UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO DE MONAGAS ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y SOCIALES MATURÍN / MONAGAS / VENEZUELA Matrices Y DETERMINANTES Profesora: BACHILLERES Milagros Coraspe Johanni Febres C.I. : 20.598.837 Sección 09     MATURÍN, JULIO 2015

Matrices En matemática, una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales

Matrices Una matriz es un arreglo rectangular de números en filas y columnas Forma General de una Matriz: Una matriz [A] es del orden (mxn), donde m son las filas y n son las columnas, entonces la matriz [A] está dada de la siguiente forma: De manera general: la matriz A(mxn) de forma mxn será igual al siguiente ejemplo Ej.: Sea la matriz:

Clases de Matrices: 1. Matriz Cuadrada: Es cuando el número de filas es igual al número de columnas. Ej.: 2. Matriz Columna: Es cuando tiene una columna (n = 1) Ej.: 3. Matriz Fila: Es cuando tiene una fila o renglón (m = 1) Ej.:

Clases de Matrices: Igualdad de Matrices: 4. Matriz Rectangular: Es cuando el número de filas es diferente al número de columnas. Ej.: Igualdad de Matrices: Dos matrices son iguales si y solo si cada elemento de una de ellas es igual al elemento correspondiente de la otra Simbólicamente:

Ej. de igualdad de matrices: Otro tipo de matrices: Matriz Diagonal: Es una matriz cuadrada que tiene la característica de que los elementos que están sobre y bajo la diagonal principal son ceros. Ej.:

Otro tipo de matrices: Matriz Transpuesta: Es la matriz que se obtiene intercambiando las filas por las columnas o viceversa de una matriz dada. Se representa de la siguiente manera: Sea A una matriz cualquiera: → At : se lee, transpuesta de la matriz A, o A transpuesta Ej.: Dada la siguiente matriz determinar su transpuesta:

Operaciones con matrices: Otro tipo de matrices: Matriz Nula: Es la matriz en la cual todos sus elementos son ceros. Se lo simboliza con la letra griega. Ej.: Operaciones con matrices: Suma y Diferencia de Matrices: Para sumar o restar dos o más matrices, primeramente deben ser de igual tamaño y luego procedemos a realizar la suma (o resta) con los elementos correspondientes. De manera general:

Propiedades de la suma de matrices: Propiedad conmutativa: El orden de las matrices en la suma no altera el resultado, es decir: Sean A y B dos matrices A + B = B + A Propiedad modulativa: Toda matriz sumada a la matriz nula da como resultado la misma matriz, así: Sean A una matriz cualquiera y Φ la matriz nula → A + Φ = Φ + A = A Propiedad asociativa: Las matrices pueden agruparse en parejas en cualquier orden y sustituirse por su suma, así: Sean A, B y C tres matrices A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) Propiedad invertiva: Toda matriz tiene su opuesto que al sumarlos se obtiene la matriz nula, así: Sean A una matriz cualquiera y - A la matriz opuesta → A + (-A) = Φ

Propiedades de la suma de matrices: La transpuesta de la suma o resta de matrices: Es igual a la suma o resta de las transpuestas de las matrices dadas, así: Sean A y B dos matrices → (A ± B)t = At ± Bt El producto de un escalar por una matriz: Es igual al producto del escalar por todos los elementos de la matriz dada, es decir: Sea k un escalar cualquiera y A una matriz cualquiera → k.(A) = (k.A)

El Producto de dos matrices: Supóngase que A es una matriz de orden mxp, y que B es una matriz de orden pxn. Entonces el producto de A y B, denotado por A.B es la matriz mxn, para la que el elemento del i-ésimo renglón (fila) y la j-ésima columna es la suma de los productos formados mediante la multiplicación de cada elemento del renglón i-ésimo de A por el correspondiente elemento de la columna j-ésima de B. Por lo tanto : (mxp).(pxn) = (mxn). Esto significa que la condición necesaria y suficiente para multiplicar dos matrices es que el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

Propiedades del producto de matrices: Propiedad Asociativa: A x B x C = A x (B x C) = (A x B) x C Propiedad Distributiva: A x (B + C) = A x B + A x C Propiedad Modulativa: A x I = I x A = A (donde I es la matriz identidad) La transpuesta de la transpuesta de una matriz es la misma matriz, así: (At)t = A

Determinantes Si la matriz es cuadrada, se le puede asignar un número al que se le llama determinante de una matriz. A un determinante se lo representa: Det. A, o también: |A| (no es valor absoluto), en ambos casos se lee: determinante de A El orden está definido sólo en matrices, por lo tanto el orden del determinante, es el orden de la matriz.