U.D. 8 * 2º ESO GEOMETRÍA PLANA π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

U.D. 8.4 * 2º ESO PARALELOGRAMOS π @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

CUADRILATEROS CONVEXOS Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide Trapecios Trapezoides @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO PARALELOGRAMOS Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos dos a dos. Los paralelogramos tienen los lados opuestos iguales. Los paralelogramos tienen los ángulos opuestos iguales. Las diagonales se cortan en su punto medio. Las diagonales de un cuadrado son iguales. Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares. Las diagonales de un rectángulo son iguales. Las diagonales de un rectángulo no son perpendiculares. Las diagonales de un rombo no son iguales. Las diagonales de un rombo son perpendiculares. Las diagonales de un romboide no son iguales. Las diagonales de un romboide no son perpendiculares. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO CUADRADO l Cuadrilátero que tiene los cuatro lados y ángulos iguales. Sus cuatro ángulos mide 90º. Diagonal: Recta que une dos vértices opuestos. Sus diagonales son iguales: d=d’ Sus diagonales forman un ángulo de 90º, son perpendiculares. Dos lados contiguos con la diagonal forman un triángulo rectángulo. Por Pitágoras: d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2 El perímetro de un cuadrado vale cuatro veces el lado: P=4.l Área: Medida de la superficie que rodean sus lados. A = l.l = l2 l l d d’ l A = l2 d = l.√2 P = 4.l @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Ejemplo 1 Hallar la diagonal de un cuadrado de 15 cm de lado. d= l.√2 = 15.√2 m. Ejemplo 2 Hallar el lado de un cuadrado cuya diagonal mide √2 cm. d= l.√2  √2 = l.√2  Aplicando la Regla del Producto: √2 / √2 = l l = 1 cm Ejemplo 3 Hallar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 5. √2 cm. d= l.√2  5.√2 = l.√2  Aplicando la Regla del Producto: 5.√2 / √2 = l  5 = l l = 5 cm Y ahora ya se puede calcular el área al conocer el valor del lado: A = l2 = 52 = 25 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Ejemplo_4 Hallar el lado, el perímetro y la diagonal de un cuadrado sabiendo que su área vale 49 cm2 Calculamos el lado al tener el área: A = l2  l = √A = √49 = 7 cm Calculamos la diagonal al conocer el lado: d = l.√2  d = 7.√2 cm Calculamos el perímetro: P = 4.l = 4.7 = 28 cm Ejemplo_5 Hallar el lado, el área y la diagonal de un cuadrado sabiendo que su perímetro mide 20 cm Calculamos el lado para poder hallar el área y la diagonal: P = 4.l  l = P / 4 = 20 / 4 = 5 cm A = l2  A = 52 = 25 cm2 d = l.√2  d = 5.√2 cm d = l.√2 P = 4.l A = l2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO RECTÁNGULO Cuadrilátero que tiene los cuatro lados paralelos e iguales dos a dos. Los cuatro ángulos interiores son iguales y miden 90º. Las diagonales son también iguales: d=d’. Las diagonales, al cortarse, NO forman un ángulo recto. Dos lados contiguos con la diagonal forman un triángulo rectángulo. Por Pitágoras: d=d’ = √( b2 + h2 ) El perímetro es el doble de la suma de su largo y su ancho: P=2.b+2.h Área: Medida de la superficie que rodean sus lados. A = b.h b d’ d h h b d = √( b2 + h2 ) P = 2.b + 2.h A = b.h @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Ejemplo 1 Hallar la diagonal de un rectángulo de lados 3 y 4 cm. Por Pitágoras: d= √( b2 + h2 ) = √( 32 + 42 ) = √25 = 5 cm Ejemplo_2 En un rectángulo la base mide 5 cm y la diagonal mide 13 cm. Hallar el perímetro y el área. Necesitamos conocer la altura. d2 = b2 + h2  h2 = d2 – b2 h2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144 h = √144 = 12 cm Hallamos el perímetro al conocer la base y la altura: P= 2.b+2.h = 2.5+2.12 = 10+24 = 34 cm Hallamos el área al conocer la base y la altura: A= b.h = 5.12 = 60 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Ejemplo_3 En un rectángulo el perímetro mide 12 cm y la base mide doble que la altura. Hallar el área y la diagonal. P = 2.b + 2.h A = b.h Dato conocido: b=2.h En la ecuación del perímetro: P = 2.(2.h) + 2h = 4.h + 2.h = 6.h 12 = 6.h  h = 12 / 6 = 2 cm Como b=2.h  b = 2.2 = 4 cm A=b.h = 4.2 = 8 cm2 Y por último calculamos la diagonal: d2 = b2 + h2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20 d = √20 = √4.5 = 2.√5 cm h d’ d b @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO ROMBO Cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales y paralelos dos a dos. Sus ángulos son iguales dos a dos. Sus diagonales son siempre distintas. Sus diagonales son perpendiculares, se cortan formando un ángulo de 90º. Un lado con las semidiagonales forman un triángulo rectángulo. Por Pitágoras: l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] Área: Superficie que rodean sus lados. Vemos que los triángulos exteriores son iguales a los interiores. A = D.d / 2 El área de un rombo es la mitad del área del cuadrado que lo abarca. l l D/2 d/2 d D l l @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO Ejemplo 1 Hallar el lado, el perímetro y el área de un rombo cuyas diagonales miden 16 y 12 cm. Por Pitágoras: l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] = √(82 + 62) = √100 =10 cm P = 4.1 = 4.10 = 40 cm A = D.d/2 = 16.12 / 2 = 16.6 = 96 cm2 Ejemplo 2 Hallar la diagonal mayor, el perímetro y el área de un rombo cuyo lado mide 5 cm y cuya diagonal menor mide 6 cm. l2 = (D/2)2 + (d/2)2  52 = (D/2)2 + (6/2)2  25 = (D/2)2 + 9 Aplicando la Regla de la Suma: 25 – 9 = (D/2)2  16 = (D/2)2 Elevando al cuadrado una división: 16 = D2 / 4 Aplicando la Regla del Producto: 16.4 = D2  64 = D2 Luego: D = √64 = 8 cm El perímetro valdrá: P = 4.l = 4.5 = 20 cm El área será: A = D.d/2 = 8.6/2 = 24 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO ROMBOIDE b Cuadrilátero que los lados y ángulos iguales y paralelos dos a dos. Sus diagonales son distintas, cortándose en su punto medio. Sus diagonales nunca forman un ángulo recto. La altura, el lado oblicuo y la proyección de dicho lado, p, forman un triángulo rectángulo. Por Pitágoras: l = √ (h2 + p2) El perímetro es el doble de la suma de la base más el lado oblícuo: P=2.b+2.l El área de un romboide es el producto de su base por su altura: A = b.h d l h l d’ b b l h l p b @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO b Ejemplo_1 En un romboide el lado oblicuo mide 41 cm y la proyección del mismo sobre la base mide 9 cm. Hallar el perímetro y el área, sabiendo que la base mide 50 cm l h l p b Resolución: El perímetro valdrá: P=2.b+2.l P=2.50+2.41 = 100+82 = 182 cm El área valdrá: A=b.h Tenemos el valor de la base, pero necesitamos la altura, h. El lado oblicuo l, su proyección p y la altura h forman un triángulo rectángulo. Aplicando el T. de Pitágoras: l2 = h2 + p2  h2 = l2 – p2 = 412 – 92 = 1681 – 81 = 1600 h= √1600 = 40 cm A = b.h = 50.40 = 2000 cm2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO

Apuntes Matemáticas 1º ESO b Ejemplo_2 En un romboide la altura mide 15 cm y la proyección del lado oblicuo sobre la base mide 8 cm. Hallar el perímetro y el área, sabiendo que la base mide 25 cm l h l p b Resolución: El área valdrá: A=b.h A = 25.15 = 375 cm2 El perímetro valdrá: P=2.b+2.l Tenemos el valor de la base, pero necesitamos la altura, h. El lado oblicuo l, su proyección p y la altura h forman un triángulo rectángulo. Aplicando el T. de Pitágoras: l2 = h2 + p2  l2 = 152 + 82 = 225 + 64 = 289 l= √289 = 17 cm P=2.25+2.17 = 50+34 = 84 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO