Diseño de Merit-Rating: Sistemas Bonus-Malus (BMS) Jean Lemaire

Sistemas Bonus-Malus (BMS) Variables de clasificación a priori: edad, sexo, tipo y uso de automóvil, territorio Variables a posteriori: deducibles, credibilidad, bonus-malus Bonus Malus = Respuesta a la heterogeneidad del comportamiento de cada conductor Respuesta a selección adversa Incentiva a conducir con más cuidado Impactado por situación e instituciones regulatorias

BMS como debería ser: Análisis Bayesiano Distribución observada de reclamos de una aseguradora por la cobertura de responsabilidad civil por daños a terceros Promedio: 𝑥 = 0.1011 Varianza: 𝑠 2 = 0.1074 Cantidad de reclamos Pólizas observadas 96,978 1 9,240 2 704 3 43 4 9 5+ Total 106,974

Ajuste Poisson 𝑃 𝑁=𝑛 = 𝑒 −λ λ 𝑛 𝑛! 𝐸 𝑁 =𝑉𝑎𝑟 𝑁 = λ 𝑃 𝑁=𝑛 = 𝑒 −λ λ 𝑛 𝑛! 𝐸 𝑁 =𝑉𝑎𝑟 𝑁 = λ La distribución no contagiosa: incrementos independientes Incrementos estacionarios 𝑃 𝑁 𝑡 =1 = λ𝑡+𝑓( 𝑡 2 , 𝑡 3 ,…) 𝑃 𝑁 𝑡 >1 = 𝑓( 𝑡 2 , 𝑡 3 ,…) Métodos de Máxima Verosimilitud y de momentos llevan al mismo estimado de λ: 𝜆 =𝐸 𝑁 = 0.1011

Modelo no-contagioso: Ajuste Poisson Número de reclamos Pólizas observadas Ajuste Poisson 96,978 96,689.6 1 9,240 9,773.5 2 704 493.9 3 43 16.6 4 9 0.4 5+ Total 106,974 106,974

Distribuciones Poisson mixtas Mal ajuste Poisson (no es necesario para la prueba χ2 para verificar ajuste) → Necesitamos una distribución que tenga contagio Asumimos que los individuos tienen reclamos concorde al proceso de Poisson(λ) Asumimos que λ es una variable aleatoria con una distribución de densidad g(λ) = la función de estructura 𝑃 𝑁 𝑡 =𝑛 = 𝑃 𝑁 𝑡 =𝑛 λ 𝑔 λ 𝑑λ

Distribución Binomial Negativa Para g(λ), seleccionamos la distribución Gamma(m,θ) 𝑔 λ = θ 𝑚 λ 𝑚−1 𝑒 −θλ Г(𝑚) Entonces, N(t) tiene una distribución negativa binomial(m,θ) 𝑃 𝑁 𝑡 =𝑛 = θ 𝑚 𝑡 𝑛 (𝑡+θ) 𝑛+𝑚 Г(𝑛+𝑚) 𝑛! Г(𝑚) * 𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑚 θ 𝑡 𝑉𝑎𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑚 θ 𝑡+ 𝑚 θ 2 𝑡 2 >𝐸[𝑁 𝑡 ]

Cómo calcular las probabilidades BN cuando t=1? En secuencia recurrente: 𝑃 𝑁=0 = θ 𝑚 (1+θ) 𝑚 𝑃 𝑁=𝑛+1 = 𝑛+𝑚 (𝑛+1)(1+θ) 𝑃[𝑁=𝑛]

Cómo estimaremos los parámetros? Método de los momentos 𝑥 = 0.1011 = 𝐸 𝑁 = 𝑚 θ 𝑠 2 = 0.1074 =𝑉𝑎𝑟 𝑁 = 𝑚 θ + 𝑚 θ 2 → 𝑚 =1.6049 y θ = 15.8778

Modelo con contagio: Ajuste Binomial Negativa Número de reclamos Pólizas observadas Ajuste Poisson Ajuste Binomial Negativo 96,978 96,689.6 96,985.5 1 9,240 9,773.5 9,222.5 2 704 493.9 711.7 3 43 16.6 50.7 4 9 0.4 3.6 5+ Total 106,974 106,974 106,974

Ejemplo 1: Muertes por patadas de caballo en los diez cuerpos militares del ejército prusiano, 1875-1894 n Observaciones Poisson Neg Bin 109 108.67 111.99 1 65 66.29 61.80 2 22 20.22 20.00 3 4.11 4.95 4 0.72 1.04 5+ 0.00 0.22 Total – Chi-cuad 200 0.33 1.24

Ejemplo 2: Número de guerras internacionales, 1500-1931 Observaciones Poisson Neg Bin 223 216.22 222.71 1 142 149.65 141.35 2 48 51.79 50.72 3 15 11.95 13.54 4 2.07 2.99 5+ 0.32 0.69 Total – Chi-cuad 432 2.74 0.34

Ejemplo 3: Número de home runs por cada medio inning, Series Mundiales de Baseball, 1947-1960 Observaciones Poisson Neg Bin 1,023 865.66 1,017.94 1 222 417.37 227.27 2 87 100.63 86.38 3 32 16.17 37.35 4 18 1.95 17.13 5 11 0.19 8.12 6 0.01 3.94 7+ 0.00 3.89 Total – Chi-cuad 1,402 735.20 2.16

Ejemplo 4: Número de goles por equipo, primera división de fútbol inglés, 1967-68 Observaciones Poisson Neg Bin 225 203.73 225.71 1 293 308.02 297.05 2 224 232.85 214.71 3 114 117.35 112.73 4 41 44.36 48.04 5 15 13.41 17.62 6 9 3.38 5.77 7+ 0.90 2.37 Total – Chi-cuad 924 17.75 3.87

Ejemplo 5: Número de goles por equipo, Liga Nacional de Hockey, 1966-67 Observaciones Poisson Neg Bin 29 21.36 27.32 1 71 63.63 68.66 2 82 94.77 91.63 3 89 94.09 86.31 4 65 70.06 64.34 5 45 41.74 40.38 6 24 20.72 22.17 7 8.82 10.93 8 3.28 4.92 9 1.09 2.06 10+ 0.44 1.28 Total – Chi-cuad 420 9.21 3.38

Ejemplo 6: Número de caries en niños de doce años Observaciones Poisson Neg Bin 63 13.02 52.56 1 29 32.90 31.55 2 12 41.58 21.50 3 15 35.03 15.23 4 8 22.14 11.00 5 9 11.19 8.03 6 4.71 5.90 7 1.70 4.37 0.54 3.24 0.15 2.41 10 0.04 1.80 11 0.00 1.35 1.01 13+ 3.05 Total – Chi-cuad 163 391.90 9.38

El Modelo Gamma, cuando se combina con una Distribución Poisson, es estable de forma a-posteriori Función de estructura a priori: 𝑔 𝜆 = Gamma(m, 𝜃) Promedio = m/𝜃 = 𝜆 ↓ Reclamos (k1,k2,…,kt) 𝑘= 𝑖=1 𝑡 𝑘 𝑖 Función de estructura a posteriori: 𝑔(𝜆|k1,k2,...,kt) = Gamma(m+k, 𝜃+t) Promedio = (m+k)/(𝜃+t) = 𝜆 (k1,k2,…,kt)

BMS Óptimo: Prima = (m+k)/(𝜃+t) * Rating por mérito basado en número de reclamos→ prima es proporcional a la estimación de λ Tiempo 1: P1 = 𝜆 = m/𝜃 = 0.1011 → 100 Tiempo 2: Si k1=0, P2 = 𝜆 (0)= m/(𝜃+1) = 0.0951 → 94 Si k1=1, P2 = 𝜆 (1)= (m+1)/(𝜃+1) = 0.1543 → 153 Si k1=2, P2 = 𝜆 (2)= (m+2)/(𝜃+1) = 0.2136 → 211 Tiempo 3: Si k1=0 y k2 = 0, P3 = 𝜆 (0,0)= m/(𝜃+2) = 0.0898 → 89 Si k1=1 y k2 = 3, P3 = 𝜆 (1,3)=(m+4)/(𝜃+2) = 0.3135 → 310

BMS Óptimo con un modelo Binomial Negativo Año Reclamos 1 2 3 4 100 94 153 211 269 329 89 144 199 255 310 84 137 189 241 294 80 130 179 229 279 5 76 123 171 218 266 6 73 118 163 208 253 7 69 113 156 242

Vínculo con la teoría de credibilidad Idea de Credibilidad Prima = (1-z)(prima de la población) + z(prima individual) En este caso λ 𝑡+1 = 1−𝑧 . 𝑚 𝜃 + z. 𝑘 𝑡 Si 𝑧= 𝑡 𝜃+𝑡 : λ 𝑡+1 = 𝑚+𝑘 𝜃+𝑡 → Credibilidad es una fórmula exacta de rating para la combinación Poisson - Gamma

Este “BMS óptimo” es Justo (porque es el resultado de la aplicación del teorema Bayesiano) Balanceado financieramente (el ingreso promedio del asegurador se mantiene en 100 cada año) PERO No es aceptable para reguladores y directores porque las severas penas Alienta a conductores sin seguros Sugieren un comportamiento de hit-and-run Hace que los asegurados dejen la aseguradora después de un accidente → En práctica, otro acercamiento, basado en las Cadenas de Markov, es usado

BMS como lo es: definición de una Cadena de Markov(CM) M es una Cadena de Markov que es discreta, no homogénea, cuando M es una secuencia infinita de variables aleatoria M0, M1,… que Mn denota el número de estado en los tiempos n, n=0,1,2,… 2. Cada Mn es una variable discreta y aleatoria que puede tomar r valores (r es el número de estados) 3. Todas las probabilidades de transición son independientes de la historia 𝑄 𝑛 𝑖,𝑗 = P[ Mn+1=j | Mn=i, Mn-1=in-1,…,M1=i1, M0=i0] = P[ Mn+1=j | Mn=i ] Para las aplicaciones BMS, las CM son homogéneas : 𝑄 𝑛 𝑖𝑗 = 𝑄 𝑖𝑗

BMS de Malasia Clase Nivel de Primas Clase después de 0 reclamo 6 100 5 75 4 70 3 62 2 55 1 45

p = P(0 reclamo) q = P(1 o más reclamo) Clase 6 5 4 3 2 1 q p

CM de mayor orden 𝑄 𝑛 𝑖,𝑗 = P[ Mn+1=j | Mn=i, Mn-1=in-1,…,M1=i1, M0=i0] = P[ Mn+1=j | Mn=i ] (= CM de orden 1) = P[ Mn+1=j | Mn=i, Mn-1=in-1 ] (= CM de orden 2) = P[ Mn+1=j | Mn=i, Mn-1=in-1, Mn-2=in-2 ] (= CM de orden 3)

Viejo BMS belga 18 clases Niveles de prima: 200, 160, 140, 130, 120, 115, 110, 105, 100, 100, 95, 90, 85, 80, 75, 70, 65, 60 Clase entrante: 100 por usuarios de negocios, 85 para viajeros Una clase bonus por cada año sin reclamos Dos clases de penalización por el primer reclamo Tres clases de penalización por cualquier otro reclamo en el año PERO regla especial: nadie debe pagar más de 100 después de cuatro años consecutivos sin reclamos → Esta es una Cadena de Markov de cuarto orden → Transformando se une una CM de cuarto orden a una de primer orden

Transforming a MC of order 4 into a MC of order 1 Clase Clase después de x accidentes Transforming a MC of order 4 into a MC of order 1 1 2 18 17.1 18 18 17.0 16.1 18 18 17.1 16.2 18 18 16.0 15.1 18 18 16.1 15.2 18 18 16.2 15.3 18 18 15.0 14.1 17.0 18 15.1 14.2 17.0 18 15.2 14.3 17.0 18 15.3 10 17.0 18 etc …

Clase después de x reclamos BMS de Japón Clase Prima Clase después de x reclamos 1 2 3 4 5 16 150 15 140 14 130 13 120 12 110 11 100 10 90 9 80 8 70 7 60 6 50 45 42 40

Matriz de transición del BMS Japonés 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1-p0 p0 1-p0-p1 p1 1-p0-p1-p2 p2 P0 1-p0-p1-p2-p3 p3 P1 1-p0-p1-p2-p3-p4 p4 P2

Matriz de transición del BMS Japonés 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 .0952 .9048 .0047 .0905 .0002 .0045

La matriz de transición de pasos-k Las probabilidades de transición de k-pasos, k 𝑄 𝑛 (𝑖,𝑗) =P[ Mn+k= j | Mn = i ] Puede ser calculada usando las ecuaciones Chapman-Kolmogorov k+l 𝑄 (𝑖,𝑗) = 𝑠=1 𝑟 k 𝑄 (𝑖,𝑠) . l 𝑄 (𝑠,𝑙) Esto es una multiplicación de matrices. En particular, 2Q = Q x Q La distribución estacionaria πj = lim 𝑘→∞ k 𝑄 (𝑖,𝑗) existe para todas las aplicaciones de BMS

Matriz de transición de 4 pasos Japonenesa 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 .0952 .0861 .0779 .0705 .6703 .0281 .1531 .0191 .2120 .0109 .2716 .0248 .0224 .0035 .2681 .0047 .0358 .0176 .0023 .0410 .0135 .0046 .0024 .0008 .0403 .0134 .0025 .0042 .0010 .0001 .0402 .0005 .0029 .0041 .0004 .0002 .0027 .0040 .0003 .0436 .0101 .0670 .2011 .0369 .0067 .1341 .0015 .0102 .0168 .0235 .0704 .

Matriz de transición de 16 pasos Japonenesa 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 .0071 .0108 .0115 .0128 .0508 .0328 .0265 .0272 .1594 .0465 .0362 .0348 .2709 .0259 .0235 .2231 .0043 .0112 .0137 .0131 .0104 .0635 .0360 .0274 .0140 .1827 .0452 .0287 .2682 .0044 .0164 .0169 .0085 .0791 .0390 .0143 .2058 .0439 .2657 .0042 .0045 .0041 .0231 .0090 .0073 .0970 .0280 .0133 .0119 .2287 .0377 .4654 .0032 .0052 .0035 .0275 .0078 .0057 .1032 .0292 .0121 .0106 .2467 .0350 .0015 .0048 .0060 .0039 .0029 .0313 .0174 .0064 .0047 .1117 .0529 .2198 .0326 .0014 .0063 .0065 .0034 .0024 .0173 .0054 .0107 .1129 .0267 .0531 .0502 .1931 .4745 .0012 .0074 .0069 .0030 .0365 .0144 .1091 .0689 .0504 .0477 .6199 .0009 .0017 .0011 .0084 .0072 .0037 .0372 .0150 .0179 .1463 .0641 .049 .0005 .0013 .0019 .0082 .0437 .0260 .0185 .0744 .1242 .0595 .6201 .0016 .0022 .0103 .0092 .0061 .0148 .0448 .0282 .0750 .0692 .1047 .6297 .0004 .0026 .0020 .0154 .0202 .0443 .0830 .0697 .0644 .6701 .0003 .0006 .0008 .0023 .0036 .0051 .0125 .0191 .0207 .0248 .0964 .0755 .0647 .0002 .0007 .0028 .0210 .0234 .0252 .0841 .0837 .0686 .6704 .0010 .0076 .0176 .0249 .0269 .0843 .0769 .0730 .6728 .0079 .0177 .0232 .0276 .0852 .0770 .0702 .6757

Matriz de transición de 128 pasos Japonenesa 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 .0003 .0005 .0007 .0011 .0017 .0025 .0045 .0066 .0088 .0188 .0240 .0281 .0860 .0778 .0703 .6683 .0859 .0704 .6684 .0777 .6685 .6686 .0065 .0004 .0187 .6687 .6688

Cómo medir tasa de convergencia? Variación total: (𝑇𝑉) 𝑛 = | n 𝑄 (𝑖,𝑗) − π 𝑗 | Años Bélgica Japón Taiwán Suiza 1.9913 1.9950 2.0000 1.9742 10 1.7769 1.1551 0.0000 1.0124 20 0.9120 0.3217 0.3541 30 0.4209 0.0529 0.1348 60 0.0382 0.0007 0.0061

Gran problema: desbalance financiero Más del 81% de los asegurados terminan en las clases 1, 2, o 3, y pagan la prima mínima de 40 Menos del 0.5% de los aseguradores terminan en zonas malus Por qué? Penalizaciones no son suficientemente severas En una década, en promedio, de diez asegurados Nueve no tienen reclamos → -9 clases Una tiene un reclamos → +3 clases Total: - 6 clases Por lo tanto, el ingreso por asegurado va bajando El problema es muy severo en Japón, pero pasa en todos los países

Evolución del nivel de prima promedio

Comparar BMS existentes ÍNDICE DE SEVERIDAD Queremos Comparar BMS existentes Diseñar nuevos BMS Diseñaremos un “Índice de severidad” usando 30 BMS alrededor del mundo por medio de la creación de cuatro herramientas para medir severidad

Herramienta #1: Nivel Promedio Estacionaro Relativo (RSAL) 𝑅𝑆𝐴𝐿= 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 −𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑚í𝑚𝑖𝑚𝑜 𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 −𝑁𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 * Este índice ε [0,1] determina la posición relativo del asegurado promedio. Debería estar alrededor de ½ Para Japón: 𝑅𝑆𝐴𝐿= 45.093−40 150−40 =0.0463

Herramienta # 1: El nivel promedio estacionario relativo (%) (RSAL) Kenia 28.79 16 Alemania (nuevo) 5.85 2 España 25.67 17 Japón (nuevo) 4.63 3 Malasia 21.17 18 Bélgica (nuevo) 4.05 4 Finlandia (nuevo) 16.04 19 Dinamarca 3.78 5 Suecia 14.20 20 Suiza (antiguo) 2.90 6 Holanda 11.78 21 Francia 2.12 7 Gran Bretaña (protegido) 11.37 22 Noruega (nuevo) 2.11 8 Taiwan 9.55 23 Brasil 1.85 9 Finlandia (antiguo) 8.46 24 Corea 1.37 10 Hong Kong 8.35 25 Luxemburgo (nuevo) 1.36 11 Tailandia 8.03 26 Italia (nuevo) 1.30 12 Gran Bretaña (no protegido) 7.07 27 Luxemburgo (antiguo) 1.01 13 Portugal 6.75 28 Japón (antiguo) 0.88 14 Noruega (antiguo) 6.61 29 Bélgica (antiguo) 0.74 15 Suiza (nuevo) 6.47 30 Italia (old) 0.01

Sobrecargo para los recién llegados Dividiendo la prima de nivel inicial (usualmente 100) por la prima estacionaria, podemos medir el sobrecargo implícito pagado por los recién llegados El sobrecargo es más de 100% para 14 de los 30 BMS con un máximo de 213% para Alemania (nuevo) Ya que los nuevos conductores son penalizados con un pesado y explícito sobrecargo (a veces hasta +200% para hombres jóvenes), hay un riesgo de contar dos veces por el mismo efecto

Herramienta #2: Coeficiente de variación de las primas (CV) 𝐶𝑉= 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 Sin BMS, todos pagan la misma prima→ Variación es 0 (solidaridad constante entre todos los asegurados) Sin seguros, todos pagan por sus reclamos→ Variación es máxima (no hay solidaridad, personalización completa de la prima) → La variabilidad de las primas mide el grado de solidaridad implicado en el BMS

Evolución del Coeficiente de Variación

Coeficiente de Variación como función de λ

Herramienta #2: Coeficiente de Variación de premias (% retenido) 1 Suiza (nuevo) 7.18 16 Luxemburgo (nuevo) 3.35 2 Noruega (antiguo) 6.09 17 Bélgica (nuevo) 3.32 3 Kenia 5.99 18 Francia 3.20 4 Finlandia (nuevo) 19 Noruega (nuevo) 5 Suecia 5.89 20 Portugal 3.06 6 Holanda 5.50 21 Tailandia 3.01 7 Japón (nuevo) 5.13 22 España 2.40 8 Taiwan 4.94 23 Corea 1.99 9 Malasia 4.80 24 Japón (antiguo) 1.97 10 Dinamarca 4.71 25 Gran Bretaña (protegido) 11 Suiza (antiguo) 4.21 26 Luxemburgo (antiguo) 1.68 12 Finlandia (antiguo) 4.02 27 Italia (nuevo) 1.46 13 Alemania (nuevo) 3.96 28 Bélgica (antiguo) 0.92 14 Hong Kong 3.93 29 Brasil 0.48 15 Gran Bretaña (no protegido) 3.78 30 Italia (antiguo) 0.07

Herramienta #3: Elasticidad de la prima estacionaria promedio respecto a la frecuencia de reclamos Intuición: Asegurado A con λ=0.10 paga $50,000 en primas de por vida Asegurado B con λ=0.11 debería pagar $55,000 primas de por vida Si, en prácitca, B paga $51,000, la elasticidad es 20% 51,000−50,000 50,000 0.11−0.10 0.10 = 0.2 Definición μ λ = 𝑑𝑃(λ)/𝑃(λ) 𝑑λ/λ Valor ideal: 1

Elasticidad en función de λ

Herramienta #3: Elasticidad 1 Suiza (nuevo) .449 16 Taiwan .136 2 Finlandia (nuevo) .403 17 Hong Kong .133 3 Suecia .298 18 Gran Bretaña (no protegido) .129 4 Holando .275 19 Noruega (nuevo) .127 5 Noruega (antiguo) .263 20 Portugal .111 6 Alemania (nuevo) .257 21 Tailandia .081 7 Kenia .237 22 España .079 8 Japón (nuevo) .232 23 Corea .078 9 Suiza (antiguo) .208 24 Italia (nuevo) .063 10 Francia .200 25 Luxemburgo (antiguo) .058 11 Bélgica (nuevo) .195 26 Japón (antiguo) .052 12 Finlandia (antiguo) .194 27 Gran Bretaña (protegido) .051 13 Luxemburgo (nuevo) .183 28 Bélgica (antiguo) .024 14 Malasia .165 29 Brasil .011 15 Dinamarca 30 Italia (antiguo) .001

Herramienta #4: Retención promedio óptima Efecto de hambre por los bonos: con BMS, asegurados pagan reclamos chicos por su cuenta y no los reportan a su compañía, para evitar incrementos de premio en el futuro La estrategia óptima depende de muchos factores: clases, λ, tasa de descuento, tiempo de los reclamos Puede ser calculado por medio de técnicas de programación dinámicas

Herramienta #4: Retención promedio óptima (% de prima promedia) 1 Taiwan 315.92 16 Noruega (nuevo) 95.83 2 Kenia 202.08 17 Bélgica (nuevo) 87.13 3 Finlandia (nuevo) 199.84 18 Luxemburgo (nuevo) 83.81 4 Noruega (antiguo) 192.85 19 Japón (nuevo) 81.04 5 Suiza (nuevo) 186.03 20 Tailandia 76.20 6 Suecia 170.26 21 Francia 73.28 7 Holanda 168.40 22 España 69.21 8 Alemania (nuevp) 158.29 23 Corea 62.28 9 Malasia 146.12 24 Luxemburgo (antiguo) 41.87 10 Finlandia (antiguo) 142.74 25 Gran Bretaña (protegido) 40.45 11 Portugal 139.83 26 Bélgica (antiguo) 37.34 12 Dinamarca 128.58 27 Italia (nuevo) 34.28 13 Hong Kong 111.01 28 Japón (old) 20.68 14 Gran Bretaña (no protegido) 110.88 29 Brasil 10.74 15 Suiza (antiguo) 108.87 30 Italia (antiguo) 0.55

Correlaciones entre las cuatro medidas de severidad Las cuatro herramientas pueden ser usadas para medir severidad, pero están correlacionadas Correlaciones entre las cuatro medidas de severidad → Utilizamos análisis factorial para resumir los datos RSAL CV Elasticidad Retención 1 0.4748 0.3168 0.4813 0.9009 0.8378 0.6853

Variación explicada por cada factor Variación acumulada explicada % 1 2.9041 72.60 2 0.7483 18.71 91.41 3 0.2947 7.27 98.57 4 0.0488 1.43 100 Total

Correlaciones entre variables y factores RSAL 0.6155 0.7777 Coeficiente de Variación 0.9673 -0.1591 Elasticidad 0.8837 -0.3428 Retención óptima 0.8993 0.0243

ĺndice de severidad 1 Suiza (nuevo) 1.7917 16 España -0.1116 2 Finlandia (nuevo) 1.7794 17 Portugal -0.1339 3 Kenia 1.6942 18 Bélgica (nuevo) -0.1604 4 Suecia 1.2791 19 Luxemburgo (nuevo) -0.2831 5 Taiwan 1.1585 20 Francia -0.2886 6 Noruega (antiguo) 1.0974 21 Noruega (nuevo) -0.3934 7 Holanda 1.0610 22 Tailandia -0.4754 8 Malasia 0.7984 23 Gran Bretaña (protegido) -0.8170 9 Alemania (nuevo) 0.5044 24 Corea -0.9310 10 Finlandia (antiguo) 0.3427 25 Luxemburgo (antiguo) -1.1475 11 Japón (nuevo) 0.2710 26 Italia (nuevo) -1.2003 12 Dinamarca 0.1912 27 Japón (antiguo) -1.2103 13 Suiza (antiguo) 0.1060 28 Bélgica (antiguo) -1.4146 14 Hong Kong 0.0100 29 Brasil -1.6210 15 Gran Bretaña (no protegido) -0.0683 30 Italia (antiguo) -1.8248

El sistema suizo es el más severo del mundo Percentil 96.39 El sistema suizo es el más severo del mundo = 1.79 desviaciones estándar a la derecha de la media

Puntuaciones de Factores

“Índice de severidad” y “CV” proveen casi la misma información País Severidad rango CV rango Suiza (nuevo) 1 España 16 22 Finlandia (nuevo) 2 4 Portugal 17 20 Kenia 3 Bélgica (nuevo) 18 Suecia 5 Luxemburgo (nuevo) 19 Taiwan 8 Francia Noruega (antiguo) 6 Noruega (nuevo) 21 Holanda 7 Tailandia Malasia 9 Gran Bretaña (protegido) 23 25 Alemania (nuevo) 13 Corea 24 Finlandia (antiguo) 10 12 Luxemburgo (antiguo) 26 Japón (nuevo) 11 Italia (nuevo) 27 Dinamarca Japón (antiguo) Suiza (antiguo) Bélgica (antiguo) 28 Hong Kong 14 15 Brasil 29 Gran Bretaña (no protegido) Italia (antiguo) 30

𝑃𝑢𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟= No hay juzgado implicado: “severo” es sinónimo de “menos solidaridad” CV casi tan bueno como el primer factor – y más simple de calcular Países que recientemente modificaron sus BMS lo han hecho más severo 30 países se usan para construir el índice de severidad. Cualquier otro sistema puede ser posicionado en la clasificación usando la definición del primer factor: 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟= 0.26255∗ 𝑅𝑆𝐴𝐿−7.4757 7.2557) +0.28739∗ 𝐶𝑉−0.23087 0.11398 + 0.26255∗ 𝐸𝐿𝐴𝑆−0.16193 0.10769 +0.26719∗( 𝑅𝐸𝑇−3784.37 2382.47 )