PORCENTAJES U. D. 4 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO U. D. 4.5 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Interés simple El dinero depositado en un banco se llama CAPITAL ( C ). La cantidad de dinero que paga el banco por el capital depositado se llama INTERÉS ( i ). El dinero que paga el banco al año por cada 100 € depositados se llama TIPO DE INTERÉS o RÉDITO ( r ) El interés es DIRECTAMENTE PROPORCIONAL al capital, al rédito y al tiempo. C . r . t C . r . t C . r . t i = ------------- ; i = ------------; i = ------------ , según se mida 100 1200 36000 el tiempo en años, meses o días. O sea Interés = C.r.t ,, Capital final = C + C.r.t @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Interés simple Los intereses que nos da una entidad por nuestros ahorros es: i = C.(r/100).t Al finalizar el tiempo tendremos: Capital final = Capital inicial + i Cf = C + i Cf = C + C.(r/100).t Sacando C como factor común: Cf = C.[1 + (r/100).t] El término 1+(r/100).t es el índice de variación. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo_1 Un grupo de estudiantes tiene 5.000 € para un viaje fin de estudios a realizar dentro de dos años, dos meses y 20 días. Un banco les ofrece un interés nominal anual del 3%. ¿Qué dinero adicional obtendrían si lo colocan a 2 años? ¿Y si lo colocan a 26 meses? ¿Y si lo colocan a 800 días? C . r . t 5.000.3.2 i = ------------- = --------------------- = 300 € 100 100 C . r . t 5.000.3.26 i = ------------- = --------------------- = 325 € 1200 1200 C . r . t 5.000.3.800 i = ------------- = --------------------- = 367 € 36000 36000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo_2 Ana deposita 3.000 € en un banco, con un interés anual del 2%, durante 4 años . Pedro deposita 4.000 € en otro banco, con un interés anual del 3%, durante 28 meses . Belén deposita 3.500 € en un tercer banco, con un interés anual del 2,5 %, durante 10 trimestres . ¿Qué dinero tendrán cada uno al finalizar sus contratos? Ana Cf = Co + Co.(r/100).t = Co· (1+(r/100)·t) Cf = 3000·(1 + (2/100).4) = 3000·(1+0,04) = 3120 € Pedro Cf = Co + Co.(r/1200).t = Co· (1+(r/1200)·t) Cf = 4000·(1 + (3/1200).28) = 4000·(1+0,07) = 4280 € Belén Cf = Co + Co.(r/400).t = Co· (1+(r/400)·t) Cf = 3500·(1 + (2,5/400).10) = 3500·(1+0,0625) = 3718,75 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo_3 ¿Qué rédito me debe ofrecer un banco si deseo que al cabo de 20 meses un capital de 5000 € se me convierta en 6000 €? Quiero que 5000 + i = 6000 Luego debo conseguir unos intereses de 1000 €. C . r . t 5.000. r. 20 i = ------------- ; 1000 = -------------------- ; 1200 1200 Resolviendo la ecuación: 1200000 = 100.000. r  r = 1200000 / 100000 = 12 El tipo de interés debe ser del 12%. Nota: Un rédito tan alto es impensable conseguirlo actualmente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo_4 ¿Qué tiempo debo tener invertido un capital para que con un tipo de interés del 4% pueda triplicar dicho capital inicial? Quiero que C + i = 3.C Luego debo conseguir unos intereses de 2.C. i = C . r . t / 100; 2.C = C.0,04.t Resolviendo la ecuación: 2 = 0,04.t  t = 2 / 0,04 = 50 Debo depositarlo durante 50 años para que se triplique. Otra forma de resolverlo: Cf = C.[1 + (r/100).t] 3.C =C.[1+(4/100).t]  3.C = C + C.0,04.t  2.C =C.0,04.t Nota: Si en lugar de interés simple lo invertimos a interés compuesto se tardaría menos tiempo en triplicar. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

INTERESES Hay dos tipos de interés bancario o financiero: El interés simple y el interés compuesto. Si el interés simple es el 2% anual, de cada 100 € que prestamos al banco nos devuelve 102 € al final del año (comisiones, gastos e impuestos aparte). En el segundo año que lo prestemos nos vuelve a dar 2 € adicionales, con lo cual tendremos a los dos años 104 € en total. Si el interés compuesto es el 2% anual, de cada 100 € que prestamos al banco nos devuelve 102 € al final del año (comisiones, gastos e impuestos aparte). Hasta aquí como si fuera simple. En el segundo año que lo prestemos nos dará el 2% de 102 €, no de 100 €, con lo cual ese segundo año ganaremos 2,04 € en lugar de 2 €, teniendo un total al final de los dos años de 104,04 € en total. Esa diferencia de saldos, que parece muy pequeña, para grandes cantidades de dinero o largos periodos de tiempo, resulta muy importante. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

INTERÉS COMPUESTO En el interés compuesto, tras cada periodo de tiempo ( años, meses o días), el interés producido se suma al capital. En el primer año (t = 1): Cf1 = Co + Co.r/100 = Co.(1+ r/100) En el segundo año (t=1): Cf2 = Cf1 (1+r/100) Cf2 = Co · (1+r/100) · (1+r/100) = Co · (1+r/100)2 En el tercer año (t=1): Cf3 = Cf2 (1+r/100) Cf3 = Co · (1+r/100)2 · (1+r) = Co.(1+ r)3 Al cabo de t años tendremos: Capital final: Cf = Co.(1+ r)t Siendo (1+r/100) el número índice. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

INTERÉS COMPUESTO Si en lugar de años (t) , los intereses se abonan cada dos o tres meses, o incluso mensualmente, entonces el llamado periodo de capitalización será menor al año. Si r es el interés anual que nos ofrece el banco, r / 12 será el interés mensual. Al cabo de m meses tendremos: Capital final: Cf = Co.(1+ r/1200)m Si los intereses se abonan en trimestres, tendremos: Si r es el interés anual , r / 4 será el interés trimestral. Al cabo de n trimestres tendremos : Capital final: Cf = Co.(1+ r/400)n @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo_1 Ejemplo 1 Deposito en un banco 5.000 € a un interés (compuesto) del 5%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. En el primer año: Capital final = 5000 + 5000.0,05 = 5000.1,05 = 5250 En el segundo año: Capital final = 5250 + 5250.0,05 = 5512,5 En el tercer año: Capital final = 5512,5 + 5512,5.0,05 = 5688,025 Y así hasta el 10º año. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = Co.(1+r)t Capital final = 5000.(1+0,05)10 = 8144,47 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo_2 y 3 Ejemplo 2 Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r)t Capital final = 10000.(1+0,03)10 = 13439,16 € (1+0,03)10 es el índice de variación a 10 años. Ejemplo 3 Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 120 meses?. Utilizando la fórmula, al cabo de 120 meses tendremos: Capital final = C.(1+r)m Capital final = 10000.(1+3/1200)120 = 10000.(1+0,0025)120 = = 10000.1,349353 = 13493,53 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplo_4 y 5 Ejemplo 2 Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 4%. ¿Cuál será el capital al cabo de 10 años?. Utilizando la fórmula, al cabo de 10 años tendremos: Capital final = C.(1+r/100)t Capital final = 10000.(1+0,04)10 = 14.802,5 € Ejemplo 3 Deposito en un banco 10.000 € a un interés anual (compuesto) del 3%. ¿Cuál será el capital al cabo de 20 meses?. Utilizando la fórmula, al cabo de 20 meses tendremos: Capital final = C.(1+r/1200)m Capital final = 10000.(1+0,04/12)20 = 10000.(1+0,003334)20 = = 10.688,34 € @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Comparación intereses Los capitales depositados a interés simple crecen de forma lineal o aritmética. Cf = Co + Co.r.t = Co.(1 + r.t) Co = Capital inicial Por ejemplo, cada año 1000 € se incrementan en 50 €. Los capitales depositados a interés compuesto crecen de forma exponencial o geométrica. Cf = Co.(1 + i)t Por ejemplo, cada año 1000 € se incrementan sucesivamente en 60 €, en 67,5 €, en 73 €, etc. Co 0 1 2 3 años @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.