MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA Juan C. Fernandez 6.1 – Comportamiento no ideal de Componentes

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA COMPORTAMIENTO NO IDEAL DE COMPONENTES Introducción Un circuito electrónico está formado por un conjunto de componentes concentrados y/o distribuidos, pasivos y/o activos, interconectados entre sí. El diseño electrónico consiste en elaborar un circuito para obtener un cierto comportamiento deseado. Para ello se utilizan los modelos ideales de los componentes del circuito, su soporte e interconexiones. En el caso del soporte, habitualmente dieléctrico, se lo considera neutral para el comportamiento del circuito. En el caso de las interconexiones, se las considera como volúmenes equipotenciales conductores perfectos. Todas estas suposiciones configuran el llamado comportamiento ideal del circuito y sus componentes. En esta clase analizaremos en forma introductoria la influencia del comportamiento no ideal de los elementos de un circuito.

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA COMPORTAMIENTO NO IDEAL DE COMPONENTES Modelos básicos: Para modelar el comportamiento no ideal de componentes pasivos (R,L,C) se usan los modelos básicos RLC serie y paralelo. En esta presentación no vamos a modelar el comportamiento no ideal de componentes activos. Para modelar el comportamiento no ideal del soporte e interconexiones del circuito se usan modelos de constantes concentradas o distribuidas de acuerdo a la longitud eléctrica de las interconexiones. Se debe tener en cuenta el efecto pelicular en función de la frecuencia. Se debe tener en cuenta el efecto de proximidad. Finalmente, se debe tener en cuenta los efectos de la radiación de campos EM en el ambiente, que producirán tensiones y corrientes inducidas en el circuito. En un diseño bajo normas de EMC se debe tener en cuenta también la emisión de radiación EM por el circuito. distribución inhomogénea de corrientes en las secciones transversales de los conductores distribución inhomogénea de corrientes en las secciones transversales de los conductores por fuerzas

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA COMPORTAMIENTO NO IDEAL DE COMPONENTES Modelos básicos RLC serie y paralelo: RLC serie: RLC paralelo: L R +  C L R C

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA COMPORTAMIENTO NO IDEAL DE COMPONENTES Modelos básicos de resistores: Los resistores reales tienen una inductancia serie parásita L y una capacidad entre terminales parásita C. Por ejemplo, un resistor típico de carbón tiene L  5nH y C  1pF (f0  2.25 GHz). L R C R = 10k Reff Xeff R = 50 Reff Xeff

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA COMPORTAMIENTO NO IDEAL DE COMPONENTES Modelos básicos de inductores: Los inductores reales tienen una resistencia serie parásita R y una capacidad entre terminales parásita C. Por ejemplo, un inductor común tiene R  1 y C  1pF. L = 20mH f0  1.1 MHz Reff Xeff L R C L = 2H f0  112.5 MHz Reff Xeff L = 2H f0  112.5 MHz Reff Xeff L = 20mH f0  1.1 MHz Reff Xeff

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA COMPORTAMIENTO NO IDEAL DE COMPONENTES Modelos básicos de capacitores: Los capacitores reales tienen una resistencia serie parásita R, una inductancia serie parásita L y una capacidad entre terminales parásita C. Como en los casos anteriores, tomamos R  1 y C  1pF. L R C C0 C0 = 1 nF f0  71.2 MHz f1  2.25 GHz Reff Xeff C0 = 1 nF f0  71.2 MHz f1  2.25 GHz Reff Xeff

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA Juan C. Fernandez 6.2 – Modelo BF-Teoría del Potencial

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – MODELO DE CAMPOS Las ecuaciones del campo para fenómenos cuasiestáticos: 2(r,t) = - (r,t)/ 2A(r,t) = -  j(r,t) son ecuaciones de Poisson, o de Laplace para puntos donde se anulan las fuentes (cargas y Corrientes) También las corrientes cuasi-estacionarias cumplen una ecuación de Laplace: j(r,t) = 0  [E(r,t)] = 0  [-(r,t)] = 0  2(r,t) = 0 Luego el paradigma para la solución de problemas cuasiestáticos es la ecuación de Poisson, para puntos con fuentes. o la ecuación de Laplace, para puntos sin fuentes. En general: 2¨f(r,t) = g(r,t) La especificación de una ecuación de este tipo dentro de un recinto, junto con las condiciones de contorno, constituye un problema de potencial. S1 S2

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – TEORIA DEL POTENCIAL Propiedades fundamentales de las soluciones de un problema de potencial: Unicidad: La solución de un problema de potencial es única. Superposición: La suma de soluciones de la Ec. de Laplace es también solución de la Ec. de Laplace. Las líneas equipotenciales eléctricas son paralelas a contornos donde se aplica la condición de Dirichlet y normales a contornos donde se aplica la condición de Neumann. S1 S2 Las líneas de campo magnético B son paralelas a contornos donde se aplica la condición de Dirichlet A = 0 y normales a contornos donde se aplica la condición de Neumann . Dirichlet Neumann

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – SEPARACION DE VARIABLES Métodos Analíticos – Separación de variables Este método se aplica a ecuaciones diferenciales cuyas soluciones son funciones de varias variables: f(x1,x2,…xN) El método plantea que la función de varias variables puede expresarse como un producto de funciones de una sola variable: f(x1,x2,…xN) = X1(x1) X2(x2) … XN(xN) lo que permite simplificar la resolución de la ecuación diferencial. Ecuación de Laplace – Separación de variables (coords. cartesianas)

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – SEPARACION DE VARIABLES Estas soluciones surgen de la elección particular de signos para cada constante de separación. Esta elección depende de las condiciones de borde del problema. En todos los casos al menos una de las constantes de separación debe ser de signo diferente a las otras dos.

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – SEPARACION DE VARIABLES EJEMPLO: Hallar el potencial dentro de la región 2D de la figura. y d   = 0 0 x Condiciones de borde: Solución: Condiciones de borde: x , (x,y)  0  A = 0  y = 0  V(x,0) = C2 e –kx = 0  C2 = 0 y = d  V(x,d) = C1 e –kx sen(kd) = 0  k = n/d  Superposición:

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – SEPARACION DE VARIABLES y Toda separación de variables lleva a una representación de Fourier en coordenadas cartesianas.

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS Diferencias finitas Grilla de puntos discretos: xi = x0 + i h yj = y0 + j h paso h uniforme (no siempre) PROBLEMA DE POTENCIAL S1 S2 h i,j+1 i,j-1 i+1,j i-1,j i,j Se aproximan las derivadas por diferencias finitas:

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS Diferencias finitas La ecuación de Poisson queda así: PROBLEMA DE POTENCIAL S1 S2 de donde: h i,j+1 i,j-1 i+1,j i-1,j i,j SOLUCIONES Resolución directa del sistema de ecuaciones Resolución iterativa.

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS DIFERENCIAS FINITAS h i,j+1 i,j-1 i+1,j i-1,j i,j Resolución directa del sistema de ecuaciones El sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial: [A][] = [] donde: [] = {i,j} es la matriz de potenciales (incógnitas) [] = {i,j} es la matriz de densidades de carga, y es una matriz tridiagonal. La solución de este sistema de ecuaciones es: [] = [A]-1[] y como la matriz inversa A-1 es la inversa de una matriz tridiagonal, se simplifican los cálculos.

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS DIFERENCIAS FINITAS h i,j+1 i,j-1 i+1,j i-1,j i,j Resolución iterativa del sistema de ecuaciones RELAJACIÓN Ventajas y características: Método en el dominio de la frecuencia. Fácil programación. Puede usarse hoja de cálculo. La convergencia habitualmente es lenta. Permite una primera estimación de los campos.

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS DIFERENCIAS FINITAS - RELAJACIÓN h i,j+1 i,j-1 i+1,j i-1,j i,j RESIDUO Sobrecorrección: SOBRERRELAJACIÓN Factor de Convergencia

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS ELEMENTOS FINITOS (FEM) Ventajas y características : Método en el dominio de la frecuencia Formulación simple pero profesional, aplicable a problemas con recintos complejos Puede introducir características materiales y no-linealidades Amplia experiencia en el uso y conocimiento de sus limitaciones Aplicaciones típicas en la Ingeniería Eléctrica Determinación de campos eléctricos y magnéticos Análisis de dispositivos: máquinas, relés, bobinas, transformadores, actuadores biomédica: modelado de campos en seres vivos análisis y modelado de dispositivos semiconductores Optimización de dispositivos: mejor desempeño reducción de peso, volumen y costos optimización de parámetros geométricos

MODELOS EN COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNETICA MODELO CUASIESTATICO – MÉTODOS NUMÉRICOS ELEMENTOS FINITOS (FEM) – Etapas del cálculo dividir el recinto de integración en un número finito de regiones o elementos, establecer las soluciones del potencial y/o los campos dentro de un elemento, plantear las condiciones de ajuste de las soluciones en las fronteras entre elementos, y resolver estas ecuaciones. La geometría de la generación de los elementos finitos es crítica para que el problema sea resoluble. La forma matemática de las soluciones en cada elemento debe ser al menos cuadrática, Las condiciones de borde requieren cuidadoso análisis. La resolución del sistema lineal es muy costosa desde el punto de vista computacional.