ESTADÍSTICA UNIDIMENSIONAL U. D. 13 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN U. D. 13.3 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Medidas de CENTRALIZACIÓN Nos permiten analizar y estudiar los datos obtenidos respecto de la media. _ MEDIA ( x ) La media (aritmética) es el resultado de multiplicar cada valor de la variable (x) por su frecuencia (f) y dividir la suma de los productos hallados por la suma de las frecuencias. La última fila de las Tablas de Frecuencias nos proporcionan los sumatorios necesarios para su cálculo. _ ∑ xi. fi x1.f1+x2.f2+x3.f3+….+ xn.fn x = ----------- = --------------------------------------- ∑ fi f1+f2+f3+…. MEDIA PONDERADA Cuando cada unidad no tiene el mismo peso específico. Por ejemplo, para hallar la media de la “Cesta de la compra”. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Medidas de CENTRALIZACIÓN MODA (Mo) Es el valor de la variable (x) de mayor frecuencia, el que más se repite. Una distribución puede tener una moda (unimodal), dos modas (bimodal), etc. Si todos los valores se repiten el mismo número de veces, la distribución no tiene moda. MEDIANA (Md) Es el valor de la variable (x) que ocupe el lugar central, una vez que hemos ordenado la serie estadística en orden creciente de su variable. Si la distribución tiene un número par de términos, será la media aritmética de los valores de los dos términos centrales. Algunas veces nos interesará dividir los datos estadísticos en cuatro partes iguales en lugar de dos, para lo cual calcularemos los cuartiles. Y si lo que interesa es dividirla en diez partes iguales calcularemos los deciles. Asimismo si lo que interesa es dividirla en cien partes iguales calcularemos los percentiles. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Tablas Ampliadas de Frecuencias Aunque las calculadoras nos permiten el cálculo de parámetros estadísticos (media, desviación típica, etc), el uso de tablas de frecuencias con columnas adicionales a las ya vistas nos permiten visualizar posibles errores y corregirlos, lo que es casi imposible con las calculadoras. Las columnas a añadir serán: xi,fi  Columna del producto o peso real de la modalidad. Nos va a permitir hallar la Media aritmética. xi – x  Columna de la desviación de la variable respecto a la media. Es de escasa importancia, pudiendo prescindir de ella. |xi – x|  Igual que la anterior, pero en positivo. Nos va a permitir hallar la Desviación media. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Tablas Ampliadas de Frecuencias (xi – x)2  Columna de las cuadrados de las desviaciones. fi.(xi – x)2  Columna del producto de la varianza. fi.xi2  Columna del producto de la varianza. Se puede emplear una o la otra, dependiendo de la columna de transición anterior. Es de capital importancia por permitirnos hallar la Varianza de una serie estadística. Y además, en las siguientes columnas es obligado hallar el sumatorio, la suma de todos los valores que existen en dicha columna: fi , xi,fi , fi.|xi – x| , fi.|xi – x|2 o fi.xi2 Para el sumatorio, ∑, se reserva la última fila de la tabla de frecuencias, @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 1 Calificaciones de 25 alumnos de una clase xi fi xi,fi 2,8 1 3,2 4 12,8 3,9 3 11,7 4,2 6 25,2 5,0 20 5,6 16,8 6,0 24 Σ 25 113,3 Media ∑ xi. fi 113,3 x = ----------- = ----------- = 4,532 ∑ fi 25 Moda Mo = 4,2 Mediana Ordenados los 25 términos de la serie, el central será x13 Md = x13 = 4,2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Tabla completa 1 Calificaciones de 25 alumnos de una clase: Con x=113,3/25=4,532 xi fi xi,fi xi – x fi.| xi - x | (xi-x)2 fi. (xi-x)2 2,8 1 3,2 4 12,8 3,9 3 11,7 4,2 6 25,2 5,0 20 5,6 16,8 6,0 24 Σ 25 113,3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 2 Estatura de los 80 alumnos de 4º ESO Clases m.c. (xi) f i xi,fi [1,65 – 1,70) 1,675 6 10,05 [1,70 – 1,75) 1,725 12 20,70 [1,75 – 1,80) 1,775 30 52,25 [1,80 – 1,85) 1,825 22 43,15 [1,85 – 1,90) 1,875 8 15,00 [1,90 – 1,95) 1,925 2 3,85 Σ 80 145 Media ∑ xi. fi 145 x = ----------- = -------- = 1,8125 ∑ fi 80 Moda Mo = [1,75 , 1,80) = 1,775 Mediana Ordenados los 80 términos de la serie, los dos centrales, en este caso del mismo valor, serán x40 y x41 Md = x40-41 = 1,775 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Tabla completa 2 Σ [1,65 – 1,70) 6 [1,70 – 1,75) 12 [1,75 – 1,80) 30 Estatura de los 80 alumnos de 4º ESO, con x=145/80=1,8125 m.c. (xi) f i xi,fi xi – x fi.| xi - x | (xi-x)2 fi. (xi-x)2 [1,65 – 1,70) 1,675 6 10,05 [1,70 – 1,75) 1,725 12 20,70 [1,75 – 1,80) 1,775 30 52,25 [1,80 – 1,85) 1,825 22 43,15 [1,85 – 1,90) 1,875 8 15,00 [1,90 – 1,95) 1,925 2 3,85 Σ 80 145 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 3 Calificaciones de 100 alumnos de una clase. (El profesor solo pone 3, 5 ó 7 como calificación: V. discreta) xi fi xi,fi xi – x fi.| xi - x | (xi-x)2 fi. (xi-x)2 3 40 120 -1,8 72 3,24 129,6 5 30 150 0,2 6 0,04 1,2 7 210 3,2 96 10,24 307,2 100 480 174 438 Media ∑ xi. fi 480 x = ----------- = ------- = 4,8 ∑ fi 100 Moda Mo = 3 Mediana Md = x50 = 5 Al tener la media, x, completamos la Tabla ampliada. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo 4 Calificaciones de 100 alumnos de una clase. (Puede haber hasta 100 notas distintas: V. continua) clases xi = mc fi xi,fi xi - x fi.|xi - x | (xi-x)2 fi. (xi-x)2 [0,5 , 3,5) 2 40 80 -2,7 108 7,29 291,6 [3,5 , 6,5) 5 30 150 0,3 9 0,09 2,7 [6,5 , 9,5) 8 240 3,3 99 10,89 326,7 100 470 216 621 Media ∑ xi. fi 470 x = ----------- = ------- = 4,7 ∑ fi 100 Moda Mo = 2 = [0’5 , 3’5] Mediana Md = x50 = 5 = = (3’5, 6’5] Al tener la media, x, completamos la Tabla ampliada. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.