OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma y resta de polinomios Multiplicación de un monomio por un polinomio Multiplicación de dos polinomios Multiplicaciones especiales Regla de cuadrado y cubo de un binomio Regla del producto de binomios conjugados División de polinomios Regla de Ruffini Teorema del resto Divisibilidad 𝒙 𝟒 +𝟑 𝒙 𝟐 −𝟐 𝒙 𝟒 +𝟏 4 𝑦 5 𝒙 𝟒 +𝟑 𝒙 𝟐 −𝟐 𝒙 𝟒 +𝟏

CALCULOS CON SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS Si el antecede al paréntesis al suprimirlos los términos cambian de signo −𝟐 𝒙 𝟑 +𝟓 𝒙 𝟐 −𝟓 + 𝟕𝒙− 𝒙 𝟐 +𝟏 − −𝟒 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 +𝟔𝒙 = = Si el antecede al paréntesis al suprimirlos los términos se trascriben igual =−𝟐 𝒙 𝟑 +𝟓 𝒙 𝟐 −𝟓 + 𝟕𝒙− 𝒙 𝟐 +𝟏 + 𝟒 𝒙 𝟑 − 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙= Se identifican y suman los términos semejantes 𝟐 𝒙 𝟑 +𝟑 𝒙 𝟐 +𝒙 −𝟒

CUENTAS SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS DATOS 𝑨 𝒙 =−𝟐 𝒙 𝟑 +𝟒 𝒙 𝟐 −𝟐 𝐁 𝒙 =− 𝒙 𝟑 +𝟓𝒙−𝟑 𝑪 𝒙 =𝟑 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙 CALCULAR = 𝑨 𝒙 − 𝑩 𝒙 + 𝑪 𝒙 = = 𝑨 𝒙 + −𝑩 𝒙 + 𝑪 𝒙 = CÁLCULOS AUXILIAES 𝑨 𝒙 →−𝟐 𝒙 𝟑 +𝟒 𝒙 𝟐 −𝟐 −𝐁 𝒙 →+ 𝒙 𝟑 −𝟓𝒙 +𝟑 𝐂 𝒙 → +𝟑 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙 − 𝒙 𝟑 +𝟕 𝒙 𝟐 −𝟏𝟏𝒙 +𝟏 Restar es igual a sumar el opuesto − 𝒙 𝟑 +𝟕𝒙 𝟐 −𝟏𝟏𝒙+𝟏

EJEMPLOS DATOS 𝑨 𝒙 = 𝒙 𝟑 +𝟖 𝒙 𝟐 +𝟓 𝐁 𝒙 =− 𝒙 𝟑 +𝟒𝒙−𝟏 𝑪 𝒙 −𝑫 𝒙 −E(x) = −𝟐 𝒙 𝟑 +𝟒 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙 −𝟓 DATOS 𝑨 𝒙 = 𝒙 𝟑 +𝟖 𝒙 𝟐 +𝟓 𝐁 𝒙 =− 𝒙 𝟑 +𝟒𝒙−𝟏 C(x) = −𝟐 𝒙 𝟑 +𝟒 𝒙 𝟐 −𝟐 D(x)= 𝒙 𝟐 −𝟓𝒙+3 𝑬 𝒙 =𝟑 𝒙 𝟐 +𝟕𝒙 CALCULAR 𝑨 𝒙 + 𝑩 𝒙 = = 𝒙 𝟑 +𝟖 𝒙 𝟐 +𝟓+ − 𝒙 𝟑 +𝟒𝒙−𝟏 = 𝒙 𝟑 +𝟖 𝒙 𝟐 +𝟓 − 𝒙 𝟑 +𝟒𝒙−𝟏= = 𝟖 𝒙 𝟐 +𝟒𝒙+ 4 C(x) → −𝟐 𝒙 𝟑 +𝟒 𝒙 𝟐 −𝟐 −𝑫(𝒙) → −𝒙 𝟐 +𝟓𝒙 −𝟑 −E(x)→ + 𝒙 𝟐 − 𝟕𝒙 𝑪 𝒙 −𝑫 𝒙 −E(x)→−𝟐 𝒙 𝟑 +𝟒 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙 −𝟓

OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma y resta de polinomios Multiplicación de un monomio por un polinomio Multiplicación de dos polinomios Multiplicaciones especiales Regla de cuadrado y cubo de un binomio Regla del producto de binomios conjugados División de polinomios Regla de Ruffini Teorema del resto Divisibilidad 𝒙 𝟒 +𝟑 𝒙 𝟐 −𝟐 𝒙 𝟒 +𝟏 4 𝑦 5 𝒙 𝟒 +𝟑 𝒙 𝟐 −𝟐 𝒙 𝟒 +𝟏

MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIOS −5 𝑥 2 −2𝑥+ 𝑥 3 +4−3 𝑥 2 = = + 𝑥 3 +4𝑥−3 𝑥 2 . 2 𝑥 2 = Se aplica “propiedad distributiva Multiplicar en orden Signo Número Parte literal CALCULOS AUXILIARES 𝒙 𝟐 .𝒙 =𝒙.𝒙.𝒙= 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 . 𝒙 𝟑 =𝒙.𝒙.𝒙.𝒙.𝒙= 𝒙 𝟓 𝒙 𝟐 . 𝒙 𝟐 = 𝒙.𝒙.𝒙.𝒙=𝒙 𝟒 +𝟏𝟎 𝒙 𝟑 −𝟓 𝒙 𝟓 −𝟐𝟎 𝒙 𝟐 +𝟏𝟓 𝒙 𝟒 CALCULOS AUXILIARES PP=B 𝒙 𝒂 . 𝒙 𝒃 = 𝒙 𝒂+𝒃 𝒙 𝟐 .𝒙 𝟑 = 𝒙 𝟓 𝒙 𝟐 .𝒙 = 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 . 𝒙 𝟐 = 𝒙 𝟒 𝟐 𝒙 𝟓 +𝟖 𝒙 𝟑 −𝟔 𝒙 𝟒

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS Se aplica “propiedad distributiva Multiplicar en orden Signo Número Parte literal: PP=B 𝒙 𝒂 . 𝒙 𝒃 = 𝒙 𝒂+𝒃 CALCULOS 𝟑 𝒙 𝟐 −𝒙 𝟐𝒙+𝟓 = 𝟏 𝟐 𝒙+𝟑 𝟐 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟏 Suma términos semejantes = 𝟔 𝒙 𝟑 +𝟏𝟓 𝒙 𝟐 −𝟐 𝒙 𝟐 −𝟓𝒙 =𝟔 𝒙 𝟑 +𝟏𝟑 𝒙 𝟐 −𝟓𝒙 Suma términos semejantes = 𝒙 𝟑 −𝟐 𝒙 𝟐 + 𝟏 𝟐 𝒙+𝟔 𝒙 𝟐 −𝟏𝟐𝒙+𝟑= = 𝒙 𝟑 +𝟒 𝒙 𝟐 − 𝟐𝟑 𝟐 𝒙+𝟑 Suma términos semejantes

LA CUENTA DE MULTIPLICAR CON POLINOMIOS DATOS 𝑨 𝒙 =𝟐 𝒙 𝟐 −𝒙+𝟓 𝐁 𝒙 =𝟒𝒙−𝟏 C(x) = −𝟐 𝒙 𝟑 +𝟒 𝒙 𝟐 −𝟐 D(x)= 𝒙 𝟐 −𝟓𝒙 CALCULAR: 𝑨 𝒙 . 𝑩 𝒙 = 𝑪 𝒙 . 𝑫 𝒙 = . −𝟐 𝒙 𝟑 +𝟒 𝒙 𝟐 −𝟐 𝒙 𝟐 −𝟓𝒙 𝟏𝟎 𝒙 𝟒 +𝟐𝟎 𝒙 𝟑 +𝟏𝟎𝒙 → −𝟓𝒙 .𝑪(𝒙) + −𝟐 𝒙 𝟓 +𝟒 𝒙 𝟒 −𝟐 𝒙 𝟐 → 𝒙 𝟐 .𝑪(𝒙) −𝟐 𝒙 𝟓 +𝟏𝟒 𝒙 𝟒 +𝟐𝟎 𝒙 𝟑 −𝟐 𝒙 𝟐 +𝟏𝟎𝒙→ 𝒙 𝟐 −𝟓𝒙 .𝑪(𝒙) Multiplica variable coeficiente . 𝟐 𝒙 𝟐 −𝒙 +𝟓 4𝒙−𝟏 𝒙 𝟐 +𝟏 Suma de términos semejantes −𝟐 𝒙 𝟐 +𝒙 −𝟓 → −𝟏 .𝑨(𝒙) 𝟐 𝒙 𝟐 −𝒙 + 𝟖 𝒙 𝟑 −𝟒 𝒙 𝟐 +𝟐𝟎𝒙 → 𝟒𝒙.𝑨(𝒙) 𝟖 𝒙 𝟑 −𝟔 𝒙 𝟐 +𝟐𝟏𝒙 −𝟓→ 𝟒𝒙−𝟏 .𝑨(𝒙)

OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma y resta de polinomios Multiplicación de un monomio por un polinomio Multiplicación de dos polinomios Multiplicaciones especiales Regla de cuadrado y cubo de un binomio Regla del producto de binomios conjugados División de polinomios Regla de Ruffini Teorema del resto Divisibilidad 𝒙 𝟒 +𝟑 𝒙 𝟐 −𝟐 𝒙 𝟒 +𝟏 4 𝑦 5 𝒙 𝟒 +𝟑 𝒙 𝟐 −𝟐 𝒙 𝟒 +𝟏

Cuadrado de binomio por definición Recordar: Es un binomio porque esta formado por dos monomios NO semejantes entonces NO se pueden sumar La potenciación NO es distributiva respecto de la suma Elevar al cuadrado es multiplicar la base por sí misma Aplicar propiedad distributiva 4𝑥 −5 2 = = El trinomio que resulta del cuadrado de binomio se llama “Trinomio cuadrado perfecto” 4𝑥 −5 4𝑥 −5 Base Sumar monomios semejantes 16 𝑥 2 −20𝑥 −20𝑥 +25 16 𝑥 2 −40𝑥 +25

REGLA DE CUADRADO DE BINOMIO 𝐴+𝐵 . 𝐴+𝐵 3𝑥 −5 2 = = 2 +2 . . + 2 = 9 𝑥 2 − 30 𝑥 + 25 𝐴+𝐵 2 = 3𝑥 3𝑥 3𝑥 −5 −5 𝐴 2 +𝐴𝐵 +AB + 𝐵 2 CUADRADO DEL PRIMER MONOMIO + CUADRADO DEL SEGUNDO MONOMIO 𝐴 2 +2𝐴𝐵 + 𝐵 2 + 2VECES EL PRIMERO POR EL SEGUNDO CUADRADO DEL PRIMER MONOMIO + CUADRADO DEL SEGUNDO MONOMIO 3𝑥.3𝑥 −5 −5 + 2VECES EL PRIMERO POR EL SEGUNDO Multiplicamos signo números y letras TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Soñando con binomios +14 𝑥 4 +49 𝑥 2 +14 𝑥 4 = 4𝑥 6 Tengo una potencia cuya Base es un binomio y el exponente es 2 Entonces hay que multiplicar la base por sí misma En la multiplicación se puede distribuir respecto dela suma (multiplico signo número y letra : recuerda: CP)B 𝑥 𝑎 . 𝑥 𝑏 = 𝑥 𝑎+𝑏 Suma de términos semejantes Listo ya tengo el TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Ahora si lo hago por la Regla Identifico los monomios y los ubico en la siguiente estructura: Multiplico signo número y letra recuerda: PP 𝑥 𝑎 𝑏 = 𝑥 𝑎.𝑏 Listo TCP 2 𝑥 3 +7𝑥 2 𝑥 3 +7𝑥 2 𝑥 3 +7𝑥 2 = +14 𝑥 4 +49 𝑥 2 = 4𝑥 6 +14 𝑥 4 = 4𝑥 6 + 28 𝑥 4 +49 𝑥 2 − 𝑥 2 +3𝑥 2 2 +2 . . + 2 = − 𝑥 2 2 +2 . − 𝑥 2 . 3𝑥 + 3𝑥 2 Primer monomio Segundo monomio = 𝑥 4 −6 𝑥 3 +9

Cubo de binomio: La regla 𝑨+𝑩 𝟐 . 𝑨+𝑩 𝑨+𝑩 𝟑 = CUATRINOMIO CUBO PERFECTO = 𝑨 𝟐 +𝟐𝑨.𝑩+ 𝑩 𝟐 . 𝑨+𝑩 = 𝐴 3 + 2 𝐴 2 .𝐵 +𝐴 2 .𝐵 +𝐴.𝐵 2 +2𝐴.𝐵 2 + 𝐵 3 = 𝐴 3 +3 𝐴 2 .𝐵 + 3𝐴.𝐵 2 + 𝐵 3 DOS TRIPLES PRODUCTOS ENNTRE EL CUADRADO DE UNO DE LOS MONOMIOS CON EL OTRO CUBO DEL SEGUNDO MONOMIO CUBO DEL PRIMER MONOMIO

APLICACIÓN DE LA REGLA DE CUBO DE BINOMIO 2𝑥 3 =2.𝑥.2.𝑥.2.𝑥= =8 𝑥 3 2𝑥−5 3 = = 3 +3 2 +3 2 + 3 = = −4𝑥− 𝑥 2 3 = 3 +3 2 +3 2 + 3 = =−64 𝑥 3 − 48 𝑥 4 − 12 𝑥 5 − 𝑥 6 3 2𝑥 2 −5 = =3.2.𝑥.2.𝑥. −5 = =−60 𝑥 3 2𝑥 2𝑥 - 5 2𝑥 - 5 - 5 3.2𝑥 −5 2 = =3.2.𝑥. −5 −5 = =+150𝑥 −125 8 𝑥 3 − 60 𝑥 2 + 150𝑥 −4𝑥 3 = −4𝑥 −4𝑥 −4𝑥 = 3 −4𝑥 2 − 𝑥 2 = =3. −4𝑥 −4𝑥 . − 𝑥 2 = −4𝑥 −4𝑥 −𝑥 2 −4𝑥 −𝑥 2 −𝑥 2 3. −4𝑥 − 𝑥 2 2 = =3. −4𝑥 . − 𝑥 2 − 𝑥 2 =

PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA RESTA 3𝑥+5 3𝑥−5 = =9 𝑥 2 −15𝑥+15𝑥 −25= =9 𝑥 2 −25 𝑥 3 −2𝑥 𝑥 3 +2𝑥 = = 𝑥 6 +2 𝑥 4 −2 𝑥 4 −4 𝑥 2 = 𝑥 6 −4 𝑥 2 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 = 𝐴 2 +𝐴𝐵−𝐴𝐵− 𝐵 2 𝐴+𝐵 𝐴−𝐵 = 𝐴 2 − 𝐵 2 3+4𝑥 3−4𝑥 = 2 − 2 =9 − 16 𝑥 2 𝑥 4 +1 𝑥 4 −1 = 2 − 2 = 𝑥 8 − 1 Diferencia Cuadrado del primer monomio Cuadrado del segundo monomio Usando La regla Es una Diferencia de cuadrados 3 4x 𝑥 4 1

OPERACIONES CON POLINOMIOS Suma y resta de polinomios Multiplicación de un monomio por un polinomio Multiplicación de dos polinomios Multiplicaciones especiales Regla de cuadrado y cubo de un binomio Regla del producto de binomios conjugados División de polinomios Regla de Ruffini Teorema del resto Divisibilidad 𝒙 𝟒 +𝟑 𝒙 𝟐 −𝟐 𝒙 𝟒 +𝟏 4 𝑦 5 𝒙 𝟒 +𝟑 𝒙 𝟐 −𝟐 𝒙 𝟒 +𝟏

DIVISIÓN 4 𝑥 3 −8 𝑥 2 −5 : 2𝑥−3 4 𝑥 3 −8 𝑥 2 +0𝑥−5 2𝑥 −3 −4 𝑥 3 +6 𝑥 2 4 𝑥 3 −8 𝑥 2 −5 : 2𝑥−3 Ordenar y completar el dividendo y ordenar el divisor El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el primero monomio del dividendo con el primero del divisor 4 𝑥 3 :2𝑥=2 𝑥 2 Este monomio se lo multiplica por el divisor 2𝑥−3 .2 𝑥 2 =4 𝑥 3 −6 𝑥 2 y se resta al dividendo (suma de su opuesto) Se baja el siguiente monomio del dividendo Segundo monomio del cociente −2 𝑥 2 :2x=−x Restar el producto 2𝑥−3 . −𝑥 =−2 𝑥 2 +3𝑥 tercer monomio del cociente −3𝑥 :2𝑥=− 3 2 restar el producto 2𝑥−3 . − 3 2 =−3𝑥+ 9 2 4 𝑥 3 −8 𝑥 2 +0𝑥−5 2𝑥 −3 −4 𝑥 3 +6 𝑥 2 - 3 2 2 𝑥 2 − x −2 𝑥 2 + 0𝑥 C𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 +2 𝑥 2 −3𝑥 Grado del cociente = grado del dividendo – grado del divisor −3𝑥 −5 +3𝑥− 9 2 − 19 2 R𝑒𝑠𝑡𝑜

División de dos polinomios paso a paso (x5–10x3 +4x2−4):( x3+3x2) Dividendo ordenado y completo divisor ordenado 𝑥 5 : 𝑥 3 = 𝑥 2 𝑥 3 +3 𝑥 2 . 𝑥 2 = 𝑥 5 +3 𝑥 4 𝑥 5 + 0 𝑥 4 −10 𝑥 3 + 4 𝑥 2 +0x − 4 𝑥 3 + 3 𝑥 2 − 𝑥 5 −3 𝑥 4 𝑥 2 −3𝑥 −1 −3 𝑥 4 : 𝑥 3 =−3𝑥 −3 𝑥 4 −10 𝑥 3 C𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 3 +3 𝑥 2 . −3𝑥 = −3𝑥 4 −9 𝑥 3 +3𝑥 4 + 9 𝑥 3 Grado del cociente = grado del dividendo – grado del divisor − 𝑥 3 : 𝑥 3 =−1 −𝑥 3 + 4 𝑥 2 +𝑥 3 +3 𝑥 2 𝑥 3 +3 𝑥 2 . −1 = −𝑥 3 −3 𝑥 2 7 𝑥 2 +0x − 4 R𝑒𝑠𝑡𝑜

DIVISIONES ESPECIALES D(x) : (x +𝒂) REGLA DE RUFFINI (2x3−4x + 20):( x+3) Termino independiente cambiado de signo Coeficientes del dividendo ordenado y completo 𝟐 𝑥 3 + 0 𝑥 2 −𝟒x + 20 𝑥+𝟑 + 𝟐 0 −𝟒 +𝟐𝟎 − 𝟔𝑥 −2 𝑥 3 − 6 𝑥 2 𝟐𝑥 2 +𝟏𝟒 −𝟑 −6 +18 −42 − 𝟔𝑥 −4𝑥 −𝟐𝟐 C𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝟐 −𝟔 +𝟏𝟒 6𝑥 +18𝑥 Grado del cociente = grado del dividendo – grado del divisor R𝑒𝑠𝑡𝑜 𝟏𝟒𝑥 +20 −14𝑥 −42 𝟐𝑥 2 −𝟔 𝑥+𝟏𝟒 −𝟐𝟐 C𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 R𝑒𝑠𝑡𝑜

APLICACIÓN DE LA REGLA DE RUFFINI Y VERIFICACIÓN Dividendo → D(x)=2x3+1x2−3x + 5 (de grado 3) divisor →d(x) = x − 1 (de grado 1) Cociente→"grado = 3 − 1= 2"→C(x)=2x2+3x Resto → R = 5 Verificación → D(x)= C(x). D(x) + R = 2x2+3x . 𝑥−1 + 5 = =2x3− 2x2+ 3x2−3x + 5 = =2x3 + x2 −3x + 5

TEOREMA DEL RESTO PARA DIVISIONES DEL TIPO D(x) : (x +𝒂) ENUNCIADO: El valor numérico del dividendo D(x) para x = −𝑎 , coincide con el resto de la división D(x): (x + 𝑎) Divisor 𝑑 𝑥 =𝑥 −𝟐 3 − 2 − 5 − 9 8 6 6 𝟐 3 4 3 −3 Cociente 𝐶 𝑥 =3 𝑥 2 +4𝑥 + 3 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷 𝑥 =𝐶 𝑥 :𝑑 𝑥 +𝑅 Verificación : 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷 𝑥 = 3 𝑥 2 +4𝑥 + 3 𝑥−2 +(−3) 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝐷 𝑥=2 = 3. 2 2 +4.2 + 3 2−2 +(−3) 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝐷 𝑥=2 =23.0+(−3) = -3 𝐷 𝑥=2 =−3 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó 𝐷 𝑥 : (x – 2)

APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL RESTO Elije la respuesta correcta Si a P(x)= − 𝑥 4 +2 𝑥 2 +3 lo dividimos por x+1 el resto es: P(x=-1) = − −1 4 +2 −1 2 +3=−1+2+3=6 entonces Resto = 6 Cuál es el binomio que al dividir a 𝑄 𝑥 = 𝑥 3 −5𝑥+2 tiene resto R= -10 Q(3)= 14 Q(-1)= 6 Q(-3)= -10 entonces si a Q(x) : (x+3) el esto es -10 Cuando a R(x)= −2 𝑥 3 +𝑲 𝑥 2 −𝑥+1 se lo divide por x – 2 el resto es 3 , entonces K= R(2)=3 −𝟐. 2 3 +𝑲 .2 2 −2+1=3 −16+𝑲. 4 −1=3 𝒌=−𝟏𝟎 6 4 nra x - 3 x -1 x + 3 nra -10 10 -1 nra

DIVISIBILIDAD Cuando decimo que 12 es divisible por 3 es porque la división entre 12 y 3 tiene resto “cero”. Esta noción de divisibilidad entre números enteros sigue siendo válida para la divisibilidad de polinomios. 5 𝑥 4 −3 𝑥 3 +2 𝑥 2 −7𝑥+3 es divisible por 𝑥+1 ya que: Si P(x) es divisible por 𝑥+𝑎 entonces R=0 entonces P(− 𝑎 ) = 0 entonces x =−𝑎 es raíz de P(x) EJEMPLO x = -2 es raíz de Q(x) = 𝑥 3 −3𝑥+2 ya que Q(-2)=0 Según el Teorema del resto: el resto de Q(x) : 𝑥+2 es R = Q(-2) y Q(2)= 0 Entonces Q(x) es divisible por 𝑥+2