Apuntes 2º Bachillerato C.T. VECTORES EN EL ESPACIO U.D. 9 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. BASES DE UN SISTEMA U.D. 9.4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. BASES Y COORDENADAS Los vectores v1 , v2 , v3 son un sistema de generadores de R3 si cualquier vector v R3 se puede expresar como combinación lineal de ellos: EJEMPLO: Los vectores de R3 : (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1). Cualquier vector (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1). EJEMPLO: Los vectores de R3 : (2,3,5), (1,4,0) y (0,0,2) son un sistema de generadores de R3 . En la expresión: (m,n,p)=a(2,3,5)+b(1,4,0)+c(0,0,2), siempre es posible calcular a, b y c cualesquiera que sean m, n y p. Los vectores B=(v1 , v2 , v3) son una base de R3  cumplen las dos condiciones siguientes: a) Son linealmente independientes. b) Son un sistema de generadores. Si B=(v1 , v2 , v3) son base de R3 , los escalares de la expresión: v = α.v1 + β.v2 + λ.v3 + … + μ.vn se llaman coordenadas del vector respecto a la base . @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. TEOREMAS DE LAS BASES Teorema. Los escalares son únicos. Teorema. En R3 una base está formada por tres vectores que sean linealmente independientes. EJEMPLO: Los vectores (2,3,5), (1,4,0) y (0,0,2) son una base de R3. Cualquier vector (m,n,p)=a(2,3,5)+b(1,4,0)+c(0,0,2). Los escalares a, b, c son las coordenadas del vector (m,n,p) respecto a la base {(2,3,5), (1,4,0), (0,0,2)}. EJEMPLO: Los vectores (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) son una base de R3 llamada base canónica. Cualquier vector (a,b,c)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1). Los escalares a, b y c son las coordenadas del vector (a,b,c) respecto a la base canónica. Respecto a la base canónica las coordenadas de un vector y sus componentes son iguales. De ahí que se hable indistintamente de coordenadas o componentes. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO DE BASE Sea V un espacio vectorial y sea B un subconjunto de vectores de V. Diremos que B es una base de V si cumple dos condiciones: B es linealmente independiente. B es un sistema generador de V. EJEMPLO V1= (1, 1, 0), V2 = (0, 1, 1), V3 = (1, 0, 1) Miramos si son linealmente independientes: λ1.V1 + λ2.V2 + λ3.V3 = 0 λ1.(1,1,0) + λ2.(0,1,1) + λ3.(1,0,1) = 0 (λ1, λ1 ,0) + (0,λ2, λ2) + (λ3 ,0,λ3) = 0 λ1 + λ3 = 0, λ1 + λ2 = 0 , λ2 + λ3 = 0 Al resolver el sistema sólo resulta la solución trivial: λ1 = λ2 = λ3 = 0, por lo que el subconjunto B es linealmente independiente. …  @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. …  EJEMPLO B= { V1= (1, 1, 0), V2 = (0, 1, 1), V3 = (1, 0, 1) } Miramos si es un sistema generador. Sea (x, y, z) un vector cualquiera perteneciente al espacio vectorial V. Se debe cumplir: (x, y, z) = λ1.V1 + λ2.V2 + λ3.V3 (x, y, z) = λ1.(1,1,0) + λ2.(0,1,1) + λ3.(1,0,1) (x, y, z) = (λ1, λ1 ,0) + (0,λ2, λ2) + (λ3 ,0,λ3) λ1 + λ3 = x, λ1 + λ2 = y , λ2 + λ3 = z Como λ1 = x – λ2 resulta: x – λ2 + λ3 = y λ2 + λ3 = z Sumando ambas ecuaciones: λ3 = (y + z – x) / 2 Restando ambas ecuaciones: λ2 = (x – y + z) / 2 Y finalmente obtengo: λ1 = x – λ2 = (x + y – z) / 2 Luego siempre existen unos escalares λ1, λ2, λ3 que me generan cualquier vector de V. B es pues un sistema generador. Al cumplirse las dos condiciones, B es una base de V. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. RANGO DE UN SISTEMA DEFINICIÓN DE RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES. Es el máximo número de vectores linealmente independientes. EJEMPLO 1 Comprueba que B={(1,2,0), (2,0,1), (0,1,2)} es una base del espacio vectorial R3 y calcula las coordenadas del vector (3,1,4) respecto a dicha base. Solución Para que un conjunto de vectores puedan forman base, deben ser linealmente independientes. Para que un conjunto de n vectores sean linealmente independientes el rango de la matriz formada con ellos debe ser n 1 2 0 1 2 0 Rang 2 0 1 = 3  2 0 1 = –1– 8 = – 9 <> 0 0 1 2 0 1 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. …  EJEMPLO 1 Se debe cumplir: (3, 1, 4) = λ1.V1 + λ2.V2 + λ3.V3 (3, 1, 4) = λ1.(1,2,0) + λ2.(2,0,1) + λ3.(0,1,2) (3, 1, 4) = (λ1, 2.λ1 ,0) + (2.λ2, 0, λ2) + (0, λ3 , 2.λ3) λ1 + 2.λ2 = 3 2.λ1 + λ3 = 1 λ2 + 2.λ3 = 4 Resuelvo el sistema: 1 2 0 3 A/B = 2 0 1 1 0 1 2 4 Por Cramer, al ser un sistema compatible y determinado, y |A| = – 9 λ1 = (8 – 3 – 4) / (– 9) = –1/9 λ2 = (2 – 12 – 4) / (– 9) = 14/9 λ3 = (6 – 16 – 1) / (– 9) = 11/9 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO 2 Indicar para qué valores de t los vectores u = (1, 1, 1), v = (2, 2, t) y w = (t, 0,0) no forman una base de R3. Solución Para que un conjunto de vectores puedan forman base, deben ser linealmente independientes. Para que un conjunto de n vectores sean linealmente independientes el rango de la matriz formada con ellos debe ser n 1 1 1 1 1 1 Rang 2 2 t = 3  2 2 t <> 0 t 0 0 t 0 0 Desarrollando el determinante queda: t2 – 2t <> 0 Resolviendo: t.(t – 2 ) = 0 Para t = 0 ó t = 2 no forman una base, por ser L.D. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO 3 Indicar para qué valores de t los vectores u = (1, 0, 1), v = (0, 1, t) y w = (0, t, 0) forman una base de R3. Solución Para que un conjunto de vectores puedan forman base, deben ser linealmente independientes. Para que un conjunto de n vectores sean linealmente independientes el rango de la matriz formada con ellos debe ser n 1 0 1 1 0 1 Rang 0 1 t = 3  0 1 t <> 0 0 t 0 0 t 0 Desarrollando el determinante queda: – t2 <> 0 Resolviendo: t = 0 Para t = 0 no forman una base, por ser L.D. Para t <> 0 los vectores dados forman una base de R3. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.