Investigación de operaciones Autor: Raymundo Palacios Capítulo 6 Método simplex y sus derivados

6.1 Introducción Se explica la esencia gráfica y algebraica del método simplex, se describe su algoritmo, diseñado por George B. Dantzig en 1947, y se muestran dos métodos especiales derivados del mismo método: Método simplex de la M. Método de las dos fases.

6.2 ESENCIA GRÁFICA Y ALGEBRAICA DEL MÉTODO SIMPLEX Es un algoritmo matemático iterativo constituido por conceptos de álgebra matricial y de geometría analítica.

6.3 ALGORITMO DEL MÉTODO SIMPLEX El método simplex y sus métodos derivados (el método de la M y el de las dos fases) es un algoritmo iterativo que examina las esquinas o vértices de un conjunto factible de ecuaciones lineales en busca de una solución óptima. Este método inicia con la determinación de un vértice inicial (que no necesariamente debe empezar en el origen).

6.3 ALGORITMO DEL MÉTODO SIMPLEX Posteriormente, examina los vértices adyacentes más próximos con respecto a la primera solución, revisa la optimalidad y factibilidad del vértice y escoge las coordenadas del vértice que maximice o minimice la función objetivo.

6.3 ALGORITMO DEL MÉTODO SIMPLEX El movimiento ascendente en un modelo de maximización (o descendente en un modelo de minimización) de una esquina a la adyacente equivale a la operación de pivoteo en la tabla de datos del modelo.

6.3 ALGORITMO DEL MÉTODO SIMPLEX La iteración termina al ya no encontrar otro vértice cuyas coordenadas nos permitan una mejor solución óptima Si el problema no está acotado, el algoritmo lo descubrirá durante su ejecución.

6.4 MÉTODO DE LA M Se utiliza para resolver problemas de programación lineal sujetas a restricciones del tipo = y ≥ M representa una penalización para el coeficiente objetivo de una variable artificial, la cual tiende a infinito (M →ꝏ).

6.4 MÉTODO DE LA M Al usar esta penalización, el proceso de optimización obligará a las variables artificiales a adoptar valores de cero (siempre que el problema tenga una solución factible). La solución final se obtendrá como si las variables artificiales nunca hubieran existido.

6.4 MÉTODO DE LA M La penalización (M) para las variables artificiales en la función objetivo dependerá del tipo de problema: Coeficiente objetivo de la variable artificial. -M, en problemas de maximización M, en problemas de minimización

6.5 MÉTODO DE LAS DOS FASES En ocasiones se utiliza el método de las dos fases en lugar del método de la M debido a que la M representa un valor numérico muy grande que tiende a infinito, lo que puede causar un error de cálculo de redondeo aún cuando sea mínimo cuando se manipulan en forma simultánea coeficientes grandes en un sistema computacional.

6.5 MÉTODO DE LAS DOS FASES Este método es un algoritmo sistemático y directo que elimina la necesidad de introducir la M en un problema de maximización o minimización de programación lineal. Al igual que el método de la M, se utiliza en problemas con restricciones del tipo = y ≥.

6.5 MÉTODO DE LAS DOS FASES En la fase I, todas las variables artificiales se hacen cero (debido a la penalización de M por unidad al ser mayores que cero) con el fin de obtener una solución básica factible inicial para el problema real. Fase I: minimizar o maximizar Z = Ma1 + Ma2 (hasta que a1 = 0, a2 = 0).

6.5 MÉTODO DE LAS DOS FASES En la fase II, todas las variables artificiales se mantienen en cero (por esta misma penalización) mientras que el método simplex genera una secuencia de soluciones básicas factibles que llevan a una solución óptima. Fase II: minimizar o maximizar Z = C1X + C2Y (con a1 = 0, a2 = 0)