LÍMITE Y CONTINUIDAD U.D. 4 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

CÁLCULO CLÁSICO DE DE LÍMITES U.D. 4.2 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Indeterminada [0.oo] Sabemos que 0.k = 0 siempre. Sabemos que oo.k = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el producto 0.oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0.oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se multiplican las expresiones, se factoriza numerador y denominador y se simplifica la expresión: Lím f(x). Lím g(x) = [0.oo] = Lím f(x).g(x) = … = L xa xa xa Para ello sabemos que el límite de un producto es el producto de los límites ( Propiedad operativa de los límites ) cuando la variable x tiende al mismo valor. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplos Ejemplo 1 x x2 - 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑ . -------- = --- . --- = [oo.0] x1 x - 1 x 0 1 x (x+1).(x-1) x+1 1+1 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑------------- = lím ------- = ----- = 2 x1 (x – 1).x x1 1 1 Es decir, se multiplican las expresiones en forma factorial y se simplifica la única fracción resultante. Ejemplo 2 1 x3 + 1 1 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑ . Lím ---------- = --- . --- = - [oo.0] x -1 x +1 x- 1 x 0 -1 (x+1).(x2 – x +1) (x2 – x +1) 1 + 1 + 1 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = lím --------------- = ------------ = ---- = – 3 x- 1 (x +1).x x- 1 x – 1 – 1 Como se ve, el limite resultante no vale ni 0 ni oo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Indeterminada [oo/oo] Sabemos que oo / k = oo siempre. Sabemos que k / oo = 0 siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente oo / oo, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota [oo / oo] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se divide numerador y denominador entre la potencia de x elevada al mayor de los exponentes que presente dicha variable. N(x) / xm Lím f(x) = Lím -------------- xa xa D(x) / xm Donde m es el mayor de los grados de los polinomios N(x) y D(x) Nota: Es la misma indeterminación [oo / oo] , [-oo / oo], [ oo / - oo] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplos Ejemplo 1 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = --------------------- = [-----] xoo x3 – x2 - 5 oo3 – oo2 – 5 oo Se divide numerador y denominador entre x3 2 - 3 / x2 + 1 / x3 2 – 3/oo + 1/oo 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = ----------------------- = --------------- = 2 / 1 = 2 xoo 1 – 1 / x – 5 / x3 1 – 1/oo – 5/oo 1 – 0 – 0 Ejemplo 2 2.x3 - 3x + 1 2.oo3– 3.oo + 1 oo lím ‑‑‑‑‑‑‑------------- = ------------------------ = [-------] xoo 5 - x2 5 - oo2 - oo 2 - 3 / x2 + 1 / x3 2 – 3/oo + 1/oo 2 – 0 + 0 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = ----------------------- = -------------- = 2/0 = oo xoo 5 / x3 - 1 / x 5/oo - 1/oo 0 – 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Indeterminada [0 / 0] Sabemos que 0 / k = 0 siempre. Sabemos que k / 0 = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente 0 / 0, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0 / 0] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se factoriza numerador y denominador [ Por Ruffini si hace falta ] y se simplifica la expresión resultante. (x-a) . C1(x) C2(x) Lím f(x) = [ 0 / 0 ] = Lím ------------------- = Lím --------- xa xa (x-a). C2(x) xa C2(x) Nota: Si el límite último vuelve a dar indeterminación, se volvería a realizar lo mismo. Observar que siempre “a” es una raíz de los polinomios a factorizar. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplos Ejemplo 1: x3 – 8 8 – 8 0 lím ------‑‑‑‑‑‑ = ‑------- = [---] = [ Factorizando por Rufinni…] x2 x – 2 2 – 2 0 (x – 2) (x2 + 2x + 4 ) 22 + 2.2 + 4 12 lím ---------‑‑‑‑‑‑‑‑----------- = ---------------- = ----- = 12 x2 (x – 2) 1 1 Ejemplo 2: x3 - 2 √ 2 2 √ 2 - 2 √ 2 0 lím ------‑‑‑‑‑---‑ = ‑----------------- = [---] = [ Factorizando ..] x √ 2 x2 - 2 2 – 2 0 (x - √ 2) (x2 + √ 2x + 2 ) 2 + 2 + 2 6 3· √2 lím ------‑‑‑‑‑‑‑‑------------------ = ---------------- = --------- = --------- x √ 2 (x- √ 2) (x + √ 2 ) 2 √ 2 2 √2 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Indeterminada [1oo] λ = Lím ( base – 1 ). exponente Sabemos que 1k = 1 siempre. Sabemos que koo = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con 1oo , no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos entonces que es una INDETERMINACIÓN, y se denota [1oo ] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello sabemos que siempre el resultado va a ser eλ , con lo cual sólo queda calcular λ λ = Lím ( base – 1 ). exponente xa Y el límite sería, si le hay : L = eλ @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplos Ejemplo 1: 3 / (x-1) 3 / 0 x + 1 2 oo λ lím [ ------‑‑ ] = [‑---] = [1 ] = Indeterminación = e x1 2 2 λ = lím (base – 1 ). exp x + 1 3 (x + 1 - 2).3 (x-1).3 λ = lím ( --------- - 1 ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím ---------------- = --------- = 3/2  L = e3/2 x1 2 x - 1 2 ( x - 1) (x -1).2 Ejemplo 2: (x2-1) /x [oo / oo] x + 1 oo oo λ lím [ ------‑‑ ] = [‑-----] = … = [1 ] = Indet = e xoo x oo x + 1 (x2-1) x2 - 1 oo λ = lím ( -------- - 1 ). ‑‑‑‑‑‑‑‑ = lím ------------- = [------ ] = … = 1  L = e xoo x x x2 oo @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Otras indeterminadas Indeterminaciones En las indeterminaciones cero elevado cero, infinito elevado a cero y uno elevado a infinito; se realiza en primer lugar las siguientes operaciones: @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplo 1 Aplicamos logaritmos a la función: @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplos Ejemplo 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.

Ejemplos Ejemplo 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bach. C.T.