DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ESTADISTICA II DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

Variable aleatoria Si cuenta el número de empleados ausentes en el turno matutino del lunes, el número puede ser 0, 1, 2, 3,… El número de ausencias es una variable aleatoria. Si pesa cuatro lingotes de acero, los pesos pueden ser de 2 492 libras, 2 497 libras, 2 506 libras, etc. El peso es una variable aleatoria. Si lanza dos monedas y cuenta el número de caras, puede caer cero, una o dos caras. Como el número de caras que resulta de este experimento se debe al azar, el número de caras que caen es una variable aleatoria. Otras variables aleatorias pueden ser el número de focos defectuosos producidos por hora en una empresa manufacturera.; la calidad (9, 10, 11 o 12) de los miembros del equipo de basquetbol femenil de la UDA; el número de corredores del 12K en la carrera de 2010 y la cantidad diaria de conductores multados por conducir bajo la influencia del alcohol en Cuenca.

Variable aleatoria discreta Número de tarjetas de crédito Porcentaje 3% 1 10% 2 18% 3 21% 4 o más 48% Total 100%

A veces, una variable aleatoria discreta asume valores fraccionarios o decimales. Estos valores deben estar separados: debe haber cierta distancia entre ellos. Por ejemplo, las calificaciones de los jueces por destreza técnica y formas artísticas en una competencia de patinaje artístico son valores decimales, como 7.2, 8.9 y 9.7. Dichos valores son discretos, pues hay una distancia entre calificaciones de 8.3 y 8.4. Una calificación no puede tener un valor de 8.34 o de 8.347, por ejemplo.

Variable aleatoria continua Por ejemplo: Los tiempos de los vuelos comerciales entre Atlanta y Los Ángeles son de 4.67 horas, 5.13 horas, etc. La variable aleatoria es la cantidad de horas. La presión, medida en libras por pulgada cuadrada (psi), de un nuevo neumático Chevy Trail-blazer puede ser de 32.78 psi, 31.62 psi, 33.07 psi, etc. En otras palabras, es razonable que se presente cualquier valor entre 28 y 35. La variable aleatoria es la presión de la llanta. una variable aleatoria puede ser continua. Si mide algo, como la anchura de una recámara, la estatura de una persona o la presión de la llanta de un automóvil, se trata de una variable aleatoria continua. Se puede suponer una infinidad de valores, con ciertas limitaciones.

Si se organiza un conjunto de posibles valores de una variable aleatoria en una distribución de probabilidad, el resultado es una distribución de probabilidad.

Entonces, ¿cuál es la diferencia entre una distribución de probabilidad y una variable aleatoria? Una variable aleatoria representa el resultado particular de un experimento. Una distribución de probabilidad representa todos los posibles resultados, así como la correspondiente probabilidad.

Una distribución discreta es el resultado de contar algo, como: El número de caras que se presentan en tres lanzamientos de una moneda. El número de estudiantes que obtienen A en clase. El número de empleados de producción que se ausentaron hoy en el segundo turno. El número de comerciales de 30 segundos que pasan en la NBC de las 8 a las 11 de la noche.

Las distribuciones continuas son el resultado de algún tipo de medición, como: La duración de cada canción en el último álbum de Shakira. El peso de cada estudiante de esta clase. La temperatura ambiente en el momento en que usted lee un libro. La suma de dinero que gana cada uno de los 750 jugadores actuales en la lista de los equipos de la Champion League 2017.

Media, varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad discreta

Ejercicios prácticos

Distribución de probabilidad binomial

Distribución de probabilidad binomial Es una distribución de probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia. Una de sus características consiste en que sólo hay dos posibles resultados en un determinado ensayo del experimento. Por ejemplo, el enunciado en una pregunta de cierto o falso puede ser o cierto o falso. Los resultados son mutuamente excluyentes.

Ejemplo un producto se clasifica como aceptable o inaceptable por el departamento de control de calidad; un trabajador se clasifica como empleado o desempleado, y una llamada da como resultado que el cliente compre el producto o no lo compre. Con frecuencia, se clasifican los dos posibles resultados como éxito y fracaso.

Otra característica de la distribución binomial es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Se cuenta el número de éxitos en el número total de ensayos. Lance una moneda equilibrada cinco veces y cuente el número de veces que aparece una cara; seleccione 10 trabajadores y liste cuántos tienen más de 50 años, o seleccione 20 cajas de cereal de Kellog´s y cuente el número de cajas que pesan más de lo que indica el paquete.

Una tercera característica de una distribución binomial consiste en que la probabilidad de éxito es la misma de un ensayo a otro. Dos ejemplos son: La probabilidad de que adivine la primera pregunta de una prueba de verdadero o falso (éxito) es de un medio. Esto constituye el primer ensayo. La probabilidad de que adivine la segunda pregunta (segundo ensayo) también es de un medio; la probabilidad de éxito en el tercer ensayo es un medio y así sucesivamente.

La última característica de una distribución de probabilidad binomial consiste en que cada ensayo es independiente de cualquier otro. Una joven familia tiene dos niños, ambos varones. La probabilidad de que el tercer hijo sea un varón sigue siendo 0.50. Es decir, el género del tercer hijo es independiente de los otros dos. Suponga que 20% de los pacientes atendidos en la sala de urgencias de un hospital no tiene seguro médico. Si el segundo paciente atendido en el turno vespertino hoy no tiene seguro, eso no afecta la probabilidad de que el tercero, el décimo o cualquiera de los otros pacientes cuente o no con seguro.

¿Cómo se calcula una probabilidad binomial? Para construir una probabilidad binomial particular se necesita: el número de ensayos y la probabilidad de éxito de cada ensayo.

Por ejemplo, Si un examen al término de un seminario de administración incluye 20 preguntas de opción múltiple, el número de ensayos es 20. Si cada pregunta contiene cinco opciones y sólo una de ellas es correcta, la probabilidad de éxito en cada ensayo es 0.20. Por consiguiente, la probabilidad de que una persona sin conocimientos del tema acierte la respuesta a una pregunta es de 0.20. De modo que se cumplen las condiciones de la distribución binomial recién indicadas.

Una probabilidad binomial se calcula mediante la fórmula:

Otras cuestiones adicionales relacionadas con la distribución de probabilidad binomial. Si n permanece igual y π se incrementa de 0.05 a 0.95, la forma de la distribución cambia.

Si π, la probabilidad de éxito, conserva el mismo valor, pero n aumenta, la forma de la distribución binomial se torna más simétrica.

Microsoft Excel nos permite calcular la probabilidad de obtener un número concreto de éxitos (P(X=xi)) de una variable aleatoria discreta que sigue una distribución binomial B(n,p), en problemas con un número fijo de pruebas o ensayos (n), cuando los resultados de un ensayo son sólo éxito o fracaso, cuando los ensayos son independientes y cuando la probabilidad de éxito es constante durante todo el experimento (p).

Para ello, en insertar función, selecciona dentro del tipo de funciones estadísticas, el comando “DISTR.BINOM”

Los argumentos de la función: Núm_éxito, es el número de éxitos en los ensayos, que se desean estimar (xi). Ensayos, es el número de ensayos independientes o repeticiones que se realizan (ni). Prob_éxito, es la probabilidad de éxito en cada ensayo (p). Acumulado, es un valor lógico que determina la forma de la función. Si el argumento acumulado es VERDADERO, DISTR.BINOM devuelve la función de distribución acumulada, que es la probabilidad de que exista el máximo número de éxitos; si es FALSO, devuelve la función de masa de probabilidad, que es la probabilidad de que un evento se reproduzca un número de veces igual al argumento núm_éxito.

Ejemplo: En un proceso de fabricación de tornillos se sabe que el 2% son defectuosos. Los empaquetamos en cajas de 50 tornillos. Calcula la probabilidad de que en una caja no haya ningún tornillo defectuoso”.

Pasos: En primer lugar determinamos el número de éxitos de los ensayos: 0 En segundo lugar, definimos el número de ensayos independientes: 50. A continuación definimos la probabilidad de éxito de cada ensayo: 0,2. Finalmente como nos piden una función de probabilidad o de cuantía, definimos el valor Acumulado como FALSO.

Distribuciones de probabilidad continuas

Distribución de probabilidad normal

La distribución de probabilidad normal posee las siguientes características principales: Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de la distribución. La media aritmética, la mediana y la moda son iguales, y se localizan en el centro de la distribución. El área total bajo la curva es de 1.00. La mitad del área bajo la curva normal se localiza a la derecha de este punto central, y la otra mitad, a la izquierda. Es simétrica respecto de la media. Si hace un corte vertical, por el valor central, a la curva normal, las dos mitades son imágenes especulares.

Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central. Es decir, la distribución es asintótica. La curva se aproxima más y más al eje X, sin tocarlo. En otras palabras, las colas de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones. La localización de una distribución normal se determina a través de la media, µ. La dispersión o propagación de la distribución se determina por medio de la desviación estándar, σ.

Distribución de probabilidad normal estándar

Ejemplo suponga que desea calcular la probabilidad de que las cajas de Sugar Yummies pesen entre 283 y 285.4 gramos.

Z = x – xmed / σ Z = (283 – 283) / 1,6 Z = 0 Z = x – xmed / σ Z = (285,4 – 283) / 1,6 Z = 1,5

Regla empírica

Determinación de áreas bajo la curva normal

En lugar de querer conocer la probabilidad de seleccionar al azar a un supervisor que gane entre $1 000 y $1 100, suponga que quiere determinar la probabilidad de seleccionar a un supervisor que gane menos de $1 100.