Problemas del Milenio: P VS NP. ¿Qué tan fácil es encontrar una solución a un problema matemático? Marzo de 2013 CCH Oriente

El Instituto Clay de Matemáticas en EEUU ofrece un premio de 1,000,000 de dólares a quien resuelva uno de 7 problemas matemáticos aun no resueltos

Uno de los 7 problemas ya fue resuelto por Grigori Perelman en 2003 después de que lo planteara Henri Poincaré en 1904

¿Qué dice el problema P vs NP?

¿Cómo podemos entenderlo? “Toda la matemática se entiende con ejemplos” V. I. Arnold

¿Cómo podemos entenderlo? “Toda la matemática se entiende con ejemplos” V. I. Arnold

Voy a contar una historia para entender P vs NP

son los héroes de nuestra historia? ¿Quiénes son los héroes de nuestra historia? Pierre de Fermat Alan Turing Euclides

Nuestra historia es acerca de el encriptamiento

¿Qué dice? !!!!!!!!!!! 12 12 2 Este mensaje esta encriptado con RSA Ron Rivest, Adi Shamir, y Leonard Adleman

Muchas culturas de la antigüedad descubrieron que todo número es un múltiplo de primos: 35=5*7 60=2*2*3*5 17=17 361=19*19

Euclides demostró que los números primos son “infinitos” Si 2, 3, 5, 7…p(n) son todos los primos entonces a 2*3*5*7* * *p(n)+1 no lo divide ni 2, ni 3, ni 5,…, ni p(n)

Fermat uso la aritmética modular para encontrar propiedades de los números. Ejemplo: Los relojes 60≡0, 18 ≡ 6 (mod 12) La medida en grados: 378≡18, 400 ≡ 40 (mod 360)

Para encriptar un mensaje en RSA se usan: Dos primos p y q. Su resultado n=p*q Y su clave de codificación E (llave publica). Para codificar el mensaje anterior usamos p=3, q=5, n=15, E=3

El mecanismo de desencriptar consiste en tener una clave de descodificación que en este caso la elegimos como D=3 (llave privada) Para descodificar tenemos que elevar cada cifra del mensaje al cubo y sacar su módulo n=15 M ≡ C^D (mod n) En este caso: M ≡ C^3 (mod 15)

Codificación Eleva al cubo Modulo 15 Traducción a letras 12 1728 3 C 2 8 H

El mecanismo de encriptar consiste en tener una clave de codificación que en este caso la elegimos como E=3 (llave publica) Para codificar tenemos que elevar cada cifra del mensaje al cubo y sacar su módulo n=15 C ≡ M^E (mod n) En este caso: C ≡ M^3 (mod 15)

Mensaje Traducción a números Eleva Al cubo Módulo 15 C 3 27 12 H 8 512 2

La clave para ser un “hacker” es justo descubrir la llave privada D Esta clave tiene como fórmula que D*E ≡ 1 (mod (p-1)*(q-1)) En nuestro caso 3*3 ≡ 1 (mod 2*4)

Esto en nuestro caso ha sido complicado En el mundo real todo mundo conoce n y E pero no p y q. Por ejemplo piensen como descomponer en sus primos un número como n=2^67-1 y de ahí deducir E

Para descubrir D por “prueba y error” se puede usar una máquina (de Turing) Y probar descomponer n=2^67-1 en sus primos.

O bien dedicar muchas máquinas probando distintos números aleatoriamente (máquina de Turing aleatoria) Y probar descomponer n=2^67-1 en sus primos. O bien tratando de que alguna máquina le atine a D

El problema al que nos enfrentamos es un problema NP del cual podemos esperar que para resolver por “fuerza bruta” tardemos en algunos caso tanto tiempo como la edad del Universo.

La pregunta básica de P vs NP es si P=NP o P<>NP La pregunta básica de P vs NP es si P=NP o P<>NP. Es decir en los problemas de matemática: ¿Puede la mente humana siempre descubrir una estrategia o algoritmo para resolver un problema en un tiempo “razonable”?

De corazón espero que en este siglo, que alguno de ustedes: P vs NP Tú Premio Clay

Muchas gracias