CALCULO VECTORIAL

Sesión 5.3 CALCULO VECTORIAL

Contenidos Habilidades Campos escalares y vectoriales. Gradiente de un campo escalar. Divergencia de un campo vectorial. Rotacional de un campo vectorial. Función potencial y campos conservativos

Habilidades Identifica campos vectoriales. Define el concepto de campo vectorial conservativo. Halla una función potencial para un campo vectorial dado. Determina si un campo vectorial es conservativo o no en una región dada del plano. Calcula la divergencia de un campo vectorial Calcula el rotacional de un campo vectorial en el espacio. Determina si un campo vectorial es conservativo o no en una región dada del espacio.

Campos escalares y vectoriales. Son funciones del tipo T = f(x, y) ó T = f(x, y, z) que ya estudiamos (representamos, derivamos e integramos) como casos particulares que son de funciones de dos o tres variables. Campos vectoriales Sea E un conjunto de R3 [R2]. Un campo vectorial sobre E es una función F que asigna a cada punto (x, y, z) [(x, y)] de E un vector tridimensional [bidimensional] F(x, y, z) [F(x, y)].

Ejemplos Campos escalares 2. Campos vectoriales Los que proporcionan la densidad, Los que proporcionan la temperatura, Los que proporcionan la altura, etc. 2. Campos vectoriales Campos de fuerzas: campos eléctricos y gravitatorios. Campos de velocidades: movimiento del viento junto a una superficie aerodinámica, corrientes oceánicas, velocidad de un fluído, etc. Campos de flujo: el que describe un flujo de calor, etc.

Ejemplo1 Un campo vectorial sobre R2 está definido por F(x, y) = -y i + x j , describa F trazando algunos de sus vectores y diga sus características fundamentales. Ejemplo 2 Analice el campo vectorial F(x, y, z) = x i + y j + 3 k y diga sus características fundamentales.

Gradiente Gradiente de un campo escalar en el plano Si f(x, y) es un campo escalar en el plano, entonces: es un campo vectorial que se llama “gradiente de f”. También se lee “nabla f” Gradiente de un campo escalar en el espacio Si f(x, y, z) es un campo escalar en el espacio, entonces es un campo vectorial que se llama “gradiente de f”. También se lee “nabla f “.

Ejemplo 3 Halle el gradiente del campo f(x, y) = 3x2 + 4y2 – xy. Ejemplo 4 Si V = x2 + 3xz + yz2 es el potencial eléctrico producido por un sistema de cargas, halle su campo gradiente.

Interpretación física: El gradiente de un campo escalar f es un campo vectorial cuyos elementos señalan, para cada punto del espacio, la dirección en la que f aumenta con mayor intensidad (máxima derivada direccional). Además, para cada punto del espacio, la magnitud del campo vectorial coincide con el valor numérico de la mayor derivada direccional. Operador nabla:

Divergencia Divergencia de un campo vectorial: Si es un campo vectorial sobre R3 y existen las derivadas parciales entonces la divergencia de F es el campo escalar definido por: Mediante el operador Nabla:

Ejemplo 5 Determine la divergencia del campo vectorial

Interpretación física de la divergencia:La divergencia de un campo vectorial está asociada con la divergencia o convergencia (divergencia negativa) en cada punto del espacio de las líneas del campo vectorial. Se puede visualizar muy bien si nos imaginamos el campo de velocidades de un fluido. Los puntos en que hay divergencia positiva, son puntos en que las líneas de velocidad del fluido divergen, lo cual ocurre en presencia de una fuente de fluido. Por el contrario, en los puntos del espacio en que la divergencia del campo es negativa, las líneas de velocidad convergen, lo cual ocurre, por ejemplo, si en el punto hay un sumidero.

Rotacional Rotacional de un campo vectorial: Si es un campo vectorial sobre R3 y existen las derivadas parciales de P, Q y R, entonces el rotacional de F es el campo vectorial sobre R3 definido por: Mediante el operador Nabla:

Ejemplo 6 Halle el rotacional del campo vectorial

Interpretación física del rotacional: El rotacional de un campo vectorial está relacionado con el comportamiento de las líneas de campo a formar rotaciones en determinados puntos. Así, por ejemplo, si F representa el campo vectorial de las velocidades de las partículas de un fluido, entonces las partículas cercanas al punto (x, y, z) tienden a girar alrededor del eje que señala el rotacional de F en el punto (x, y, z) (lo hacen en el sentido que da la regla de la mano derecha) y la longitud de este vector rotacional da una medida de la velocidad angular de las partículas alrededor del eje. Si en un punto el rotacional es cero, entonces el fluido no gira en P y se dice que F es irrotacional en ese punto.

Relaciones entre el gradiente, la divergencia y el rotacional Teorema: Si f es un campo escalar que posee segundas derivadas parciales continuas, entonces: Teorema: Si F es un campo vectorial cuyas componentes poseen segundas derivadas parciales continuas, entonces:

Ejemplo 7 Dado un campo específico, comprobar que las propiedades se satisfacen.¿Existe un campo vectorial G en R3 tal que

Función potencial y campos conservativos Si F es el gradiente de f, diremos que f es una función potencial de F y que F es un campo conservativo. Teorema: Si F es un campo vectorial cuyas componentes poseen segundas derivadas parciales continuas, entonces una condición necesaria y suficiente para que F sea conservativo es que rot(F) = 0

La condición anterior, se particulariza para campos en el plano tomando F(x, y, z) = P(x, y)i + Q(x, y)j + 0 k y se obtiene: Teorema: Si F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j es un campo vectorial en el plano, cuyas componentes poseen segundas derivadas parciales continuas, entonces una condición necesaria y suficiente para que F sea conservativo es que Como parte de la demostración, se obtiene el método para determinar la función potencial f a partir del gradiente.

Ejemplo 8 Determine si el campo vectorial F(x, y) = (2x – 3y)i + (2y – 3x)j es conservativo. Si lo es, halle una función potencial. Ejemplo 9 Determine si el campo vectorial es conservativo. Si lo es, halle una función potencial.