TEMA 1. CAMPO MAGNÉTICO EN MATERIALES. PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (FILAMENTO). PROBLEMA 2. CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE (CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO) PROBLEMA 2b. CAMPO H EN EL EJE (CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO) PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES PROBLEMA 4. CORRIENTES IMANACIÓN EN UNA ESFERA BIBLIOGRAFÍA APÉNDICE. CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO EJE ESPIRA CIRCULAR Antonio J. Barbero C.A. Albacete Febrero 2017

C4 PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN. Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico también indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, el cual está hecho de un material magnético lineal de permeabilidad relativa r. Determine: a) Los campos H, B y M alrededor del filamento. b) Las corrientes de imanación en el tubo. 1. r1 < a 2. a  r2  b 3. r3 > b a) Cálculo de los campos: se distinguen tres regiones alrededor del filamento Región 1. r1 < a Aplicamos el teorema de Ampère a una circunferencia centrada en el hilo de radio r1 a b I Por la simetría del problema, el campo H está en cada punto en la dirección del unitario r2 r1 Región 2. a  r2  b Dentro del material magnético C4

C4 PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (continúa). a) Región 3 (exterior). (A/m2) (A/m) b) Corrientes de imanación Región 3. r3 > b En la región 2 la forma de M es (resultado apartado anterior) Los términos tachados con aspa son nulos porque M2 no tiene componentes r ni z. a b El término tachado con flecha inclinada a la derecha es nulo porque la derivada de M2 respecto a z es cero. I r3 El término tachado con flecha inclinada a la izquierda es nulo porque rM2 es constante y su derivada respecto a r es cero. r2 r1 Véase que No hay corrientes volumétricas de imanación C4

C3 PROBLEMA 1. CORRIENTES DE IMANACIÓN (continúa 2). Densidades de corrientes superficiales de imanación a b I En r2 = a Sobre la cara interna r2 = a En r2 = b Sobre la cara externa r2 = b Corrientes de imanación Superficie interna Superficie externa C3

CORRIENTES SUPERFICIALES DE IMANACIÓN PROBLEMA 2. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO B Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es Representar gráficamente.

2.- CAMPO MAGNÉTICO EN EL EJE DE UN CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es Representar gráficamente. El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica por la que circula una corriente superficial Js cuyo módulo es M0 (A/m) X Y Z Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz’ que transportan la corriente superficial Js. Cada una de esas cintas se encuentra a una altura z’ sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en z’ se encuentra a una distancia del punto donde hay que determinar el campo magnético. (0,0,z) El campo magnético de una espira circular (radio R) que transporta la corriente I en un punto z de su eje es Análogamente el campo creado en z por cada una de las cintas que transportan la corriente M0dz’ es C5 Véase, por ejemplo http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/

PROBLEMA 2. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO B Imán (R, L) En el exterior del imán pueden realizarse medidas del campo B y verificar que las mismas se ajustan a la ecuación anterior. (discontinua) El origen z/L = 0 es el polo sur. El imán es la zona gris 0 < z/L < 1. (continua) Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L  cuando R << L (imán largo y estrecho) C2

DISPOSITIVO EXPERIMENTAL C1

Representar gráficamente. PROBLEMA 2b. CILINDRO UNIFORMEMENTE IMANADO. CÁLCULO DEL CAMPO H Partiendo del resultado anterior, determinar el campo magnético H en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es: Representar gráficamente. Dentro del imán 0  z/L 1 Fuera del imán Fuera del imán H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario. C2

PROBLEMA 2. Gráficas B y H C1 Gráficas de B y H en función de z/L Unidades S.I. T A·m-1 Dentro Fuera C1

PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES Dos cilindros indefinidos coaxiales, cuyos radios están indicados en la figura, son de un material conductor, siendo sus respectivas permeabilidades m1 y m2. Por los cilindros circulan corrientes del mismo valor (I) pero sentidos contrarios. Se suponen uniformes las densidades de corriente. Calcular el campo magnético en función de la distancia al eje. Si las intensidades de corriente I son del mismo valor, y las densidades de corriente son uniformes, el valor absoluto del flujo del vector J1 a través de la superficie del conductor interno es igual a: y el valor absoluto del flujo del vector J2 a través de la superficie del conductor externo es igual a: Una vez calculadas las densidades de corriente J1, J2 estamos en condiciones de calcular el campo magnético. C3

Vista desde arriba, eje Z saliente PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación) Conductor interno Vista desde arriba, eje Z saliente Densidad de corriente El campo sólo tiene componente ya que C1 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r1 e Ienc es la corriente encerrada por C1. sólo tiene componente Z. Ley de Ampère: Válido en Campo C4

Vista desde arriba, eje Z saliente, corriente entrante PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación) Conductor externo Vista desde arriba, eje Z saliente, corriente entrante Densidad de corriente radio a El campo sólo tiene componente ya que sólo tienen componente Z. C2 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r2 e Ienc es la corriente encerrada por C2. Ley de Ampère: Válido en Campo C4

REPRESENTACIÓN GRÁFICA PROBLEMA 3. CAMPO MAGNÉTICO CILINDROS INDEFINIDOS COAXIALES (Continuación) REPRESENTACIÓN GRÁFICA Para representar gráficamente conviene adimensionalizar en función de r/a Zona interna r < a Zona externa r > a Ejemplo: parámetro Recordatorio unidades S.I. Unidades J  A·m-2 H  A·m-1 T  T (Wb·m-2 , kg·A-1·s-2) m  H·m-1, N·A-2 , kg·m·s-2·A-2) C3

Corte del cuadrante superior derecho de la esfera hueca PROBLEMA 4. CORRIENTES IMANACIÓN EN UNA ESFERA Una esfera de 20 cm de diámetro tiene un hueco esférico centrado de 10 cm de diámetro. El material de la esfera está uniformemente imanado en la dirección Z, siendo M = 2·104 A/m. Calcular las densidades de corriente de imanación. Corte del cuadrante superior derecho de la esfera hueca Corrientes de imanación: Imanación uniforme Volumétrica Superficial Tendremos dos corrientes superficiales, una exterior (1) y otra interior (2). (1) (2) Corriente superficial exterior Solución numérica: es función del ángulo azimutal  C3

BIBLIOGRAFÍA LIBROS 1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill 2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa. 3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley. 4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall. 5. López Rodríguez V, Montoya Lirola M. M, Pancorbo Castro M, Electromagnetismo II (UNED) LIBROS DE PROBLEMAS 1. González Fernández A. Problemas de campos electromagnéticos. Schaum. McGraw-Hill. 2. López Pérez E. y Núñez Cubero F. 100 problemas de electromagnetismo. Alianza Editorial. RECURSOS EN LA RED VIDEOCONFERENCIAS CURSOS ANTERIORES http://scienceworld.wolfram.com/physics/topics/Electromagnetism.html 2013  http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=77474&ID_Sala=76108&hashData=71d6396411f7f536ea668cf0de28846c http://laplace.us.es/wiki/index.php/Materiales_magn%C3%A9ticos 2014  http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=116587&ID_Sala=103003&hashData=364de36d7171cc227ea7b6075edadbc8 http://www.uclm.es/profesorado/ajbarbero/EMO2.htm 2015  http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=151242&ID_Sala=125959&hashData=d146bec73e3e339dcd182af3905d80fa RECOMENDADOS Eugene Khutoryansky. Electromagnetism - Maxwell’s laws. Video en inglés, en su mayor parte subtitulado, con lo cual puede seguirse sin problemas aunque se tenga alguna dificultad con la comprensión oral. Muy recomendable. http://www.intecca.uned.es/portalavip/grabacion.php?ID_Grabacion=194515&ID_Sala=151587&hashData=3db7d3a5903588242624b9800346db0e 2016  https://www.youtube.com/watch?v=9Tm2c6NJH4Y Canal de física de Eugene Khutoryansky. Contiene bastantes videos interesantes, incluido el anterior. C3 https://www.youtube.com/user/EugeneKhutoryansky

4.- Valor del campo magnético dado por la ley de Biot y Savart APÉNDICE CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO 𝐵 CREADO POR UNA ESPIRA DE CORRIENTE EN CUALQUIER PUNTO DEL EJE DE SIMETRÍA NORMAL AL PLANO DE LA ESPIRA 1.- Espira plana circular de radio R cuyo centro es nuestro origen de coordenadas 2.- La espira transporta la intensidad de corriente I. Consideramos un elemento de corriente. 3.- Este elemento de corriente 𝐼𝑑 𝑙 genera un campo magnético 𝑑 𝐵 en el punto (0,0,z) 4.- Valor del campo magnético dado por la ley de Biot y Savart 𝑋 𝑌 𝑍 90−𝜃 𝜃 𝑢 𝑟 𝑟 𝑑 𝐵 𝑢 𝑁 𝑢 𝑍 5.- Véanse los ángulos 𝑧 𝑌 𝑋 𝑍 𝜃 90−𝜃 𝑢 𝑟 𝑢 𝑁 𝑢 𝑍 𝜑 𝑑 𝐵 𝑑 𝐵 𝑍 𝑑 𝐵 𝑋𝑌 (0,0,z) 𝑅 𝑢 𝜑 𝐼𝑑 𝑙 =𝐼𝑑𝑙 𝑢 𝜑 𝑑𝜑 𝜑 6.- La dirección del campo 𝑑 𝐵 en el punto (0,0,z) es normal al plano que determinan los vectores 𝐼𝑑 𝑙 y 𝑢 𝑟 . El vector unitario en esa dirección es 𝑢 𝑁 . 7.- El campo magnético 𝑑 𝐵 en el punto (0,0,z) tiene una componente dirigida según el eje Z y otra paralela al plano XY. El vector unitario 𝑢 𝜑 determina en cada punto de la circunferencia la dirección local de la tangente. El elemento de corriente 𝐼𝑑 𝑙 tiene en cada punto esa misma dirección y sentido.

8.- Expresamos 𝑑 𝐵 en función del vector unitario 𝑢 𝑁 APÉNDICE. CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO 𝐵 CREADO POR UNA ESPIRA DE CORRIENTE EN CUALQUIER PUNTO DEL EJE DE SIMETRÍA…. (Cont.) 8.- Expresamos 𝑑 𝐵 en función del vector unitario 𝑢 𝑁 9.- Para obtener el campo 𝐵 debemos integrar 𝑑 𝐵  véase que la componente 𝑑 𝐵 𝑍 es igual a 10.- Observando la figura debemos notar que el campo magnético en (0,0,z) no tendrá componente neta en dirección paralela al plano XY, porque cada componente 𝑑 𝐵 𝑋𝑌 se verá cancelada por la simétrica que apunta en dirección opuesta (la que corresponde al ángulo 𝜑+𝜋). Por tanto el campo 𝐵 será igual a 𝑋 𝑌 𝑍 90−𝜃 𝜃 𝑢 𝑟 𝑟 𝑑 𝐵 𝑢 𝑁 𝑢 𝑍 𝑧 𝑌 𝑋 𝑍 𝜃 90−𝜃 𝑢 𝑟 𝑢 𝑁 𝑢 𝑍 𝜑 𝑑 𝐵 𝑑 𝐵 𝑍 𝑑 𝐵 𝑋𝑌 𝑅 𝑢 𝜑 𝐼𝑑 𝑙 =𝐼𝑑𝑙 𝑢 𝜑 𝑑𝜑 𝜑 Integramos: