SEMEJANZA U. D. 7 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

TRIGONOMETRÍA U. D. 7.5 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Trigonometría TRIGONOMETRÍA La palabra trigonometría proviene del vocablo griego trígono –triángulo-, y metron –medida-, que se refiere a las medidas de los ángulos de un triangulo. La trigonometría es la rama de las matemáticas que intenta establecer las relaciones entre los lados y los ángulos de un triangulo, para así poder resolverlos. Así entonces resolver un triangulo significa encontrar el valor de sus tres lados, y el de sus tres ángulos. Para esto nos valdremos del teorema de Pitágoras para encontrar el valor de un lado, si es que ya conocemos dos; y de las razones trigonométricas para conocer el valor de los ángulos internos, si conocemos como mínimo un lado. Y así posteriormente podremos combinar las razones trigonométricas con el teorema de Pitágoras para poder resolver problemas de mayor dificultad. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Razones trigonométricas TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES Sean los triángulos rectángulos ABC (de lados a, b y c) y A’B’C’ (de lados a’, b’ y c’). Al estar en posición de Thales ambos triángulos son semejantes y se cumple: a b c ---- = ---- = --- = r a’ b’ c’ Siendo r la razón de semejanza. Eso es así con independencia de las medidas de catetos o de hipotenusas. B’ a’ B Hipotenusa B c’ c a A=90º C A’ b’ A b C=C’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Razones trigonométricas Tenemos por semejanza de triángulos rectángulos: a b c ---- = ---- = --- = r  De donde podemos obtener las siguientes igualdades: a’ b’ c’ b’ b ---- = ---- a’ a c’ c ---- = ---- a’ a c’ c ---- = ---- b’ b B’ a’ B Estas igualdades siempre se cumple y cuando los triángulos son rectángulos su valor sólo depende del ángulo agudo. Son las llamadas razones trigonométricas Hipotenusa B c’ c a A=90º C A’ b’ A b C=C’ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Razones trigonométricas El valor de las razones trigonométricas sólo depende del ángulo. Sen 30º = 0,5 = b / a Cos 30º = 0,866 = c / a Tag 30º = 0,5774 = b / c a a a b b b α = 30º α = 45º α = 60º c c c @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Razones en un triángulo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS El seno de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo, c, y la hipotenusa, a. Se escribe sen C El coseno de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto adyacente a dicho ángulo, b, y la hipotenusa, a. Se escribe cos C La tangente de un ángulo agudo, C, es la razón entre el cateto opuesto a dicho ángulo, c, y el cateto adyacente, b. Se escribe tg C @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Ejemplos IMPORTANTE Como un cateto siempre es menor que la hipotenusa: Hallar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo cuyos lados miden: a=5, b=4, c=3 sen C=c/a=3/5 = 0,6 cos C=b/a=4/5 = 0,8 tag C=c/b=3/4 = 0,75 Hallar las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo cuyos lados miden: a=13, b=12, c=5 sen C=c/a=5/13 = 0,3846 cos C=b/a=12/13= 0,9231 tag C=c/b=5/12 = 0,4167 B Hipotenusa B c a A=90º C A b C IMPORTANTE Como un cateto siempre es menor que la hipotenusa: sen α ≤ 1 cos α ≤ 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Aplicaciones En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 10 cm y uno de los ángulos agudos mide 30º. Hallar los catetos. Sea C = 30º  sen C = c / a  sen 30º = c / 10 Calculadora: sen 30º = 0,5  0,5 = c / 10  c = 5 cm Sea C = 30º  cos C = b / a  cos 30º = b / 10 Calculadora: cos 30º = 0,866  0,866 = b / 10  b = 8,66 cm En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y el ángulo agudo opuesto a dicho cateto mide 60º. Hallar el otro cateto y la hipotenusa. Sea C = 60º  sen C = c / a  sen 60º = 8 / a Calculadora: sen 60º = 0,866  0,866 = 8 / a  a = 9,24 cm Sea C = 60º  cos C = b / a  cos 60º = b / 9,24 Calculadora: cos 60º = 0,5  0,5 = b / 9,24  b = 4,62 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Aplicaciones En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 cm y uno de los ángulos agudos mide 45º. Hallar los catetos. Sea C = 45º  sen C = c / a  sen 45º = c / 5 Calculadora: sen 45º = 0,7071  0,7071 = c / 5  c = 3,5355 cm Sea C = 45º  cos C = b / a  cos 45º = b / 10 Calculadora: cos 45º = 0,7071  0,7071 = b / 5  b = 3,5355 cm En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y el ángulo agudo opuesto a dicho cateto mide 60º. Hallar el otro cateto y la hipotenusa. Sea C = 60º  tag C = c / b  tag 60º = 8 / b Calculadora: tag 60º = 1,7321  1,7321 = 8 / b  b = 4,62 cm Sea C = 60º  cos C = b / a  cos 60º = 4,62 / a Calculadora: cos 60º = 0,5  0,5 = 4,62 / a  a = 9,24 cm @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Algunas razones muy utilizadas Conviene saberse de memoria las siguientes razones trigonométricas, al objeto de conseguir rapidez y exactitud: Sen 30º = 1 / 2 = 0,50 Cos 30º = √3 / 2 = 0,866 Tg 30º = √3 / 3 Sen 45º = √2 / 2 = 0,707 Cos 45º = √2 / 2 = 0,707 Tg 45º = 1 Sen 60º = √3 / 2 = 0,866 Cos 60º = 1 / 2 = 0,50 Tg 60º = √3 √2 45º 30º √3/2 60º ½ ½ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

EL RADIAN A Radio =r Arco AB = r B SISTEMA SEXAGESIMAL Cada una de las 360 partes iguales en que queda dividida la circunferencia se llama grado sexagesimal. Cada grado se divide en 60 minutos y cada minuto a su vez se divide en 60 segundos. EL RADIAN En trigonometría se utiliza como unidad fundamental el Radian, que se define como aquel ángulo cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual a la del radio. Para deducir el valor de un radian partiremos de la fórmula para calcular el perímetro de una circunferencia. P = 2.π.r Sabemos que el giro completo de una circunferencia vale 360°: 2.π rad = 360º A Radio =r Arco AB = r B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

Equivalencias Tenemos que π radianes es igual a 180°. Y gracias a estos quebrados podremos obtener las siguientes equivalencias Rad. π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π Grados 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° Rad. 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6 2π Grados 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.