sufrirán aceleraciones distintas al arrugarse sobre la pared. Además, estas aceleraciones no son constantes.

Sin embargo podemos obtener una respuesta aproximada suponiendo que una partícula puntual localizada en el centro del coche posee una aceleración constante. Para resolver este problema necesitarnos más información: la distancia de detención o el tiempo de detención del coche. Podemos estimar la distancia de detención utilizando el sentido común.

Después del impacto, el centro del coche se desplazará hacia adelante algo menos que la mitad de la longitud del coche. Tomaremos para nuestra estimación el valor razonable de 0.75 m. Como el problema no nos proporciona el tiempo, utilizaremos la relación v2 = vi2+ 2ax. Usando v2 = vi2+ 2ax, obtener la aceleración: a = v 2 − v i 2 2∆x = 0 2 − 100 km/h 2 2(0.75m)

Convertir la velocidad expresada en km/h en m/s. En una hora hay 3600s: 100 km h 100m 1km 1h 3600s = 27.77 m/s Completando el cálculo de la aceleración: a = 02− 27.77 m/s 2 2(0.75m) = − 772.84 m2/s2 1.5 m = − 772.84 m/s2 1.5 = − 515.23 m s2

Observación. Esta estimación de la aceleración se basa en las suposiciones de que el desplazamiento del centro del coche es de 0,75 m y que la aceleración es constante.

CONVENCIÓN DE SIGNOS EN PROBLEMAS DE ACELERACIÓN Los signos de aceleración (a), desplazamiento (x) y velocidad (v) son interdependientes, y cada uno se determina por criterios distintos. Es útil recordar que sólo el signo de la velocidad se determina por la dirección del movimiento. El del desplazamiento depende de la ubicación o la posición del objeto, en tanto que el de la aceleración queda determinado por la fuerza que hace que la velocidad cambie.

Imagine una pelota de beisbol lanzada hacia arriba. La pelota se mueve hacia arriba en línea recta hasta que se detiene y regresa siguiendo una trayectoria descendente en la misma línea. Consideraremos el punto de lanzamiento como el desplazamiento cero (y = 0).

Ahora, el signo del desplazamiento será positivo en cualquier punto ubicado arriba del punto de lanzamiento y negativo en cualquier punto por debajo de él. Observe que no importa si la pelota se está moviendo hacia arriba o hacia abajo; su ubicación (la coordenada y de su posición) es la que determina el signo del desplazamiento. El valor de y podría ser +1m en su movimiento hacia arriba y +1m en su movimiento hacia abajo.

Su desplazamiento se vuelve negativo sólo cuando la pelota se encuentra por debajo del punto de lanzamiento. Observe ahora los signos de la velocidad durante el vuelo de la pelota. Si suponemos que la dirección hacia arriba es positiva, la velocidad de la pelota es positiva siempre que su movimiento se dirige hacia arriba y negativa cada vez que su movimiento va hacia abajo.

No importa que la velocidad cambie con el tiempo, ni tampoco su ubicación en el espacio. Por último consideremos la aceleración de la pelota durante su vuelo. La única fuerza que actúa sobre ella durante su recorrido es su peso, la cual siempre está dirigida hacia abajo. Por lo tanto, el signo de la aceleración es negativo (hacia abajo) durante todo el movimiento.

Se observa que la aceleración es negativa cuando la pelota se mueve hacia arriba y también cuando se mueve hacia abajo. Esto nos indica, que la velocidad se vuelve en todo momento más negativa. Incluso cuando la velocidad pasa por cero en la parte más alta, la aceleración permanece constante en dirección hacia abajo. Para determinar si la aceleración de un objeto es positiva o negativa, no debemos considerara su ubicación ni la dirección de su movimiento; más bien

debemos tener en cuenta la dirección de la fuerza que causa el cambio de velocidad. En este ejemplo de la pelota de beisbol, esa fuerza es el peso del objeto. Una vez que sea elegido la dirección positiva, con las convenciones siguientes se determinarán los signos de la velocidad, el desplazamiento y la aceleración:

El desplazamiento es positivo o negativo de acuerdo con la ubicación o posición del objeto en relación con su posición cero. La velocidad es positiva o negativa según la dirección del movimiento: si está a favor o en contra de la dirección elegida como positiva. La aceleración es positiva o negativa según esté la fuerza resultante a favor o en contra de la dirección elegida como positiva.

y = + , v = 0 , a = - y = + , v = + , a = - y = + , v = - , a = - ARRIBA = + y = 0 , v = - , a = - PUNTO DE LANZAMIENTO y = - , v = - , a = -

ACTIVIDAD 3 En equipos de tres integrantes, resuelve los siguientes problemas y comenta los resultados en forma grupal. La posición inicial de una partícula es x = -3m y se mueve con una velocidad media de 4 m/s durante 2 segundos. ¿En qué posición se encuentra al cabo de dicho intervalo de tiempo?

Un automóvil de carreras logra la mitad de su recorrido en una pista circular de 1312 ft de radio en 20 segundos. ¿Cuál es su velocidad media en m/s? Un automovilista conduce 100 millas de una ciudad a otra, a través de una carretera recta y plana en 1.3 h y de regreso lo hace en 1.7 h. ¿Cuál es su velocidad media en?: a) La ida, b) el regreso, c) el viaje redondo

Un automóvil se mueve a 30 km/h sobre una carretera recta y plana cuando recibe una aceleración media de 4 m/s2 durante 5 s, ¿cuál es la velocidad al cabo de los 5 s, en m/s? Un autobús viaja en una carretera recta y plana a 95 km/h en el momento en el que aplica el freno durante 8 s para reducir su velocidad a 55 km/h, ¿qué aceleración media se produce por dicha variación de la velocidad en ese intervalo de tiempo?

Una lancha se mueve a 15 m/s sobre el agua tranquila de un lago en el instante en que se apaga el motor, si dura moviéndose con la aviada 5 segundos hasta llegar al reposo, ¿qué aceleración se produce por el roce con el agua? Un aeroplano parte del reposo y recibe una aceleración uniforme de 4 m/s2 durante 30 s antes de abandonar la tierra. ¿Cuál es su desplazamiento durante los 30s?

Un conductor de una camioneta que va a 90 km/h aplica los frenos y el vehículo desacelera uniformemente a 5 m/s2 en una distancia de 30 m. ¿Qué rapidez tiene la camioneta en km/h al término de esa distancia? ¿Cuánto tiempo transcurre?

Una partícula se mueve a 10 m/s cuando su posición inicial es x=3 m, en ese instante recibe una aceleración uniforme de 3 m/s2 hasta llegar a x= 33m. a) ¿Cuál es su velocidad final? b) ¿En qué tiempo logró el cambio de posición?

Usando la siguiente gráfica vvst. describe los cambios de velocidad y aceleración que va teniendo el móvil en este movimiento. Describe los cambios de aceleración que va teniendo el móvil en este movimiento.

CAÍDA LIBRE Y TIRO VERTICAL Fuerza de gravedad. Si desde cierta altura soltamos una piedra, cae al suelo como si una fuerza la empujara o la jalara; cuando levantamos la piedra del suelo, sentimos la misma fuerza y decimos que tiene peso.