MATEMÁTICA BÁSICA David Ortiz dortiz658@gmail.com Texto Guía: ÁLGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA. Dennis G. Zill y Jacqueline M. Dewar. 3ra. Edición. 2012 MatBasica18 MatBasica20 Uammatematica.wordpress.com

ELEMENTOS DE ARITMÉTICA Unidad I

UNIDAD I: ELEMENTOS DE ARITMÉTICA Razones y proporciones: Aritméticas Geométricas Regla de Tres: Simple Compuesta Interés: Compuesto

Razones y Proporciones (1) Razón o relación de dos cantidades: Es el resultado de comparar dos cantidades: restándolas o dividiéndolas. Razón aritmética o por diferencia de dos cantidades: es la diferencia indicada de dichas cantidades.   Razón geométrica o por cociente de dos cantidades: es el cociente indicado de dichas cantidades.

Razones y Proporciones (2) Propiedad fundamental de las proporciones aritméticas: En toda equidiferencia o proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a la suma de los medios. Propiedad fundamental de las proporciones geométricas: En toda proporción geométrica el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Media aritmética o media diferencial: Es cada uno de los términos medios de una equidiferencia continua, o sea, los términos medios de la equidiferencia son iguales. Media Geométrica o media proporcional: Es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua, es decir, los términos medios son iguales.

Ejemplo 1 Un lápiz de 25 centímetros proyecta una sombra de 4 centímetros. ¿Cuánto mide un árbol que proyecta una sombra de 1.20 metros? 25cm -------- 4cm x --------- 120cm 4x= 25(120) 4x = 3000 x=3000/4 x= 750cm que es igual a 7.5 mts

Ejemplo 2 Dos números están a razón 3 7 . Si el menor de ellos es 189 ¿Cuál es el otro? 3-->7 189-->x x=(189x7)/3 x=441

Ejemplo 3 Una inversión de $3500 produce un rendimiento de $420 en un año, ¿qué rendimiento producirá una inversión de $4500 a la misma tasa de interés durante el mismo tiempo? Sea x la tasa de interés o porcentaje, (3500)x = 420 x = 420/3500 = 3/25 (4500)( 3/25 ) = 540 Por lo tanto una inversión de $4500 producirá un interés de $540.

Ejemplo 4 En una granja hay patos y gallinas en razón de 9 a 10. Si se sacan 19 gallinas, la razón se invierte. ¿Cuántas gallinas había inicialmente? x = Patos y = gallinas x/y=9/10 x/(y-19)=10/9 10x = 9y x = 9y/10 (9y/10)/(y-19)=10/9 81y = (10y - 190)(10) y = 100 x=90 Habían 90 patos y 100 gallinas.

Magnitudes Magnitud: Propiedad o cualidad medible de un sistema físico es decir, a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición o una relación de medidas. Es una cantidad positiva. Ej. Peso, longitud, edad, etc. Magnitudes proporcionales: Dos magnitudes son proporcionales cuando multiplicando o dividiendo una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número. Magnitudes directamente proporcionales: Son dos magnitudes tales, que multiplicando o dividiendo una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número y dividiendo una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número. Ej.: El tiempo y las unidades de trabajo realizadas, el número de cosas y el precio cuando se pagan, el tiempo de trabajo y el salario de un obrero, el número de obreros empleados y el trabajo realizado, etc. Magnitudes inversamente proporcionales: Son dos magnitudes tales, que multiplicando una de ellas por un número, la otra queda dividida por el mismo número, y dividiendo una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por el mismo número. Ej.: El número de obreros empleados y el tiempo necesario para hacer una obra, la velocidad de un móvil con el tiempo empleado en recorrer un espacio, etc.

Regla de Tres Es una operación que tiene por objeto hallar el cuarto término de una proporción, cuando se conocen tres. Puede ser: Simple, cuando solamente intervienen en ella dos magnitudes. Compuesta, cuando intervienen tres o más magnitudes. El supuesto en una regla de tres está constituido por los datos de la parte del problema que ya se conoce. La pregunta en una regla de tres está constituido por los datos de la parte del problema que contiene la incógnita o dato desconocido que se desea encontrar. Ejemplo: Si 4 libros cuestan $ 8, ¿cuánto costarán 15 libros? El supuesto está constituido por 4 libros y 8 córdobas y la pregunta está constituida por 15 libros y x córdobas.

Ejemplo Se emplean 14 hombres en hacer 45 metros de una obra, trabajando durante 20 días. ¿Cuánto tiempo empleará la mitad de esos hombres en hacer 16 metros de la misma obra, habiendo en esta obra triple dificultad que en la anterior? HOMBRES METROS DÍAS DIFICULTAD 14 45 20 1 7 16 x 3 Inv Directa Directa 7 45 1 = 20 x = 14*16*20*3 14 16 3 x 7*45*1 x = 42.67 días RESPUESTA: A la mitad de los hombres les tomará 42.67 días terminar 16 metros de la misma obra.

Ejemplo 30 hombres se comprometen en hacer una obra en 15 días. Al cabo de 9 días solo se ha hecho 3/11de la obra. Si el capataz refuerza la cuadrilla con 42 hombres, ¿podrán terminar la obra en el tiempo fijado o no? Y si no es posible, ¿cuántos días más necesitarán? Hombres...........días...........obra 30........................9................3/11 30 8/11 = x 72........................x.................8/11 72 3/11 9 Inv Directa X=(30*8*9)/(72*3) X=10 días Para terminar el resto de la obra en total necesitan 19 días pero tenian previsto hacerla en 15. Ellos necesitarán 4 días más

Interés Simple y Compuesto La Regla de Interés es una operación por medio de la cual se halla la ganancia o interés que produce una suma de dinero o capital, prestado a un tanto por ciento dado y durante un tiempo determinado. El interés puede ser: Simple, cuando el interés o rédito, es decir, la ganancia que produce el capital prestado, se percibe al final de períodos iguales de tiempo, sin que el capital varíe. Compuesto, cuando los intereses que produce el capital se suman al capital, al final de cada período de tiempo, formando de este modo un nuevo capital.

Fórmulas del Interés 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑥 100 100+𝑟𝑡 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑥 100 100+𝑟𝑡 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐= 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 1+𝒓 𝑡 Nota: El tiempo y el tanto por ciento deben estar siempre anualizados, es decir en función de año o fracción de año

Ejemplo Hallar el interés que han producido $ 6000 que han estado ahorrados durante 2 años, 8 meses y 6 días al ½ % mensual. Hay que reducir 2 años, 8 meses y 6 días a años: 2.69 años. Además, hay que usar la tasa de interés anual transformando 0,5% mensual a anual: 6.0% 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 = 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 1+𝒓 𝑡 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 =6000(1+0.06)2.69=7,018.17 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐= 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍 − 𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 1+𝒓 𝑡 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓é𝒔 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐= 7,018.17 – 6,000 = 1.018.17

Ejemplo Una suma de $ 1200 se tomó en préstamo al 7 % y se devolvió el 8 de abril pagando de intereses $ 8.40. ¿Qué día se hizo el préstamo? n = F/P- 1 = 1,208.4/1200 – 1 = 0.1 i 0.07 Días = 0.1*365 = 36.5 El préstamo se hizo el 2 de marzo