Tema 4: COMBINATORIA
INDICE 1.- Introducción. 2.- Factorial de un número 3.- Clasificación: 3.1.- Variaciones con y sin repetición 3.2.- Permutaciones con y sin repetición 3.3.- Combinaciones con y sin repetición 4.- Números combinatorios 4.1.- Propiedades 4.2.- Triángulo de Pascal 5.- Binomio de Newton
INTRODUCCIÓN Aprenderemos en esta sección técnicas básicas para contar, aplicadas a diferentes aspectos: • Contar los elementos de un conjunto, como por ejemplo los elementos de A\B o los de A×B, con los principios de la adición, de inclusión–exclusión y de la multiplicación • Contar las maneras de seleccionar k objetos de n, con o sin petición, y considerando el orden o no considerándolo Es la combinatoria clásica: permutaciones, combinaciones y variaciones. • Contar las formas en que se pueden repartir objetos en cajas, para lo que emplearemos la combinatoria clásica y también los llamados n´umeros de Stirling de segunda especie y los números multinomiales. Llamamos cardinal de un conjunto A al número de elementos que tiene. Lo denotamos por |A|. Trataremos con conjuntos finitos. Formalmente, decimos que un conjunto A tiene n elementos si se puede establecer una biyeccion entre {1, 2, . . . n} y A.
FACTORIAL DE UN NÚMERO El factorial de un número entero "n" es ese mismo número multiplicado por su antecesor (n-1), luego por el antecesor de este (n-2), y así sucesivamente hasta ser multiplicado por "1". Por ejemplo, seis factorial (se escribe con el signo "!" al final): 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720.
VARIACIONES SIN REPETICIÓN. ¿Qué son? Variaciones sin repetición o variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n)son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por Vm,n. (n≤m). ¿Cómo se forman?. Para construir las variaciones sin repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las variaciones sin repetición posibles.
VARIACIONES CON REPETICIÓN. ¿Qué son? Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por VRm,n. ¿Cómo se forman? Para construir las variaciones con repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las variaciones con repetición posibles.
PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN. ¿Qué son? Permutaciones sin repetición o permutaciones ordinarias de n elementos (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer, de forma que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pn. ¿Cómo se forman? Para construir las permutaciones sin repetición de un conjunto de n elementos, tenemos que construir grupos de n elementos sin que se puedan repetir. Se trata entonces de hacer lo mismo que se ha hecho con las variaciones sin repetición de orden n a partir de un conjunto de n elementos.
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN. ¿Qué son? Permutaciones con repetición de n elementos en las que el primer elemento se repite n1 veces, el segundo se repite n2 veces ... y el último se repite nk veces son los distintos grupos de n elementos que se pueden hacer de forma que en cada grupo, cada elemento aparezca el número de veces indicado y que dos grupos se diferencian únicamente en el orden de colocación. Se representa por Pnn1,n2,...,nk. ¿Cómo se forman? Vamos a hacerlo con un ejemplo. Construir todos los números de seis cifras posibles utilizando dos veces el número uno y cuatro veces el número dos.
COMBINACIONES SIN REPETICIÓN. ¿Qué son? Combinaciones sin repetición o combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por Cm,n. (n≤m). ¿Cómo se forman? Para construir las combinaciones sin repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las combinaciones sin repetición posibles.
COMBINACIONES CON REPETICIÓN. ¿Qué son? Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por CRm,n. ¿Cómo se forman? Para construir las combinaciones con repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las combinaciones con repetición posibles.
4.NÚMEROS COMBINATORIOS Son números estudiados en combinatoria que corresponden al número de formas en que se pueden extraer subconjuntos a partir de un conjunto dado. Sin embargo, dependiendo del enfoque que tenga la exposición, se pueden usar otras definiciones equivalentes.
Propiedades de los números combinatorios: 1) Cualquier número entero positivo sobre cero es igual a 1 2) Cualquier número entero positivo m sobre 1 es igual a m 3) Cuando la suma de los números que representan el número de elementos por grupo es igual al número de elementos, podemos decir que los dos números combinatorios son iguales:
TRIANGULO PASCAL
Binomio de Newton El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula para desarrollar la expresión: (a + b)n ; n 2 N Es conveniente hacer observar aquí que a y b pueden ser números, letras o expresiones algebraicas cualesquiera. Así, también podremos desarrollar, por ejemplo, expresiones como: (3x+5)n,(4xz+6y)n, (6a4b)n,etc