PROPORCIONALIDAD DE SEGMETOS Teorema de Thales

REVISIÓN DE PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA Razón: es el cociente entre dos números. Donde el primero de los números se llama “antecedente” y el segundo “consecuente” Ejemplo: la razón ente 3,6 y 1,2 es 3,6 1,2 =3 3,6 →𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 1,2→𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒 3 →𝑟𝑎𝑧ó𝑛 Proporción: es la igualdad de dos razones: 𝒂 𝒃 = 𝒄 𝒅 donde Ejemplo: Razón 1,25 𝑦 2,5 = 1,25 2,5 = 1 2 y Razón 3/2 𝑦 3/4 = 3 2 3 4 = 1 2 entonces 1,25 2,5 3 2 𝑦 3 4 forman proporción 1,25 2,5 = 3 2 3 4 de extremo 1,25 𝑦 3 4 y medios 2,5 y 3 2 Propiedad fundamental: en toda proporción el producto de los extremo es igual al producto de los medios: “Si 𝑎 𝑏 = 𝑐 𝑑 entonce 𝑎 . 𝑑=𝑏 . 𝑐 “ Ejemplo: 12 8 = 15 20 entonces 12 . 20=8 . 15 𝒂 y 𝒅 se denominan “extremos” 𝒃 y 𝒄 se denominan “medios”

TEOREMA DE THALES TEOREMA DE THALES “Si tres o más paralela son intersectadas por dos transversales, la razón entre dos segmentos cualesquiera de la primera transversal es igual a la razón entre los segmentos correspondientes de la segunda transversal.” Hipótesis q||r||s t y t’ transversales correspondencia 𝐴𝐵 → 𝐹𝐺 𝐵𝐶 → 𝐺𝐻 𝐴𝐶 → 𝐹𝐻 Tesis 𝐴𝐵 𝐵𝐶 = 𝐹𝐺 𝐺𝐻 𝑜 𝐴𝐶 𝐴𝐵 = 𝐻𝐺 𝐹𝐺

Aplicación del “TEOREMA DE THALES” Observar el gráfico y Completa las proporciones 𝑟𝑣 𝑏𝑐 𝑠𝑡 𝑑𝑒 𝑟𝑠 𝑠𝑢 𝑡𝑢 𝑡𝑣 𝑠𝑢 𝑟𝑢 𝑎𝑐 𝑐𝑒 𝑐𝑑 𝑡𝑣

Ejercicios Ejercicios: calcular el valor de x M||N||P Reemplazar por los datos Propiedad fundamental 3𝑐𝑚 4𝑐𝑚 6𝑐𝑚 Despejar 𝑥 Calcular

Ejercicio de aplicación del teorema de Thales Teniendo en cuenta los datos, plantear la proporción adecuada y calcula el valor de x y la medida de los segmentos intervinientes. DATOS: A||B||C 𝑎𝑏 𝑑𝑒 = 𝑏𝑐 𝑒𝑓 4,5𝑐𝑚 1,5𝑐𝑚 4,5𝑐𝑚 = 1,5𝑐𝑚 2𝑥+1𝑐𝑚 5𝑥+4𝑐𝑚 5𝑥+4𝑐𝑚 1,5 5𝑥+4 = 2𝑥+1 .4,5 2𝑥+1𝑐𝑚 7,5𝑥+6=9𝑥+4,5 6−4,5=9𝑥−7,5𝑥 1,5=1,5𝑥 𝑏𝑐 =2.1𝑐𝑚+1𝑐𝑚 𝑏𝑐 =3𝑐𝑚 1,5:1,5=𝑥 𝑒𝑓 =5.1cm+4cm 𝑒𝑓 =9cm 1=𝑥

Corolario del teorema de Thales Si a un triángulo le trazamos una paralela a uno de los lados, esta corta a los otros dos lados o a sus prolongaciones, determinando segmentos proporcionales. Hipótesis: abc triángulo 𝐴𝐶 || 𝑃𝑄 Tesis: 𝐴𝑃 𝑃𝐵 = 𝐶𝑄 𝑄𝐵 𝐴𝐵 𝐴𝑃 = 𝐶𝐵 𝐶𝑄 se dice que esta propiedad es consecuencia del teorema de Thales ya que con solo supone que la tercer paralela se ubica en el vértice opuesto 𝑬𝑩 𝐴𝐷 𝐴𝐶 = 𝐸𝐷 𝐸𝐵 𝟏𝟖𝒄𝒎 Ejemplo: En la figura AE // CB. Determinar la medida de DB si AD = 20 cm, AC = 6 cm. y ED = 18 cm. Elige la respuesta correcta C D A B E 20𝑐𝑚 6𝑐𝑚 = 18𝑐𝑚 𝐸𝐵 𝟔𝒄𝒎 𝐸𝐵 = 6𝑐𝑚 . 18𝑐𝑚 20𝑐𝑚 → 𝐸𝐵 =5,4cm a) 9 cm b) 11 cm c) 12,6 cm d) 54 cm e) Ninguna de las anteriores 𝟐𝟎𝒄𝒎 𝑫𝑩 =18𝑐𝑚 −5,4cm → 𝑫𝑩 =12,6𝑐𝑚

Problemas 120m 40𝑚 90𝑚 = 𝒙 120𝑚 30𝑚 90𝑚 = 𝒙 120𝑚 20𝑚 90𝑚 = 𝒙 120𝑚 40m +30m + 20m = 90m 𝑥= 40𝑚. 120𝑚 90𝑚 𝑥= 30𝑚. 120𝑚 90𝑚 𝑥= 20𝑚. 120𝑚 90𝑚 𝑥=57,33𝑚 𝑥= 40m 𝑥=26,66m