Razones y proporciones Conceptos, tipos Propiedades. Media Aritmética y media geométrica. Ejercicios variados Objetivos: Reconocer y aplicar razones para la resolución de problemas. Reconocer la diferencia entre magnitud directa e inversamente correlacionada. Reconocer la regla de 3 compuesta como un procedimiento parea resolver problemas de proporcionalidad en la que intervienen 3 o más magnitudes distintas Profesor: Ing. David Ortiz Uammatematica.wordpress.com

Razón o relación Concepto: Es el resultado de comparar dos cantidades. Se pueden comparar de dos maneras: Cuándo se excede la una a la otra, o cuándo le contiene la una a la otra. Entonces hay dos clases de razones: Aritmética y Geométrica.

Razón aritmética o por diferencia: Es la diferencia de dos cantidades, consiste en determinar en cuántas unidades una de las cantidades excede a la otra. a - b = r Consecuente Razón Aritmética Antecedentes a Es mayor que b en r unidades . b Es menor que a, en r unidades. a Excede a b, r unidades. b Es excedido por a, r unidades. Significa que :

Razón Geométrica (Por cociente) Concepto: Consiste en determinar cuántas veces una de las cantidades contiene a la otra. Antecedente 𝑎 𝑏 =𝑘 Significa que: a Contiene a b, k veces. b Está contenido en a, k veces. Razón Geométrica Consecuente

Concepto: Una proporción es la igualdad de dos razones, se denota así: 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 ó 𝑎 :𝑏∷𝑐 :𝑑 Medios 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 La proporción Se lee: ´´a es a b como c es a d´´ Extremos Los términos a y d se llaman extremos y b y c se llaman medios Revisar propiedades en el formulario

Clases de proporción Directa: Dos cantidades son directamente proporcionales si al aumentar o disminuir una de ellas la otra también aumenta o disminuye el mismo número de veces. Inversa: Dos cantidades son inversamente proporcionales cuándo haciéndose mayor o menor la primera cantidad las segunda por el contrario se hace menor o mayor el mismo número de veces. Compuesta: Es una combinación de las proporciones directa e inversa. La regla de tres compuesta se emplea cuando se relacionan tres o más magnitudes. La regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas sucesivamente. Podemos distinguir tres casos: Regla de tres compuesta directa. Regla de tres compuesta inversa. Regla de tres compuesta mixta. Clases de proporción

Magnitud Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa N^ Lápices 1 2 3 4 Precio 10 20 30 40 N^ Obreros 1 2 3 4 N^ Días 60 30 20 15 10 1 = 20 2 = 30 3 = 40 4 =𝑘=10 60 * 1 = 30 * 2 = 20 * 3 = 15 * 4 = k = 60 Magnitud Concepto: Es la cualidad de un objeto que puede ser medible Ejemplos: Peso = Kilogramos. Distancia = Metros. Costo = Dinero, etc.

Media proporcional ( Media geométrica) 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑐 ;𝑏 ≠0 , 𝑐 ≠0 A una proporción de la forma: La media proporcional es igual a la raíz cuadrada de los producto de los extremos. Es decir: 𝑏 = 𝑎𝑐 Ejemplos: Encuentre la media proporcional geométrica de los números dados: 1) 12 y 3 Sol: 12 𝑥 = 𝑥 3 ⟹𝑥= 36 ⟹𝑥=6 2) 9 y 18 Sol: 9 𝑥 = 𝑥 18 ⟹𝑥= 9∗9∗2 =9 2 Verifique el resultado al encontrar la media proporcional de los siguientes números: 6 y 24 R: 12 3) 4 y 12 R: 4 3 9 y 25 R:15 4) 2 y 7 R: 14

Tercera proporcional: Se llama así a cualquiera de los extremos de una proporción geométrica, es decir si: 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑑 , 𝑏≠0, 𝑑≠0. "𝑎" es tercera proporcional entre 𝑏 𝑦 𝑑, 𝑒𝑛 𝑠𝑢 𝑑𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜 "𝑑" es tercera proporcional entre 𝑎 𝑦 𝑏. Ejemplos: Encontrar la tercera proporcional de los siguientes números 18 y 6 Sol: 18 6 = 6 𝑥 ⟹𝑥= 36 18 =2 6 18 = 18 𝑥 ⟹𝑥= 18∗18 6 =54 8 y 4 Sol: 8 4 = 4 𝑥 ⟹𝑥= 16 8 =2 4 8 = 8 𝑥 ⟹𝑥= 64 4 =16 Verifique el resultado al encontrar la tercera proporcional de los siguientes números: 24 y 4 R: 2 3 𝑦 144 18 y 9 R: 36 y 9 2 1 3 𝑦 5 6 R: 2 15 𝑦 25 12

Cuarta proporcional: Se le llama cuarta proporcional a cualquiera de los 4 términos en una proporción Ejemplos: Calcular la cuarta proporcional de los siguientes números 2, 5 y 15 Sol: 2 5 = 15 𝑥 ⟹𝑥= 5∗15 2 = 75 2 2) 1 2 , 3 4 𝑦 2 3 Sol: 1 2 3 4 = 2 3 𝑥 ⟹𝑥= 2 3 ∗ 3 4 ∗ 2 1 =1 Verificar el resultado al encontrar la cuarta proporcional de los siguientes números: 6,8 y 24 R: 32 3,5 Y 14 R: 70 3 4,3 y 32 R: 24

Ejercicios variados: Si 𝑎 𝑏 = 3 5 ⟹ 9𝑏 + 𝑎 𝑎 + 𝑏 = 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 2) Si 𝑥 6 = 𝑦 3 = 𝑧 2 ⟹ 2𝑥 + 4𝑧 5𝑦 = 2 3 𝑏) 3 4 𝑐) 1 𝑑) 6 5 𝑒) 4 3 3) Si 𝑎 + 3 𝑏 − 3 = 𝑏 − 2 𝑐 + 2 = 𝑐 + 5 𝑎 + 1 =3 ⟹ 𝑎+𝑏+𝑐 = −3 𝑏) −2 𝑐) 2 𝑑) 3 𝑒) 4 4) Si A es la tercera proporcional de 24 y 12, B es la cuarta proporcional de 56,7 y 64, C es la media proporcional de 256 y 4. Halle la cuarta proporcional de B,A y C a) 16 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25

5) Si 𝑎:𝑏:𝑐=2:3:5 𝑦 𝑐−𝑎 =30, 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑏= 30 b) 27 c) 24 d) 21 e) 18 6) Una maquina hace 300 tornillos en 4 horas. ¿Cuánto tiempo necesitará para hacer 900 tornillos? R: 12 horas 7) Si 12 bolas de acero tienen un peso de 7,200 gramos. ¿Cuánto pesaran 50 bolas iguales a las anteriores? R: 30,000gr 8) Con tres grifos se llena un deposito en 20 horas. ¿cuánto tiempo se tardará en llenar el mismo depósito con cinco grifos iguales a los anteriores? R: 12 horas 9) 3 obreros construyen un muro en 12 horas. ¿Cuánto tardarán en construirlo 6 obreros? R: 6 horas 10) Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias en 12 días hacen 54 sillas. ¿Cuántos días necesitarán 60 obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer 90 de las mismas sillas? R: 6 horas

Proporciones. (+) (+) ( −) ( − ) m1 m2 a b c x ⇒ 𝑥=𝑏 ∗ 𝑐 𝑎 D I) Directa: (+) ( −) ( − ) ( + ) m1 m2 a b c x ⇒ 𝑥=𝑏 ∗ 𝑎 𝑐 I II) Inversa:

m1 m2 m3 a b C d e X I D III Mixta: x = c * 𝑏 𝑒 ∗ 𝑑 𝑎 ⇒ Nota: Asumimos estos casos particulares.