TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS

TRAZADO GEOMETRICO DE CONICAS CIRCUNFERENCIAS ELIPSE HIPERBOLA PARABOLA

CIRCUNFERENCIAS TANGENCIAS Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado centro TANGENCIAS La tangente a una circunferencia en un punto, es la perpendicular a la recta que une dicho punto con el centro de la circunferencia ( el radio) T Si dos circunferencias son tangentes el punto de tangencia estará sobre la línea que une los centros T

ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES TANGENCIAS ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES O2 R r R+r O1 ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES R r O1 R-r O2

TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMA CIRCUNFERENCIAS TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMA A B T

CIRCUNFERENCIAS TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO C T B A

TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLA CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLA t1 T1 O P O1 T2 t2

TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS R-r r t2 T21 T11

TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS R+r T12 O1 r T22 t2 T11 B

CIRCUNFERENCIAS CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO P R R O1 O2 R r T1 T2 A

CURVAS CONICAS β = 90º α < β α = β α > β Curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano y que depende del ángulo que forman el plano y el eje de revolución de la superficie cónica β = 90º α < β α = β α > β

CURVAS CONICAS ELIPSE - Curva cerrada y plana simétrica respecto a dos ejes, eje mayor o real (2a), y menor o virtual (2b). A C B D F F' a c b r' N M r - Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la suma de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual a la longitud del eje mayor. - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la elipse con los focos.(r y r’ ) se cumple que r + r’ = 2a

CURVAS CONICAS ELIPSE - Circunferencia principal es la que tiene por centro el centro de la elipse y por diámetro el eje mayor. - Circunferencias focales tienen por centros los focos de la elipse y por radio el eje mayor. - Distancia focal es la que hay entre los focos (2c) - Se cumple que a2= b2+ c2 - Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e <1

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES C C 1 M a 2 3 GA GB F G F’ 4 A B 4 3 2 1 A B O N D D

CONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDAD H G A B O D

TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR G t 2a P P PF I F F’ F F’ H J

CURVAS CONICAS HIPERBOLA - Curva plana, abierta, con dos ramas y simétrica respecto a dos ejes, F F’ V1 V2 A B r r’ O 2a 2c - Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la diferencia de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual al valor del eje mayor V1V2 ( 2a ) - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la curva con los focos.(r y r’ ) se cumple que r - r’ = 2a

CURVAS CONICAS HIPERBOLA - Circunferencia principal es la que tiene por centro el de la hipérbola y por diámetro 2a. - Circunferencias focales tienen por centros los focos de la hipérbola y por radio 2a. - Distancia focal es la que hay entre los focos (2c), los focos están sobre el eje principal o real - Se cumple que c2= b2+ a2 - Excentricidad e = c2/a se cumple que para la elipse e >1

CURVAS CONICAS HIPERBOLA - Las asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito. - Las asíntotas son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro O - Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyas asíntotas forman 45º con los ejes.

CONSTRUCCION DE UNA HIPERBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOS r =V1A r =V1A r =V1B r =V1B r’=V2A r’=V2A r =V2B r =V2B F V1 V2 B A O F’

TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA ELIPSE TANGENTE A UNA HIPERBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA TANGENTES A UNA HIPERBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR I V1 V2 V1 V1 P P PF’ I F F’ F V1 V2 F’ V1 O V2 O t J L K

CURVAS CONICAS PARABOLA V F d r - Curva plana, abierta, con una rama y simétrica respecto a un eje. - Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la parábola con el foco y la directriz

CONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZ HIPERBOLA CONSTRUCCION DE UNA PARABOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZ d AO O V A F