Compresión de Imágenes en Escala de Grises mediante el uso de WAVELETS Tomás Olarte Hernández Juan Pablo Tamayo tolarteh@eafit.edu.co jtamay10@eafit.edu.co Asesores: Dr. Jairo Villegas Dr. Francisco Correa Ingeniería Matemática Universidad EAFIT

Introducción Desde hace ya algún tiempo en el mundo de las ciencias, especialmente las matemáticas, la física y la computación, se ha tenido la necesidad de analizar diversas funciones. Esta necesidad surge, principalmente, debido a que en la naturaleza muchos de los procesos pueden ser modelados como funciones, ya sean discretas o continuas. Las Wavelets (Ondículas) son un desarrollo relativamente reciente tanto en matemáticas puras como aplicadas, construidas con el propósito de analizar funciones, en especial las funciones cuadrado integrables. Estas tienen, con respecto a la teoría y a sus aplicaciones, una fuerte conexión con las transformadas de Fourier.

Objetivos Implementar un algoritmo de compresión de imágenes en escala de grises, que utilice las transformadas wavelet Comparar los métodos de compresión que utilizan wavelets con otros algoritmos de compresión, bajo criterios de tasa de compresión y calidad de imagen.

Historia 1807. El matemático francés Joseph Fourier afirmó que toda onda periódica puede descomponerse como suma infinita de senos y cosenos. 1909. El matemático húngaro Alfred Haar descubre una base de funciones que resultan ser, luego, la primera wavelet. 1984. Con la ayuda del físico cuántico Alex Grossman, Morlet desarrolla su modelo. El término wavelet aparece por primera vez. 1986. Stéphane Mallat muestra que los métodos de Haar, Gabor, Morlet… están relacionados por el mismo algoritmo de wavelets. 1987. Ingrid Daubechies construye el primer wavelet ortogonal con soporte compacto. Los wavelets pasan a ser una importante herramienta práctica de cálculo. 1992. El FBI usa los wavelets para comprimir su base de datos de huellas dactilares.

Análisis de Funciones Fourier Wavelets Permite el análisis multirresolución, mejorando notablemente el análisis en pequeños intervalos con gran cantidad de información Permite el análisis de tanto el tiempo como la frecuencia de la función (uno a la vez)

Algunas Wavelets “Una forma de pensar en las wavelets es plantear cómo miran nuestros ojos al mundo. Desde un avión un bosque se ve como una cubierta verde. Desde un carro se ven los árboles individualmente. Si nos acercamos vemos las ramas y las hojas. A medida que nos acercamos a escalas más pequeñas, podemos encontrar detalles que no habíamos visto antes.” Dana Mackenzie

Transformadas Fourier Wavelets

Descomposición

CWT La transformada continua para las wavelets se puede definir como: A partir de la cual se puede obtener la inversa:

DWT La transformada discreta en el filtrado digital, con el mismo propósito que la CWT: analizar las señales a distintas frecuencias y tiempos. Se utiliza la base diádica (a=2i), donde cada i indica una escala de descomposición de la señal. Las escalas bajas tienen en cuenta las frecuencias bajas, y las escalas altas las frecuencias altas. Toda transformada wavelet viene determinada (como mínimo) por dos funciones, o por dos series de coeficientes. En la práctica, la serie de coeficientes tienen una mayor importancia gracias a que facilitan los cálculos en el análisis.

Filtros Los filtros van a permitir que el análisis mediante wavelets se concentre tanto en las frecuencias (filtro pasa baja), como en el tiempo (filtro pasa alta). Estos filtros (coeficientes) me permiten reconstruir la señal original de una manera apropiada.

Por qué son útiles? Pueden representar funciones suaves Pueden representar singularidades Las funciones base son locales Son ajustables y adaptables Las operaciones necesarias son básicas en la computación (multiplicaciones y adiciones) Su uso consigue resultados óptimos en: Estimación estadística Recuperación de la señal Compresión de información

Dónde son útiles? Solución Numérica de E.D.P Se le da un uso análogo al método de diferencias finitas Procesamiento de señales sísmicas Importante a la hora de la reducción de ruido y compresión en las señales Procesamiento de Imágenes Médicas Herramienta para comprimir imágenes sin pérdida de la información valiosa Aplicaciones de Comunicación

Compresión de Imágenes JPG JPG-2000

Valor Umbral Para la compresión de datos, se puede aprovechar el hecho de que gran cantidad de coeficientes tienen valores relativamente pequeños. Luego de la transformación, se puede escoger un valor umbral (threshold) a partir del cual los valores de los coeficientes se anulen. Este umbral puede ser escogido teniendo presente un porcentaje de energía a conservar. Para una función f, la energía se puede expresar como:

Proyecto El proyecto en 2 programas, uno de compresión y otro de descompresión. El de compresión tiene como etapas: Tranformación Cuantización Código de Entropía La descompresión funciona invirtiendo cada etapa del proceso

Por qué MatLab? Es un lenguaje fácil de aprender y usar Tiene gran capacidad para mostrar datos de manera visual La forma de representar las imágenes hace que sea natural buscar un lenguaje diseñado para el manejo de matrices La velocidad al manipular matrices acelera considerablemente programas como los implementados Herramientas como los toolboxes facilitan el manejo de imágenes y archivos.

Transformación En esta etapa se aplica la transformación de la señal en 2 dimensiones. Para esto se realiza la transformación primero de manera horizontal, y al resultado se le hace de manera vertical (por convención) El resultado de realizar cualquier tipo de transformación con wavelets (en 1D) genera dos vectores, cada uno con la mitad del tamaño del original

Cuantización Se utiliza una cuantización uniforme En esta etapa se pierde la mayor cantidad de la información. Cada intervalo hallado es codificado mediante un valor entero representativo

Código de Entropía Se puede utilizar Run-Length Code Huffman Code Arithmetic Code Otras codificaciones, o variantes de estas.

Algoritmos Transformada de Haar 2D: Toma una matriz que contiene un muestreo de una función, el nivel de transformación y la energía que se desea conservar para retornar una matriz con las coeficientes de la trasformada de Haar discreta; la energía conservada es independiente de la cantidad de niveles (energía conservada general). Cuantización: Toma los coeficientes que resultaron de la transformada, los cuales son almacenados en punto flotante, y realiza una cuantización uniforme. Esto se hace con el fin de obtener valores enteros de los coeficientes, de manera que su almacenamiento requiera menos espacio. Compresión basada en entropía: Aprovechando el hecho de que existe un valor muy frecuente (CERO), se utiliza técnicas de almacenamiento basados en entropía con el fin de eliminar la redundancia de los datos. Para esto se utiliza una variante del Run Length Code.

Conclusiones Para imágenes de tono continuo la transformada Haar NO es la más adecuada Es importante probar con distintas wavelets al momento de transformar la imagen Es esencial escoger un tipo de datos adecuado para guardar la imagen en cada etapa de la compresión Las imágenes transformadas poseen una estructura que puede ser explotada mejor por códigos de entropía específicamente diseñados

Trabajo Futuro Considerar otras wavelets madre para la transformación Investigar e implementar mejores métodos de cuantización Probar con otros algoritmos de entropía Utilizar filtros, ya sea antes o después de la transformación Por métodos heurísticos escoger la transformada apropiada para cada tipo de imagen Extender el trabajo a imágenes a color Utilizar análisis multirresolución.

Bibliografía Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Capítulo 3 Peter V. O’Neil, Editorial THOMSON, año 2003 An Introduction to Wavelets Amara Graps, 1995 Institute of Electrical and Electronics Engineers, Inc. A PRIME ON: WAVELETS and their Scientific Applications James S. Walker, Chapman&Hall/CRC, 1999. Wavelet theory and harmonic analisis in Applied Sciences C.E. D’Attellis, E.M.Fernández-Berdaguer, Ed. Birkhäuser, 1997. Wavelet Based Compression for Image Retrieval Systems S. Areepongsa, N. Kaewkamnerd, Y. F. Syed, K. R. Rao.