Modulo 2. Estimación puntual e intervalar de medias y proporciones Facultad de Ciencias Sociales Departamento de Sociología Estadística II Modulo 2. Estimación puntual e intervalar de medias y proporciones Catalina Canals Cifuentes 14/03/2016

Contenidos INTRODUCCIÓN Estimación puntual. Estimación por Intervalos: Conceptos de error típico, nivel de confianza y error de estimación. Distribución muestral de medias, Teorema Central del límite, Ley de los grandes números. Construcción de intervalos de confianza. Determinantes de la precisión de los intervalos de confianza. Ejemplos

I. Estimación puntual

Estimación puntual I. ESTIMACIÓN PUNTUAL Estimar un parámetro poblacional mediante un estadístico que predice el valor de dicho parámetro. 𝝁= 𝒊∈𝑵 𝒙 𝒊 𝒊∈𝑵 𝟏 𝒙 = 𝒊∈𝒏 𝒙 𝒊 𝒊∈𝒏 𝟏 𝑷 𝑨 = 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒈𝒐𝒓í𝒂 𝑨 𝒆𝒏 𝑵 𝑵 𝒑 𝑨 = 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒈𝒐𝒓í𝒂 𝑨 𝒆𝒏 𝒏 𝒏 𝝈 𝟐 = 𝒊∈𝑵 ( 𝒙 𝒊 −𝝁) 𝟐 𝑵 𝑺 𝟐 = 𝒊∈𝒏 ( 𝒙 𝒊 − 𝒙 ) 𝟐 𝒏−𝟏 𝝈 𝟐 = 𝑷 𝑨 (𝟏− 𝑷 𝑨 ) 𝑺 𝟐 = 𝒏 𝒑 𝑨 (𝟏− 𝒑 𝑨 ) 𝒏−𝟏

II. Estimación por intervalos

Estimación intervalar II. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Estimación intervalar Estimar un parámetro poblacional mediante un rango de valores que contiene al parámetro poblacional con una probabilidad conocida.

Error típico o Error estándar (SE) II. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Error típico o Error estándar (SE) SE(e): Desviación estándar del estimador e. Parámetro: 𝑺𝑬(𝒆)= 𝒊∈𝑵 ( 𝒆 𝒊 − 𝒆 ) 𝟐 𝑵 𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒎𝒖𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔 𝑺𝑬(𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐)= 𝝈 𝒏 = 𝒊∈𝑵 ( 𝒙 𝒊 −𝝁) 𝟐 𝑵 𝒏 𝑺𝑬(𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒖𝒎𝒎𝒎𝒚)= 𝝈 𝒏 = 𝑷 𝑨 (𝟏− 𝑷 𝑨 ) 𝒏

Error típico o Error estándar (SE) II. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Error típico o Error estándar (SE) SE(e): Desviación estándar del estimador e. Estimador: 𝑺𝑬 (𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐)= 𝒔 𝒏 = 𝒊∈𝑵 ( 𝒙 𝒊 − 𝒙 ) 𝟐 𝒏−𝟏 𝒏 = 𝒊∈𝑵 ( 𝒙 𝒊 − 𝒙 ) 𝟐 𝒏(𝒏−𝟏) 𝑺𝑬 (𝒑𝒓𝒐𝒎𝒆𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒅𝒖𝒎𝒎𝒎𝒚)= 𝒔 𝒏 = 𝒏 𝒑 𝑨 (𝟏− 𝒑 𝑨 ) 𝒏−𝟏 𝒏 = 𝒏 𝒑 𝑨 (𝟏− 𝒑 𝑨 ) 𝒏(𝒏−𝟏) = 𝒑 𝑨 (𝟏− 𝒑 𝑨 ) (𝒏−𝟏)

Nivel de Confianza II. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Probabilidad con la cual un intervalo de confianza contiene a un parámetro poblacional. Siendo [a,b] un intervalo para estimar el parámetro 𝜇, el nivel de confianza= ℙ[𝑎≤𝜇≤𝑏 ] Ej. El porcentaje de chilenos que declara que hay un partido político al cual se siente más cercano que el resto, con 95% de confianza, está entre 20% y 28%

Estimación intervalar II. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Estimación intervalar Estimar un parámetro poblacional mediante un rango de valores que contiene al parámetro poblacional con una probabilidad conocida. Nivel de confianza

Probabilidad de error (a) II. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Probabilidad de error (a) 1-Nivel de Confianza. Es la probabilidad de que el intervalo de confianza NO contenga el parámetro poblacional. Ej. El porcentaje de chilenos que declara que hay un partido político al cual se siente más cercano que el resto, con 95% de confianza, está entre 20% y 28%

Error de estimación (e) II. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Error de estimación (e) Corresponde a la mitad de la amplitud del intervalo de confianza. Ej. El porcentaje de chilenos que declara que hay un partido político al cual se siente más cercano que el resto, con 95% de confianza, está entre 20% y 28% Siendo [a,b] un intervalo y siendo 𝑥 el estimador puntal del intervalo a estimar a= 𝑥 −e y b= 𝑥 +e

Conceptos de error a= 𝑥 −e y b= 𝑥 +e II. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Conceptos de error Probabilidad de error: 1 – Nivel de de confianza Error de estimación (e): Error típico o error estándar a= 𝑥 −e y b= 𝑥 +e

PREGUNTAS Un estudio pretendía determinar qué estimador era más conveniente usar para analizar la edad de los chilenos. Para ello generó 20 muestras de 100 casos cada una, y para cada muestra calculó 4 estimadores distintos. Los gráficos siguientes muestran la distribución de dichos estimadores en las muestras. Sabiendo que el promedio de edad de los chilenos es 47 años, si usted quisiere usar uno de los indicadores para realizar una estimación puntual ¿Cuál indicador recomendaría usar y por qué? En una investigación utilizaron una muestra para estimar un intervalo de confianza de la altura de las mujeres chilenas (en cms.), encontrando un intervalo = 158;178 , utilizando 99% de Confianza . ¿Qué quiere decir ese resultado? ¿Cuál es la probabilidad de error? ¿Cuán es el error de estimación?

II. Distribución muestral de medias, Teorema Central del Límite (TCL) y Ley de los grandes números (LGN)

Distribución muestral de estimador III. DISTRIBUCIÓN MUESTAL DE MEDIAS, TCL Y LGN Distribución muestral de estimador Distribución del estimador (estima un parámetro poblacional) 𝜇

Distribución muestral de medias III. DISTRIBUCIÓN MUESTAL DE MEDIAS, TCL Y LGN Distribución muestral de medias Distribución del promedio muestral (estimador de un promedio poblacional) 𝜇

Intervalos de Confianza III. DISTRIBUCIÓN MUESTAL DE MEDIAS, TCL Y LGN Intervalos de Confianza Intervalo de un X% de Confianza: Rango de valores que contiene al parametro poblacional con un X% de probabilidad. Formas de estimar Intervalos de Confianza (IC) IC Exactos Aproximaciones asintóticas (Por TCL y LGN) Boostraping (Método de Boostrap)

Teorema central del límite III. DISTRIBUCIÓN MUESTAL DE MEDIAS, TCL Y LGN Teorema central del límite La distribución de las medias muestrales extraídas de forma aleatoria se aproximan a una distribución normal para n suficientemente grandes. ¿Cuánto es suficientemente grande?

Teorema central del límite III. DISTRIBUCIÓN MUESTAL DE MEDIAS, TCL Y LGN Teorema central del límite n=30

Teorema central del límite III. DISTRIBUCIÓN MUESTAL DE MEDIAS, TCL Y LGN Teorema central del límite n=100

Teorema central del límite III. DISTRIBUCIÓN MUESTAL DE MEDIAS, TCL Y LGN Teorema central del límite n=500

Ley de los grandes números (LGN) III. DISTRIBUCIÓN MUESTAL DE MEDIAS, TCL Y LGN Ley de los grandes números (LGN) Los promedios de muestras aleatorias convergen en probabilidad al parámetro poblacional.

Aproximaciones Asintóticas IV. CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA Aproximaciones Asintóticas + TCL + LGN = Fórmula IC IC= tal que: P(a≤≤b)=NC P(-Za/2 ≤ (X-)/SE(X) ≤ Za/2)=NC

Aproximaciones Asintóticas IV. CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA Aproximaciones Asintóticas 𝑺𝑬 ( 𝒑 )= 𝒑 (𝟏−𝒑) (𝒏−𝟏) 𝑺𝑬 ( 𝒙 )= 𝒊∈𝒏 ( 𝒙 𝒊 − 𝒙 ) 𝟐 𝒏(𝒏−𝟏) Za/2: 95% Confianza: 1,96 99% de Confianza: 2,58

Error de estimación (e) II. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Error de estimación (e) Corresponde a la mitad de la amplitud del intervalo de confianza. Siendo [a,b] un intervalo y siendo 𝑥 el estimador puntal del intervalo a estimar a= 𝑥 −e y b= 𝑥 +e e e

Aproximaciones Asintóticas IV. CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA Aproximaciones Asintóticas Ejemplo: En una muestra de 1000 estudiantes de la FACSO, el 30% de ellos fuma. Estime la proporción de estudiantes de la FACSO que fuman, usando estimación por intervalos con un 95% de Confianza. Za/2: 95% Confianza: 1,96 99% de Confianza: 2,58 𝑺𝑬 ( 𝒑 )= 𝒑 (𝟏−𝒑) (𝒏−𝟏)

Aproximaciones Asintóticas IV. CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA Aproximaciones Asintóticas Ejemplo: En una muestra de 1000 estudiantes de la FACSO, el promedio de edad es 22,7 y la varianza es 4,9. Estime el promedio de edad de estudiantes de la FACSO, usando estimación por intervalos con un 99% de Confianza. Za/2: 95% Confianza: 1,96 99% de Confianza: 2,58 𝑺𝑬 ( 𝒙 )= 𝒊∈𝒏 ( 𝒙 𝒊 − 𝒙 ) 𝟐 𝒏(𝒏−𝟏)

IV. CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA Tabla Z

IV. CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA Tabla Z

IV. CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA Tabla Z

Intervalos de Confianza IV. CONSTRUCCIÓN DE INTERVALOS DE CONFIANZA Intervalos de Confianza Intervalo de un X% de Confianza: Rango de valores que contiene al parametro poblacional con un X% de probabilidad. Formas de estimar Intervalos de Confianza (IC) IC Exactos Aproximaciones asintóticas (Por TCL y LGN) Boostraping (Método de Boostrap)

V. DETERMINANTES DE LA PRECISIÓN DEL IC

Mayor Nivel de Confianza (NC) Menor precisión. V. DETERMINANTES DE LA PRECISIÓN DEL IC Nivel de Confianza 𝑺𝑬 ( 𝒑 )= 𝒑 (𝟏−𝒑) (𝒏−𝟏) 𝑺𝑬 ( 𝒙 )= 𝒏 𝒏(𝒏−𝟏) Mayor Nivel de Confianza (NC) Menor precisión.

Tamaño de la muestra (n) V. DETERMINANTES DE LA PRECISIÓN DEL IC Tamaño de la muestra (n) 𝑺𝑬 ( 𝒑 )= 𝒑 (𝟏−𝒑) (𝒏−𝟏) 𝑺𝑬 ( 𝒙 )= 𝒊∈𝒏 ( 𝒙 𝒊 − 𝒙 ) 𝟐 𝒏(𝒏−𝟏) Mayor Tamaño muestral (n) Menor SE Mayor precisión.

Mayor Varianza Mayor SE Menor precisión. V. DETERMINANTES DE LA PRECISIÓN DEL IC Varianza 𝑺𝑬 ( 𝒑 )= 𝒏 𝒑 (𝟏−𝒑) 𝒏(𝒏−𝟏) 𝑺𝑬 ( 𝒙 )= 𝒊∈𝒏 ( 𝒙 𝒊 − 𝒙 ) 𝟐 𝒏(𝒏−𝟏) Mayor Varianza Mayor SE Menor precisión.

Mayor error de estimación  Menor precisión. V. DETERMINANTES DE LA PRECISIÓN DEL IC Error de estimación 𝑺𝑬 ( 𝒑 )= 𝒑 (𝟏−𝒑) (𝒏−𝟏) 𝑺𝑬 ( 𝒙 )= 𝒊∈𝒏 ( 𝒙 𝒊 − 𝒙 ) 𝟐 𝒏(𝒏−𝟏) Mayor error de estimación  Menor precisión.

PREGUNTAS 3. Considere los siguientes datos para calcular un intervalo de confianza con un 90% de confianza que indique la proporción de estudiantes de derecha de la facultad. Interprete sus resultados estadística y sociológicamente. 4. Considere los siguientes datos para calcular un intervalo de confianza con un 90% de confianza que indique el promedio PSU de los estudiantes de la facultad. Interprete sus resultados estadística y sociológicamente. 5. La proporción de personas con enseñanza básica completa en una población corresponde a un 90%. Un grupo de investigadores, que no conocían el parámetro poblacional realizaron 2 muestras de la población y a partir de cada una de ellas estimaron un intervalo de confianza para la proporción de personas de la población con enseñanza básica. El intervalo construido a partir de la muestra 1 corresponde a [84%, 99%], y el de la muestra 2 corresponde a [89%, 94%]. ¿Qué motivos podrían explicar que el intervalo de la muestra 2 sea más preciso? Tamaño de la muestra 1000 % de estudiantes de derecha en la muestra 25% Promedio PSU estudiantes de la muestra 708 Varianza muestral PSU 56

VI. EJEMPLOS

VI. EJEMPLOS

VI. EJEMPLOS

VI. EJEMPLOS

VI. EJEMPLOS

Contenidos INTRODUCCIÓN Estimación puntual. Estimación por Intervalos: Conceptos de error típico, nivel de confianza y error de estimación. Distribución muestral de medias, Teorema Central del límite, Ley de los grandes números. Construcción de intervalos de confianza. Determinantes de la precisión de los intervalos de confianza. Ejemplos

Estimación por intervalos Error estándar Nivel de confianza CONCEPTOS FUNDAMENTALES Estimación puntual Estimación por intervalos Error estándar Nivel de confianza Probabilidad de error Error de estimación Teorema Central del Límite Ley de los Grandes números Distribución muestral de medias