RELACIONES DE ORDEN EN ℝ DESIGUALDADES E INECUACIONES UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR CURSO “INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS” SEPTIEMBRE - NOVIEMBRE 2015 CLASE N°2 RELACIONES DE ORDEN EN ℝ DESIGUALDADES E INECUACIONES MATERIAL ELABORADO POR LILIA ÁLVAREZ LÓPEZ

RELACIONES DE ORDEN EN ℝ El conjunto de los números reales es ordenado Para cualquier par de números reales x e y se puede definir: x < y  x – y < 0. Se lee “<” como “menor que”. y > x  y – x > 0 . Se lee “>” como “mayor que”. Nótese que ambas expresiones (a y b) son equivalentes. x ≤ y. Se lee “≤” como “menor o igual que”, esto es que se cumple x < y o x = y, es decir, y – x positivo o cero.

Propiedades   Sean x, y, z números reales: Tricotomía: Se cumple que x < y o x = y o x > y. Transitividad: Si x < y ^ (^ significa “y”) y < z => x < z. (c) Suma: x < y  x + z < y + z. (d) Multiplicación: Si z > 0, x < y  x.z < y.z Si z < 0, x < y  x.z > y.z CUIDADO

DESIGUALDADES E INECUACIONES ¿Cuál es la diferencia entre una desigualdad y una inecuación? Una desigualdad es una relación de orden entre números. Una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen variables. Una inecuación no se satisface más que para ciertos valores de las variables. Resolver la inecuación es encontrar el subconjunto de ℝ que hacen verdadera la desigualdad (intervalo). ¿Cuál es la diferencia entonces entre la solución de una ecuación y una inecuación?   La solución de una ecuación son números específicos (puntos de la recta real) y la solución de una inecuación es un conjunto de números, un intervalo.

Estudio de signo de factores lineales ¿Cuál es el signo de – x ? Depende del valor de x !! Si x < 0 => -x > 0. Si x > 0 => -x < 0.  En ℝ el factor lineal x – a posee el siguiente signo: PRUEBA COLOCÁNDOLE UN VALOR A a Y VARIANDO EL VALOR DE x PARA CONVENCERTE x – a < 0  x < a => 𝑥∈ −∞,𝑎 x – a > 0  x > a => 𝑥∈ 𝑎,+∞ Al punto a se le denomina punto de separación, valores críticos o raíces del polinomio.

¿Cuál es el signo de a-x? ¿Es el mismo de x-a? NO!! ES EL "OPUESTO” a – x > 0  x < a => 𝑥∈ −∞,𝑎 a – x < 0  x > a => 𝑥∈ 𝑎,+∞ PRUEBA COLOCÁNDOLE UN VALOR A a Y VARIANDO EL VALOR DE x PARA CONVENCERTE CUIDADO NOTA: Para la evaluación se pueden tomar cualquiera de los valores que pertenezcan al intervalo, excepto los valores extremos Otra forma de visualizarlo (función lineal)

La solución de una inecuación puede hallarse empleando un método gráfico conocido comúnmente como método del cementerio o de las cruces, el cual se basa en el estudio de signo de factores lineales que resultan de factorizar los polinomios presentes en la inecuación. A CONTINUACIÓN SE PRESENTARÁ UN EJEMPLO CON EL QUE SE EXPLICARÁ CÓMO SE APLICA EL MÉTODO DEL CEMENTERIO IMPORTANTE Luego de entender cómo se aplica el método trata de resolver los ejercicios por ti mismo y después compara con el procedimiento realizado

Ejemplo 1.- Resolver la inecuación 𝑥 4 +2 𝑥 3 −13 𝑥 2 −38𝑥−24>0   Se factoriza el polinomio. 𝑥 4 +2 𝑥 3 −13 𝑥 2 −38𝑥−24= 𝑥+1 𝑥+2 𝑥+3 (𝑥−4) 2. Se construye una tabla, en la cual se ubican horizontalmente las raíces de la inecuación (de los polinomios involucrados) y verticalmente cada factor lineal. 3. Se coloca el signo que tiene el factor lineal en cada intervalo. NOTA: El es una ayuda visual para identificar el punto de separación o raíz del factor lineal

3. Haciendo uso de la regla de los signos, se multiplican verticalmente los signos obtenidos para tener el resultado. 4. Finalmente, se observa el sentido de la desigualdad de la inecuación. Si el sentido de la inecuación es “>” la solución estará constituida por la unión de los intervalos que indiquen el signo “+”. En caso contrario, si el sentido de la inecuación es “<”, la solución estará constituida por la unión de los intervalos los cuales indiquen el signo “-”. Sol = (-∞, -3) U (-2,-1) U (4, +∞)

Ejemplo 2.- Resolver la inecuación 5 𝑥+7 ≤2− 3 𝑥+5   Se pasan todas las fracciones algebraicas al miembro izquierdo de la desigualdad. ¿Por qué simplemente no paso el denominador multiplicando? 5 𝑥+7 −2+ 3 𝑥+5 ≤0 2. Se reducen las expresiones algebraicas. 5 𝑥+5 −2 𝑥+7 𝑥+5 +3(𝑥+7) (𝑥+7)(𝑥+5) ≤0 5𝑥+25−2( 𝑥 2 +5𝑥+7𝑥+35)+3𝑥+21 (𝑥+7)(𝑥+5) ≤0 Se desconoce el signo de x. IMPORTANTE La idea es que quede una expresión en la que un lado de la desigualdad sea cero, para poder observar con mayor facilidad los puntos de separación

8𝑥+46−2 𝑥 2 −24𝑥−70 (𝑥+7)(𝑥+5) ≤0   −2 𝑥 2 −16𝑥−24 (𝑥+7)(𝑥+5) ≤0 𝑥 2 +8𝑥+12 (𝑥+7)(𝑥+5) ≥0 (𝑥+6)(𝑥+2) (𝑥+7)(𝑥+5) ≥0 3. Aplicamos el método del cementerio tomando en cuenta tanto los factores del numerador como los del denominador.

Sol = (-∞, -7) U [-6,-5) U [-2, +∞) Puntos de separación: -6,-2,-7,-5 Sol = (-∞, -7) U [-6,-5) U [-2, +∞)  IMPORTANTE: Se debe verificar que las raíces del denominador de la expresión inicial NO estén incluidas en la solución. En este caso es x = -7 y x= -5

Ejemplo 3.- Resolver la siguiente inecuación 2𝑥+3 3𝑥−1 ≤2 Agrupamos la expresión a un lado de la desigualdad. 2𝑥+3 3𝑥−1 −2≤0 2. Simplificamos. 2𝑥+3−6𝑥+2 3𝑥−1 ≤0   −4𝑥+5 3𝑥−1 ≤0 Ahora podríamos sacar factor común menos en el numerador, multiplicar a ambos lados de la desigualdad por (-1) e invertir el sentido de la misma, o tener cuidado al hacer cementerio.

3. Puntos de separación: x=5/4; x=1/3

Ejemplo 4.- (Ejercicio propuesto 15) ¿Cuál es el conjunto solución de la siguiente inecuación? 𝑥 2 +𝑥−2 𝑥−1 >1 𝑥 2 −1 𝑥−1 >0 (𝑥−1)(𝑥+1) 𝑥−1 >0 𝑥>−1   Sol = (-1, +∞) - {1} Es importante sacar el 1 de la solución final, ya que el mismo anula al denominador en la expresión inicial.

¿Qué pasa con los polinomios de raíces complejas ¿Qué pasa con los polinomios de raíces complejas? A los polinomios de segundo grado con raíces complejas se le puede conocer el signo observando la gráfica (sabiendo que el vértice=(-b/2a, (4ac-b2)/4a) se grafica la parábola y se observa el signo). De resto, polinomios de mayor grado se tendría que observar la gráfica. Solo podríamos estimar por la regla de los signos de Descastes, cuántos cambios de signo presenta un polinomio, pero no en cuáles intervalos.

Ejemplo 5.- Hallar el conjunto solución de 𝑥 2 +4𝑥−5 2𝑥 2 +1 >1 Se pasan todas las fracciones algebraicas al miembro izquierdo de la desigualdad. 𝑥 2 +4𝑥−5 2𝑥 2 +1 −1>0 2. Se reducen las expresiones algebraicas. 𝑥 2 +4𝑥−5− 2𝑥 2 −1 2𝑥 2 +1 >0 −𝑥 2 +4𝑥−6 2𝑥 2 +1 >0 −(𝑥 2 −4𝑥+6) 2𝑥 2 +1 >0

3. Se buscan las raíces de los polinomios involucrados 3. Se buscan las raíces de los polinomios involucrados. Se observa que 2x2+1>0 para todo 𝑥∈ℝ (el polinomio tiene raíces complejas). Por otra parte, al aplicar resolvente al polinomio del numerador observamos que el mismo presenta raíces complejas. Sin embargo, al estudiar el discriminante observamos que el mismo es negativo, por lo que dicho polinomio es positivo para todo 𝑥∈ℝ. Finalmente, se tiene que De este modo, la solución de la inecuación es ∅.

Sol = (¿?) ¿Cuál es la solución? Ejemplo 6.- ¿Cuál es el conjunto solución de la siguiente inecuación? 𝑥 2 −4≤0 Forma 1.- Despejando directamente x 𝑥 2 −4≤0 𝑥 2 ≤4 𝑥≤± 4 𝑥≤±2  Sol = (¿?) ¿Cuál es la solución?  Forma 2.- Factorizando (𝑥−2)(𝑥+2)≤0 Sol = [-2,2]

Forma 3.- (Forma 1 corregida): Usando valor absoluto (se verá en la siguiente clase) 𝑥 2 −4≤0 |𝑥| 2 ≤4 |𝑥|≤ 4 |𝑥|≤2 −2≤𝑥≤2  Sol = [-2,2] Así, la forma más adecuada de resolver este tipo de ejercicios es de la forma 2 o 3

Ejemplo 7.- (Ejercicio propuesto 7) Resolver la siguiente inecuación. 2𝑥+1 𝑥 <1 Requisitos: Para que esta expresión tenga sentido se debe cumplir que: 2𝑥+1 𝑥 ≥0 ^ x ≠ 0 Sol I = (-∞, -1/2] U (0, +∞)

Sol final = Sol I ∩ Sol II = (-1,-1/2] (ii) Resolución: Se usa la propiedad x < y => x2 < y2 siempre que x,y > 0.   2𝑥+1 𝑥 2 < 1 2 => 𝑥+1 𝑥 <0 Sol II = (-1,0) Sol final = Sol I ∩ Sol II = (-1,-1/2]

POR HACER GRACIAS POR TU ATENCIÓN EJERCICIOS PROPUESTOS: Resuelve los ejercicios propuestos y verifica tu respuesta con la indicada al final del documento Realiza nuevamente los ejercicios resueltos en la clase por ti mismo Haz clic en la imagen para ver el documento El domingo en la noche publicaré la resolución de los ejercicios para que compares tus respuestas SI TIENES ALGUNA PREGUNTA NO DUDES EN CONTACTARME