Profesor : Rodrigo Sanchez H. Finanzas Santiago, Chile 2002 Profesor : Rodrigo Sanchez H.

I. Matemática Financiera Interés Simple Interés Compuesto Real vs Nominal Perpetuidades Anualidades

Interés Simple Si se invierte un monto X, los intereses acumulados al cabo de n períodos usando tasa de interés simple r% serán: Intereses = X * r * n

Interés Simple: Ejemplo Un banco le ofrece una tasa de 1,1% mensual (30 días), con interés simple para un depósito a plazo por $100.000. ¿Cuál sería el interés obtenido al cabo de 40 días?

Interés Simple Hay que notar que al dividir la tasa por 30, se ha transformado la tasa mensual a tasa diaria para mantener una consistencia en el cálculo. También se podría haber expresado los cuarenta días en términos de meses.

Valor Futuro = X*(1 + r*n) Interés Simple Otra forma de ver lo mismo. Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de r%, al cabo de n años tendremos: Valor Futuro = X*(1 + r*n)

Interés Simple: Ejemplo Invierte $100.000 en un instrumento financiero con vencimiento a 90 días. La tasa que entrega este instrumento es 1,2% mensual. ¿Cuánto será el monto final de la inversión al cabo de los 90 días?

Interés Compuesto Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de r%, y el interés se calcula una vez al año, al cabo de n años tendremos un saldo final: Valor Futuro = X(1 + r)n

Interés Compuesto: Ejemplo Se deposita $140.000 en una institución financiera durante 5 meses, a una tasa de 1,2% mensual, con interés compuesto y capitalización mensual. ¿Cuál será el saldo final al término de los 5 meses?

Interés Compuesto Si invertimos un monto X a una tasa fija anual de r%, y el interés se calcula m veces al año, al cabo de n años tendremos:

Interés Compuesto: Ejemplo Si depositamos $150.000 en el banco a la tasa del 8% anual durante un año, con interés compuesto capitalizado trimestral-mente ¿cuál será el saldo al final del año?

Interés Real y Nominal Si el mercado financiero es eficiente, debe cumplirse la siguiente equivalencia: i = tasa de interés nominal r = tasa de interés real π = tasa de inflación

Interés Real y Nominal: Ejemplo Un banco ofrece una tasa nominal de 4,6% mensual, se espera que la inflación sea 3,2% durante el próximo mes. ¿Qué tasa de interés real está ofreciendo el banco?

Formulas de Valor Presente Dado el valor del dinero en el tiempo (un peso hoy vale más que uno mañana), flujos que se recibirán en el futuro deben ser descontados. La idea es tratan hacer comparable flujos que se recibirán en distintos instantes, llevándolos a un mismo período.

Fórmulas de Valor Presente Las fórmulas más usadas son: Perpetuidad constante Perpetuidad creciente Anualidad constante Anualidad creciente

Perpetuidad constante Una perpetuidad, se refiere a flujos que se recibirán todos los períodos hasta el infinito. Si los flujos son iguales todos los períodos, decimos que es una perpetuidad constante. El valor presente de una perpetuidad cons-tante se calcula:

Perpetuidad: ejemplo Le ofrecen una acción de la empresa RIESGO S.A. que reparte $20 en dividendos todos los años. Se sabe que la tasa de interés apropiada para esta inversión es 16% al año. ¿Cuánto pagaría por esta acción?

Perpetuidad creciente Hablamos de perpetuidad creciente si los flujos que entrega van aumentando a medida que pasa el tiempo. Si los flujos aumentan a una tasa constante g, valor presente se puede calcular: Observación: La tasa de crecimiento no puede ser mayor a la tasa de descuento.

Perpetuidad: ejemplo Le ofrecen una acción de la empresa JUGO S.A. se espera que reparta $20 en dividendos el próximo año y éstos crezcan al 8% todos los años. Se sabe que la tasa de interés apropiada para esta inversión es 16% al año. ¿Cuánto pagaría por esta acción?

Anualidades Nos referimos flujos de caja que se recibirán por un período limitado de tiempo T. En general, para cualquier conjunto de flujos el valor presente se puede calcular como:

Anualidades Si todos los flujos que se recibirán son iguales, la sumatoria anterior se puede simplificar. Si designamos como F el flujo a recibir por T períodos, la fórmula de valor presente es:

Anualidades: ejemplo Le ofrecen un crédito de 12 cuotas iguales de 15.000. La tasa de interés mensual es 1,3%, compuesta con capitalización mensual. ¿Cuál es el valor actual del préstamo?

Anualidades: ejemplo Una empresa decide vender un bien en $1.200 al contado. Uno sus clientes le solicita crédito en 3 cuotas iguales a 30, 60 y 90 días. La empresa decide entregar el crédito cobrando una tasa de interés de 2% mensual, compuesto con capitalización mensual. ¿Cuál debería ser la cuota que se le ofrece al cliente?

Anualidades: ejemplo Debemos despejar F de la fórmula anterior, para poder encontrar la cuota correspon-diente.

Anualidades: ejemplo Queremos comprar un televisor en Almacenes París. El precio contado es $137.600. Usando la tarjeta de Almacenes París, le ofrecen pagar el mismo televisor en 12 cuotas de $13.736. Si utiliza la tarjeta de crédito Visa, la tasa de interés es 2,6% mensual. ¿Cuál debería elegir?

Anualidades: ejemplo Primero hay que calcular el interés implícito en la cuota de Almacenes París. Generalmente es muy difícil despejar la tasa de interés. Sin embargo, cualquier calculadora financiera puede encontrar el resultado

Anualidades: ejemplo Usando Excel (función tasa) o una calculadora financiera (función IRR), obtenemos una tasa de interés de 2,89% mensual. Como la tasa de Almacenes París es mayor que la tasa de 2,6% ofrecida por la tarjeta VISA, preferimos esta última.

Anualidades crecientes Si los flujos que se recibirán van aumentando a una tasa constante g, siempre que sea menor a la tasa de descuento r podemos usar la fórmula siguiente.

Uso de Excel Funciones más usadas en Excel: Pago(tasa;períodos;va): se utiliza para calcular la cuota, dado la tasa de interés, número de períodos y el valor actual. Tasa(períodos;pago;va): Se usa para calcular la tasa implícita dados los flujos, número de períodos y el valor actual. Supone todos los flujos iguales.

Uso de Excel VA(tasa;períodos;pago): permite calcular el valor actual de pagos de un préstamo, dado el número de períodos y la tasa de descuento. VNA(tasa;flujo1;flujo2;flujo3…;flujon): esta es equivalente a la fórmula general de valor presente. Calcula el valor actual de una serie de flujos, dada una tasa de descuento. TIR (flujos): Calcula la TIR para una serie de flujos.

Criterios de Evaluación de Inversiones Payback Valor presente neto TIR Razón beneficio a costo Costo anual equivalente

Payback Es el número períodos en que se recupera la inversión inicial. Se debe elegir el proyecto con menor payback. Da una medida de la rapidez con que se recuperan los fondos invertidos. El problema es que no considera el valor del dinero en el tiempo.

Valor presente neto Consiste en descontar los flujos a una tasa apropiada y restarles la inversión inicial. Si no existen restricciones, debe llevarse a cabo todos los proyectos con VAN>0. Problema 1: ¿Qué tasa de descuento usar? Problema 2: ¿Qué pasa con proyectos de distinta vida?

Tasa interna de retorno (TIR) Es el resultado de buscar la tasa que hace cero el valor presente de un proyecto o inversión. Se debe comparar esta tasa (TIR) con un rendimiento exigido a la inversión. Si no existen restricciones y la TIR es mayor debe llevarse a cabo el proyecto.

Tasa interna de retorno (TIR) Si no existen restricciones, lleva a la misma decisión que el criterio de valor presente. Problema 1: Puede haber varias tasas que cumplan con la condición VAN=0. Esto dependerá de los flujos de caja. Habrá tantas tasas como cambios de signo existan. Problema 2: Si hay proyectos excluyentes, este criterio no asegura la máxima riqueza.

Razón beneficio a costo Es la razón entre el valor actual de los beneficios, dividido por el valor actual de los costos más la inversión inicial. Si la razón calculada es mayor a uno, conviene hacer el proyecto, si es menor a uno, no conviene.

Costo anual equivalente