LOGICA Y MATEMATICA COMPUTACIONAL Facultad de Ciencias Exactas y Naturales y Agrimensura Licenciatura en Sistemas de Información LOGICA Y MATEMATICA COMPUTACIONAL Profesora Responsable: Esp. Prof. Liliana Caputo

GRAFOS Y ARBOLES DISTINTOS TIPOS DE GRAFOS CAMINOS EULERIANOS Y HAMILTONIANOS ARBOLES Y BOSQUES ALGORITMOS DE PRIM Y DE KRUSKAL

PUENTES DE KÖNIGSBERG D A B C PROBLEMA: Recorrer los 7 puentes que conectan 4 porciones de tierra, bajo la condición de pasar por cada puente una sola vez. D A B C

REPRESENTACION DE EULER B A C D GRAFO A,B,C,D: VERTICES AB, AC, AD, BC,BD, CA,DA: LADOS

GRAFOS: DEFINICION Llamamos GRAFO a un par G = (V, A), donde V es un conjunto no vacío de puntos, llamados VERTICES, y A es un conjunto de pares de vértices (no necesariamente, pares ordenados), llamados LADOS.

GRAFOS: REPRESENTACION b d a e c

DIGRAFOS: DEFINICION Si G = (V, A) y A  V2, entonces, G es un DIGRAFO o GRAFO DIRIGIDO. En este caso, los elementos de A son pares ordenados de elementos de V.

DIGRAFOS: REPRESENTACION b d a e c

ELEMENTOS DE UN GRAFO Si G es un digrafo, sus lados se denominan ARCOS. Si G no es un digrafo, sus lados se denominan ARISTAS. Dado {a,b} A  (a,b) A, a y b se llaman EXTREMOS. Si G contiene un arco ó arista cuyos extremos son el mismo vértice (por ejemplo, el par {a,a} ó (a,a)), dicho arista o arco se denomina BUCLE o LAZO. a

ELEMENTOS DE UN GRAFO Dos lados (aristas o arcos) que tienen los mismos extremos se llaman MULTILADOS O LADOS PARALELOS. a b

ELEMENTOS DE UN GRAFO Dos vértices, a y b, son adyacentes si, y sólo si, {a,b}  A  (a,b)  A. Dos lados (aristas o arcos) son adyacentes si tienen un extremo en común.

CLASES DE GRAFOS Si G no posee lados paralelos ni bucles, se dice que G es un GRAFO SIMPLE. Sean los conjuntos V1 = {vi/1  i  n} y V2 = {uj/1  j m} G es un GRAFO BIPARTIDO, si sus lados están dados por {vi,uj}, pero no por {vi,vk}, ni {uj,us}.

RELACIONES EN UN CONJUNTO - DIGRAFOS Si A = {1,2,3,4} y R  A2 tal que R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2),(3,3),(4,4)}. El digrafo asociado, al que llamamos GR, es: 1 2 4 3

RELACIONES EN UN CONJUNTO - DIGRAFOS Si A  y R  A2 tal que R cumple la propiedad reflexiva, entonces el digrafo asociado tiene tantos bucles como vértices. R cumple la propiedad simétrica, entonces, los arcos del digrafo asociado son todos bucles y/o lados paralelos.

RELACIONES EN UN CONJUNTO - DIGRAFOS Si A = {1,2,3,4} y S  A2 tal que S = {(1,2), (1,3), (1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}. El digrafo asociado, al que llamamos GS, es: 2 1 3 4

RELACIONES EN UN CONJUNTO - DIGRAFOS Si A  y R  A2 tal que R cumple la propiedad arreflexiva, entonces el digrafo asociado no tiene bucles. R cumple la propiedad asimétrica, entonces, el digrafo asociado es un grafo simple.

RELACIONES EN UN CONJUNTO Si A = {1,2,3,4} y S  A2 tal que T={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)} El digrafo asociado, al que llamamos GT, es: 1 2 3 4

RELACIONES EN UN CONJUNTO Si A = {1,2,3,4} y U  A2 tal que U={(1,3),(3,2),(1,2),(4,4)} El digrafo asociado, al que llamamos GU, es: 1 2 3 4

RELACIONES EN UN CONJUNTO - DIGRAFOS Si A  y R  A2 tal que R cumple la propiedad antisimétrica, entonces, el digrafo asociado es un grafo simple ó es un grafo que contiene bucles pero no lados paralelos.

RELACIONES EN UN CONJUNTO Si A = {1,2,3}, V  A2 y W  A2 tales que V={(1,2),(2,3),(1,3)} y W ={(2,2),(1,3)} V y W son transitivas, siendo GV y GW: 3 1 2 3 1 2

CLASES DE GRAFOS Un grafo simple de n vértices es COMPLETO Y DE ORDEN n, si cada vértice es adyacente a los n – 1 restantes. Notación: Kn El número de lados es: n.(n – 1)/2 Kn puede representarse mediante un n – ágono y sus diagonales.

CLASES DE GRAFOS EJEMPLO: K5 El número de lados es: 10 = 5.4/2

GRADO DE UN VERTICE El grado de un vértice es el número de lados que lo tienen por extremo. Por convención, el grado de un bucle es 2. Notación: g(v) denota el grado del vértice v. TEOREMA: Si G = (V,A), con m = #(A), entonces:  g(v) = 2m. vV

EJEMPLOS El grado de cada vértice de Kn es n – 1. El grado de cada vértice de K5 es 4: A B C D E

EJEMPLOS B A C D Puentes de Königsberg: g(A) = 5; g(B) = g(C) = g(D) = 3 g(A) + g(B) + g(C) + g(D) = 5 + 3.3 = 14 = 2.7  #(A) = 7

REPRESENTACION MATRICIAL DE GRAFOS Sea G = (V,A) un grafo de n vértices (v1, v2,…, vn) y m lados, definimos MATRIZ DE ADYACENCIA de G a la matriz de clase n x n dada por: Ma = (aij) / i, j  {1, …, n}: 1 si {vi,vj}  A aij = 0 si {vi,vj}  A

REPRESENTACION MATRICIAL DE GRAFOS La definición de MATRIZ DE ADYACENCIA de G que dimos equivale a : Ma = (aij)nxn/ i, j  {1, …, n}: aij = V[{vi,vj} A] Si G es un digrafo, aij = V[(vi,vj) A]. En este caso, A  V2, de donde A es la relación en V definida como sigue: (vi,vj) A  aij = 1

EJEMPLOS K5: 1 2 3 4 5

EJEMPLOS Puentes de Königsberg: A B C D 1

EJEMPLOS R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2),(3,3),(4,4)} 1 2 3 4

MATRIZ DE ADYACENCIA DE UNA RELACION Sean V = {v1,…,v2}, R  V2,GR =(V, R) el digrafo asociado a R y Ma = (aij)nxn su matriz de adyacencia, entonces: R es reflexiva  i: aii = 1 R es arreflexiva  i: aii = 0

MATRIZ DE ADYACENCIA DE UNA RELACION Probemos que R es reflexiva i: aii = 1 Si R es reflexiva, cualquiera sea vi V: (vi, vi)  R   V[(vi, vi)R] = 1  aii = 1

MATRIZ DE ADYACENCIA DE UNA RELACION Además: R es simétrica  Ma = (Ma)T R es asimétrica i,j: aijajiaij= aji = 0 R es antisimétrica  i, j: aij  aji  aii =1 R es transitiva  Ma = (Ma)2

REPRESENTACION MATRICIAL Sea G = (V,A) un grafo de n vértices v1,…, vn y m lados l1,…, lm. MATRIZ DE INCIDENCIA (Mc): Es una matriz de clase n x m dada por: 1 si vi  lj bij = 0 si vi  lj

EJEMPLO Puentes de Königsberg: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 AB X AC1 AC2 AD1 BC BD

EJEMPLO Puentes de Königsberg: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 A 1 B C D

TRAYECTOS DE UN GRAFO CAMINO: Es una sucesión de lados que van de un vértice u a otro v. Dicha sucesión puede incluir lados repetidos. El nº de lados de un camino se llama LONGITUD de dicho camino. EJEMPLO: Puentes de Königsberg: CAMINO: A, B, C, A, C, B, D.

TRAYECTOS DE UN GRAFO CIRCUITO O CICLO: Es un camino que comienza y termina en el mismo vértice. EJEMPLO: Puentes de Königsberg: CICLO 1: A, B, C, A. CICLO 2: C, B, D, A, C.

GRAFO CONEXO Un grafo es CONEXO si para dos vértices distintos, u y v, existe un trayecto para ir de u a v. LADO PUENTE es aquel que si se lo elimina, el grafo al que pertenece deja de ser conexo.

EJEMPLO {B,C} LADO PUENTE A B E C D

TRAYECTOS DE UN GRAFO CAMINO EULERIANO: Es un camino que recorre todos los vértice de G, pasando por todos los lados una única vez. PROPIEDADES: Un grafo que admite camino de Euler, comienza y termina en vértices de grado impar. Si el número vértices de grado impar es mayor que 2, no admite camino de Euler.

TRAYECTOS DE UN GRAFO CIRCUITO EULERIANO: Es el circuito que recorre todos los vértices, pasando por todos los lados una única vez. TEOREMA: G tiene circuito de Euler si, y sólo si, es conexo y todos sus vértices tienen grado par.

EJEMPLOS b a c d g(a) = g(c) = 1; g(b) = 3

EJEMPLOS b a c d e f g(a) = g(f) = 2; g(b) = 3; g (c) = g(e)=4; g(d) = 1;

EJEMPLOS 1 2 3 4 5 6 g(i) = 2, i{1,2,3,4,5,6}

ALGORITMO DE FLEURY Verificar que G es conexo y que el grado de todos sus vértices es par. Seleccionar un vértice para iniciar el circuito.

ALGORITMO DE FLEURY Elegir un lado que tenga al vértice elegido en 2 como extremo. NO DEBE ser un lado puente, a menos que sea la única posible. Desconectar los vértices unidos por el lado elegido en 3. Si todos los vértices del grafo ya están desconectados, ya se tiene el circuito de Euler. En caso contrario repetir desde 3.

EJEMPLO 1 2 3 PASOS 1 y 2 CONEXO 4 5 6 g(i) = 2, i{1,2,3,4,5,6}

EJEMPLO PASOS 3 y 4: Desconecto 1 y 5 Desconecto 5 y 3 Desconecto 3 y 4 Desconecto 4 y 2 Desconecto 2 y 6 Desconecto 6 y 1 CIRCUITO DE EULER: 1 – 5 – 3 – 4 – 2 – 6 - 1

CIRCUITO DE HAMILTON Se trata de un problema similar al del circuito de Euler, sólo que en vez de pasar por todos los lados del grafo solamente una vez, en el CIRCUITO DE HAMILTON se pasa por cada vértice solamente una vez, con excepción del primero y último.

CIRCUITO DE HAMILTON TEOREMA DE DIRAC: Si G es un grafo simple de n vértices (n > 2), si el grado de cada uno de sus vértices es mayor o igual que n/2, entonces, G contiene un circuito de Hamilton.

CIRCUITO DE HAMILTON TEOREMA DE ORE: Si G es un grafo simple de n vértices (n > 2), si la suma de los grados de todo par de vértices distintos y no adyacentes es mayor o igual que n, entonces, G contiene un circuito de Hamilton.

EJEMPLO Hamilton, desarrolló y comercializó un juego que consistía en un dodecaedro regular, con las instrucciones para encontrar un circuito hamiltoniano. En la figura siguiente se muestra una versión plana de este sólido. Numere los vértices en forma consecutiva, a fin de encontrar uno de los muchos circuitos de Hamilton que admite este grafo.

EJEMPLO 1 20 19 13 2 5 18 12 6 14 17 15 7 11 16 8 9 10 3 4

GRAFOS ISOMORFOS Dos grafos G1 = (V1,A1) y G2 = (V2,A2) son ISOMORFOS, si existe una función biyectiva f: V1  V2 tal que: u,v  V1/{u,v}  A1: {f(u),f(v)}  A2

GRAFOS ISOMORFOS Si G1 y G2 son ISOMORFOS, se cumple: Tienen el mismo nº de lados. Tienen el mismo nº de vértices. Los conjuntos de grados son iguales

GRAFOS ISOMORFOS Ambos son conexos o ambos no lo son. Tienen el mismo nº de circuitos de longitud n. Ambos tienen o ambos no tienen circuitos de Euler.