Funciones

La palabra función en su forma latina, fue introducida en 1694 por G La palabra función en su forma latina, fue introducida en 1694 por G. Leibniz. J. Bernoulli hacia l718 describe una función como: [...] una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y constantes. Las ecuaciones ó fórmulas con constantes y variables surgieron posteriormente con L. Euler, quién hacia 1734 introduce la notación f(x) que se mantiene hasta la actualidad. G. Leibniz (1646-1716) Johann Bernoulli. Médico, filólogo y matemático suizo. Las novedades matemáticas de Leibniz sobre el cálculo infinitesimal lo cautivó junto a su hermano Jakob. En 1691 va a París a guiar a los franceses en el uso del cálculo, entre los cuales se hallaba L´Hopital. En Francia se convirtió en defensor de Leibniz en la polémica con Newton por quién había enunciado primero los principios del cálculo infinitesimal. Gottfried W. Leibniz. Filósofo y matemático alemán. A los 8 años escribía poemas en latín y a los 12 se interesó en la lógica aristotélica estudiando filosofía escolástica. En 1661 ingresó a la universidad a estudiar leyes, y dos años después se trasladó a la U. de Jena, donde estudió matemáticas. Hacia 1672 inventó una máquina de calcular mecánica capaz de realizar las operaciones de multiplicación, división y extracción de raíces cuadradas y elaboró las bases del cálculo infinitesimal. J. Bernoulli (1667-1748) En 1705, tras la muerte de su hermano por tubercolosis, le sustituyó como catedrático de matemáticas en la Universidad de Basilea por 42 años como profesor, allí tuvo como discípulos a Koning y Euler.

Trabajo Práctico Nº 3 Relaciones y Funciones 1) Sea A = { 1 ; 2 }. Construya el conjunto P(A) x A. Ejercicio Resuelto 2) Sean A = { x  N / 1  x  5 } y B = { 3 ; 4; 5 }. Se define R  A x B mediante (x,y) R  x + y  5. i) Definir R por extensión. ii) Representar A x B y R. iii) Determinar R-1. Ejercicio Resuelto Diapositiva 2. Ejercicios 1 – 2 - 3 3) Dado el conjunto A = { 1, 2, 3 }. i) Construya P(A); ii) Determine por extensión la relación  definida en P(A).

Ejercicio Resuelto Ejercicio Resuelto 4) Diga si las siguientes relaciones son funciones y represéntelas gráficamente a) f : R  R / f(x) = -5 x b) g : Z  Z / g(x) =   c) h : N  N / h(x) = 2 x + 3 Ejercicio Resuelto 5) Sean los conjuntos: Analice si cada una de las siguientes relaciones es función, en tal caso, clasifíquela y encuentre su inversa. i) De definida por: ii) De definida por: Diapositiva 3. Ejercicios 4 – 5 - 6 iii) De definida por: iv) De definida por: v) De definida por: Ejercicio Resuelto

Sean los conjuntos: A = { 1; 2; 4 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } ; C = {1/2; 2 ;3 ;8 ;10} y las funciones Se pide : i) Determinar f y g por extensión. ii) Definir la composición g º f  A x C por extensión. iii)Determinar los dominios e imágenes de las tres funciones y clasificarlas. Ejercicio Resuelto 7) Represente gráficamente las siguientes funciones y clasifíquelas: Diapositiva 4. Ejercicios 7 – 8 - 9 Ejercicio Resuelto

Ejercicio Resuelto Ejercicio Resuelto 8) Los datos almacenados en un disco rígido o trasmitidos en una red se expresan en cadenas de bytes. Cada byte consta de 8 bits. ¿Cuántos bytes se requieren para codificar 100 bits de datos? Ejercicio Resuelto 9) En una determinada Red los datos se organizan en células de 53 bytes. ¿Cuántas células se pueden transmitir en un minuto si la velocidad de conexión es 500Kbits por segundo? ¿Cuántas células se pueden transmitir en 10 segundos si la velocidad de conexión es 300Kbits por segundo? ¿Cuántas células se pueden transmitir en 10 segundos si la velocidad de conexión es 1 Mbit por segundo? Diapositiva 5. Ejercicios 10 – 11 - 12 Ejercicio Resuelto

Ejercicio Resuelto Ejercicio Resuelto 10) Debe almacenarse y procesarse 10000 registros de cuentas de clientes. La computadora de la compañía tiene capacidad de buscar aceptablemente listas de 100 elementos. Se decide crear 101 listas enlazadas para almacenamiento. ¿A qué lista sería asignado el registro con número de cuenta 2473871?. Ejercicio Resuelto 11) La función hashing en este caso toma los tres primeros dígitos del número de cuenta como un número y los últimos cuatro como otro número y los suma, y luego aplica la función módulo 59. a) ¿cuántas listas se crean en este caso?. b) Determine en qué lista deben agregarse las cuentas de clientes N°: i) 3759273; ii) 7149021; iii) 5167249; iv) 2561384; v) 6082376; vi) 4984620. Diapositiva 6. Ejercicios 14 –15 Ejercicio Resuelto

El número de elementos que conforman P(A) es 2n donde n = A Conjunto de partes Se escribe P(A) se lee “partes de A” y está formado por todos los subconjuntos posibles que pueden formarse con los elementos del conjunto A, incluido el conjunto vacío Sea A { a, b, c } { } =  {a} • a A • a • b {a,b} El número de elementos que conforman P(A) es 2n donde n = A • a • b • c {b} • a • c {a,c} • b • c • b • c {c} {b,c} A se lee cardinal del conjunto A y es igual a la cantidad de elementos que tiene el conjunto A Diapositiva 8 Glosario Ej 1 •a • b • c {a, b, c} entonces el conjuntos de partes de A es: P(A)= { {a}; {b}, {c}; {a,b}; {a,c}; {b,c}; {a,b,c}  }

Producto Cartesiano A x B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) } Dado un conjunto A = { a, b } y un conjunto B = { 1, 2 } El producto cartesiano A x B se forma con todos los pares ordenados posibles conformados por elementos del conjunto A en el primer lugar del par ordenado y elementos del conjunto B en el segundo lugar del par ordenado B A • a • 1 • b • 2 A x B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) } También podemos representar el producto cartesiano en un par de ejes coordenados D 9 Glosario Ej 2 D 2 B 2 1 En el eje de abscisas (x) el conjunto A A x B En el eje de ordenadas (y) el conjunto B (a, 2) (b, 2) y los pares ordenados en las intersecciones de las perpendiculares a cada uno de los ejes, que pasan por los elementos involucrados (a, 1) (b, 1) a b A

1) Si A = { 1, 2 } P(A) = { ; {1}; {2}; {1,2} } Recuerda que cada uno de los subconjuntos posibles formados con los elementos del conjunto A, es un elemento de P(A) Sea A { 1, 2 } {1} • 1 A { } =  • 1 • 2 {2} • 2 {1, 2} •1 • 2 Ejercicio 1 D 2 – Glosario D8 Ej 2 Glosario D9 P(A)xA={(,1);(,2);({1},1);({1},2);({2},1);({2},2);({1,2},1); ({1,2},2)} observa que en cada par ordenado, el 1er elemento  P(A) y el 2do elemento  A

Relaciones Analizamos Y = 2 x R = { (1, 2) } Dado un producto cartesiano A x B, si se verifica que entre los elementos de algunos (o todos) los pares ordenados que lo conforman se cumple una cierta propiedad, existe una relación R  A x B  (x,y)  R : x  A  Y  B incluida en el producto cartesiano A xB si y solo si para todo par ordenado (x, y) que pertenece a la relación R se verifica que el elemento x pertenece al conjunto A y que el elemento y pertenece al conjunto B A B Sean A = { 1, 2 } y B = { 2, 3 } • 1 • 2 En A x B = { (1, 2); (1, 3); (2, 2); (2, 3) } • 2 • 3 Definimos R  A x B : (x,y)  R  y = 2x De analizar los pares ordenados que conforman A x B resulta que algunos pueden verificar (otros no) o puede suceder que todos verifiquen e incluso también puede suceder que ningún par ordenado verifique la condición Glosario del Ej 3 D2 Analizamos en el par (1, 2) x = 1 y = 2 2 = 2  1 entonces (1, 2)  R Y = 2 x en el par (1, 3) x = 1 y = 3 3  2  1 entonces (1, 3)  R en el par (2, 2) x = 2 y = 2 2  2  2 entonces (2, 2)  R en el par (2, 3) x = 2 y = 3 3  2  2 entonces (2, 3)  R R = { (1, 2) }

La relación antes vista R = { (1, 2) } definida por comprensión será: R = { (x, y) / x  A  y  B  y = 2x } Observe que la definición por comprensión considera: los elementos que componen la relación pares ordenados (x, y) a qué conjunto pertenecen cada uno de los elementos x  A ; y  B cómo se vinculan los elementos de cada par ordenado y = 2x La relación se representa en ejes cartesianos, en diagrama de Venn y en tablas R  A x B R A B B 3 2 2 3 1 x - B A (1, 3) A x B • 2 (2, 3) • 1 (1, 2) (2, 2) • 2 • 3 1 2 A Ejes cartesianos Diagramas de Venn Tabla de R

Se define R  A x B mediante (x,y)  R  x + y  5. 2) Si A = { x  N / 1  x  5 } B = { 3, 4, 5 } por extensión A = {1, 2, 3, 4, 5 } R A B Se define R  A x B mediante (x,y)  R  x + y  5. • 1 • 3 • 2 1 + 3 = 4  5  (1, 3)  R 4 + 3 = 7  5  (4, 3)  R • 4 1 + 4 = 5 = 5  (1, 4)  R 4 + 4 = 8  5  (4, 4)  R • 3 4 + 5 = 9  5  (4, 5)  R • 4 • 5 1 + 5 = 6  5  (1, 5)  R 2 + 3 = 5 = 5  (2, 3)  R 5 + 3 = 8  5  (5, 3)  R • 5 2 + 4 = 6  5  (2, 4)  R 5 + 4 = 9  5  (5, 4)  R en Diagrama de Venn 2 + 5 = 7  5  (2, 4)  R 5 + 5 = 10  5  (5, 5)  R 3 + 3 = 6  5  (3, 3)  R 3 + 4 = 7  5  (3, 4)  R R = { (1, 3), (1, 4), (2, 3) } 3 + 5 = 8  5  (3, 5)  R A x B R-1 se conforma con los pares ordenados de R, pero cambiando el orden de los elementos en cada par Si (x,y)  R entonces (y,x) R-1 B 5 4 3 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) Ejercicio 3 D2 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) R-1 = { (3, 1); (4, 1); (3, 2) } R R-1 = { (y, x)  BxA  y + x  5 } 1 2 3 4 5 A En Gráfico cartesiano

P(A)= { ; {1}; {2}, {3}; {1,2}; {1,3}; {2,3}; {1,2,3} } 3) Dado el conjunto A = { 1, 2, 3 }. { } =  {1} • 1 A • 1 • 2 {1,2} • 1 • 2 • 3 {2} • 1 • 3 {1,3} • 2 • 3 • 2 • 3 {3} {2,3} •1 • 2 • 3 {1, 2, 3} entonces el conjuntos de partes de A es: P(A)= { ; {1}; {2}, {3}; {1,2}; {1,3}; {2,3}; {1,2,3} } La relación  por extensión es: = { (,);(,{1});(,{2});(,{3});(,{1,2});(,{1,3}); (,{2,3});(,A);({1},{1,2});({1},{1,3});({1},A);({2},{1,2});({2},{2,3});({2},A);({3},{1,3});({3},{2,3});({3},A);(A,A) }

FUNCIONES Dados dos conjuntos A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 3,4 } definimos en el producto cartesiano A x B una Relación R : (a, b)  b = a + 1 Una relación R  A x B es función . . . Si verifica dos condiciones: Existencia y Unicidad Existencia verifica si para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B A B Simbólicamente a  A : b  B / (a, b)  f para todo elemento a que pertenece al conjunto A se verifica 1 2 que existe un elemento b que pertenece al conjunto B 2 3 tal que el par ordenado (a, b) pertenece a f Unicidad, si cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B 3 4 Simbólicamente (a, b)  f  (a, c)  f  b = c Si el par ordenado (a, b) pertenece a f y el par ordenado (a, c) pertenece a f entonces b es igual a c Es función si cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo un elemento del conjunto B

Es función NO es función NO es función A B En situaciones como 1 2 también se verifica que 2 para cada elemento del conjunto A existe una imagen en B (existencia) 4 3 Es función cada elemento del conjunto A se relaciona con un solo elemento del conjunto B (unicidad) A B Situaciones como . . . no verifica la condición de existencia 1 2 2 el elemento 2  A pero no tiene un correspondiente en B 4 3 NO es función En el caso . . . no verifica la condición de unicidad A B 1 1 el elemento 1  A se relaciona con dos elementos diferentes de la imagen (B ) 2 2 3 NO es función 3 4

Clasificación de funciones Una función es inyectiva si dos elementos cualesquiera diferentes del dominio tienen imágenes diferentes x1 x2  A : x1  x2  f(x1)  f(x2) Porque cada elemento del conjunto A tiene imagen diferente en el conjunto B En este caso tenemos función inyectiva A B Una función es sobreyectiva si todos los elementos del conjunto B (codominio) son Imagen de la función, es decir que todos los elementos del conjunto B admiten al menos un antecedente en el dominio 1 2 2 3 3 4 y  B, x  A / y = f(x) En este caso tenemos función sobreyectiva Porque todos los elementos del conjunto B tienen un antecedente con el que se relacionan en el conjunto A Si una función es inyectiva y sobreyectiva . . . es BIYECTIVA

Para representar cualquier función se debe conocer . . . Representación Gráfica de Funciones Para representar cualquier función se debe conocer . . . Cuál es el dominio donde está definida la función . . . y cuál es la imagen que se corresponde con el dominio de la función Im Dm Y = f(x) y se estudia la ley de variación de la función definida por y = f(x) . . . esto se hace asignándo valores xi en la expresión y = f(x); encontrando el resultado yi que le corresponde a f(xi) x y La imagen de la función son los valores que se corresponden con cada valor del dominio de la función el dominio de la función son los valores que puede tomar xi en f(x) Si dos elementos diferentes del codominio (conjunto B) son imagen del mismo elemento de A, la expresión no es función (Unicidad) recuerde siempre que: si un valor del conjunto “de salida A” no tiene imagen, la expresión no es función (Existencia)

debemos unir todos los puntos obtenidos Podemos representar gráficamente una función en un par de ejes coordenados N 5 4 3 2 1 R y Sea f : N  N / f(x) = x + 1 Sea la función f que va de Naturales en Naturales tal que “f de x” es igual a x + 1 y confeccionamos una tabla, asignándole valores a x para hallar valores de y x x + 1 y x si 1 1 + 1 2 1 2 3 4 N R en el eje de abscisas (x) el dominio N En el eje de ordenadas (y) la imagen N si 2 2 + 1 3 si 3 3 + 1 4 Si la misma ley de variación (y = x + 1) estuviera definida de R  R si 4 4 + 1 5 La función ahora es f : R  R / f(x) = x + 1 el dominio ahora será Reales y la imagen también Reales Pero al ser el dominio todos los puntos del eje x (reales), la función está definida para todo x debemos unir todos los puntos obtenidos

ES FUNCION x - 5 x Y 4 a) Para representar f: R  R / f(x) = - 5 x Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y Trazamos un par de ejes coordenados y confeccionamos una tabla de valores x - 5 x Y 1 -5 · 1 - 5 Se verifican las condiciones de Existencia y Unicidad, luego: ES FUNCION -1 -5 · (-1) 5 0 -5 · 0 0 2 -5 · 2 -10 -2 -5 · (-2) 10 Y finalmente porque es una relación que va de Reales en Reales, trazamos con línea llena una recta que une los puntos identificados

ES FUNCION x Y 4 b) Para representar g: Zpares  Z / g(x) = reconocemos el dominio y la imagen de la relación Entonces serán pares ordenados (x,y) válidos solamente aquellos donde x e y sean números enteros Trazamos un par de ejes coordenados y confeccionamos una tabla de valores x Y Y la relación queda representada por puntos porque va de Enteros pares en Enteros. (no corresponde el trazado de línea llena) 2 ½ · 2 1 -2 ½ · (-2) - 1 4 ½ · 4 2 Se verifican las condiciones de Existencia y Unicidad, luego: ES FUNCION -4 ½ · (-4) - 2 6 ½ · 6 3 - 6 ½ · (-6) - 3 0 ½ · 0 0

4 c) Para representar h(x) = 2x + 3 definida de N en N En este caso tanto el dominio como la imagen son el conjunto de los números naturales (N) Primero reconocemos cual es el dominio y cual es la imagen de la relación Significa que serán pares ordenados de la relación aquellos en los que x  N y resulta de aplicar x en h(x), que también h(x)  N x 2x + 3 Y 1 2 · 1 + 3 5 2 2 · 2 + 3 7 Se verifican las condiciones de Existencia y Unicidad, luego: ES FUNCION 3 2 · 3 + 3 9 4 2 · 4 + 3 11 5 2 · 5 + 3 13 la función queda representada por puntos porque va de Naturales en Naturales

Se verifica existencia 5) Sean los conjuntos: Analice si la siguiente relación es función, en tal caso, clasifíquela y halle su inversa i) De definida por: C A 1 Se verifica existencia a 2 b pero no unicidad 3 c 4 La relación de i) De A  C NO ES FUNCION

Se verifican las condiciones de Existencia y Unicidad, luego: 5) Sean los conjuntos: Analice si la siguiente relación es función, en tal caso, clasifíquela y halle su inversa ii) De definida por: B D a Se verifican las condiciones de Existencia y Unicidad, luego: ES FUNCION 1 Por ser función NO BIYECTIVA, NO ADMITE INVERSA b 2 c d 3 x1=a, x2=d  B  f(x1) = f(x2) entonces NO ES INYECTIVA y  D, x  B / y = f(x) entonces ES SOBREYECTIVA

Se verifican las condiciones de Existencia y Unicidad, luego: 5) Sean los conjuntos: Analice si la siguiente relación es función, en tal caso, clasifíquela y halle su inversa iii) De definida por: B D D B a 1 Se verifican las condiciones de Existencia y Unicidad, luego: ES FUNCION a 1 b 2 2 b c 3 c 3 4 d d 4 x1  x2  B : f(x1)  f(x2) entonces ES INYECTIVA y  D, x  B / y = f(x) entonces ES SOBREYECTIVA Función biyectiva, admite inversa

Se verifican las condiciones de Existencia y Unicidad, luego: 5) Sean los conjuntos: Analice si la siguiente relación es función, en tal caso, clasifíquela y halle su inversa iv) De definida por: B C a 1 Se verifican las condiciones de Existencia y Unicidad, luego: ES FUNCION Por ser función NO BIYECTIVA, NO ADMITE INVERSA b 2 3 c 4 d x1=a, x2=c  B  f(x1) = f(x2) entonces NO ES INYECTIVA y=4  D no tiene antecedente en el dominio entonces NO ES SOBREYECTIVA

Se verifican las condiciones de Existencia y Unicidad, luego: 5) Sean los conjuntos: Analice si la siguiente relación es función, en tal caso, clasifíquela y halle su inversa v) De definida por: A C a 1 Se verifican las condiciones de Existencia y Unicidad, luego: ES FUNCION Por ser función NO BIYECTIVA, NO ADMITE INVERSA 2 b 3 4 c x1,x2  A : f(x1)  f(x2) entonces ES INYECTIVA y=2  C no tiene antecedente en el dominio entonces NO ES SOBREYECTIVA

Composición de Funciones g Sean los conjuntos A; B y C A f B C v a 1 Y entre ellos se establecen funciones w b 2 f: A  B y g: B  C Definimos la composición de f y g, que se escribe g  f Como una función que va de A en C (a, w)  g  f  (a, 2)  f y (2, w)  g g  f = { (a, w); (b, v) } (b, v)  g  f  (b, 1)  f y (1, v)  g La composición de funciones debe entenderse como “la función de una función” g  f g A f B C x g[f(x)] f(x)

6) Se consideran A = { 1; 2; 4 } ; B={ 1; 4; 6; 16 } formamos el producto cartesiano A x B ; A x B = { (1,1); (1,4); (1,6); (1,16); (2,1); (2,4); (2,6); (2,16); (4,1); (4,4); (4,6); (4,16) } de analizar cuales son los pares ordenados que verifican la condición y = x2 surge que f = { (1,1); (2,4); (4,16) } entonces se define formalmente la función f de la siguiente manera: (x,y)  f  y = x2 ; f  A x B C B  2  4  1/2  1 A B  3  1  6  10  1  8  2 16  6  4  4 B x C = { (1,1/2); (1,2); (1,3); (1,8); (1,10); (4,1/2); (4,2); (4,3); (4,8); (4,10); (6,1/2); (6,2); (6,3); (6,8); (6,10); (16,1/2); (16,2); (16,3); (16,8); (16,10) }  16 analizando los pares ordenados que verifican la condición z = y / 2 surge que g = { (1,1/2); (4,2); (6,3); (16,8) } entonces se define formalmente la función f de la siguiente manera: (y,z)  S  z = y/2 ; g  B x C

El dominio de la función f es el conjunto A (todos sus elementos “intervienen” en la función) Si f = { (x,y)  A x B / y = x2 } f A B  1  1 La imagen de la función f es un conjunto formado por todos los elementos del conjunto B que “intervienen” en la función  2  4  4  6  16 Dm f = { 1, 2, 4 } Im f = { 1, 4, 16 } El dominio de la función g es el conjunto B (todos sus elementos “intervienen” en la función ) g = { (y,z)  B x C / z = y/2 } C g B 1/2 La imagen de la función f es un conjunto formado por todos los elementos del segundo conjunto (B) que intervienen en la relación  1  2  4  3  10  6  8  16 Dm g = {1, 4, 6, 16 } Im f = { ½, 2, 3, 8 }

g  f es la composición de dos funciones g  f = g[f(x)] Sean f: A  B y g: B  C C g A f B B 1/2  1  1  1  2  2  4  4  3  10  6  4  6  16  8  16 Que se lee g cerito f ó f compuesta con g Se conforma con los elementos de A y de C De manera que (x,z)  g  f  (x,y)  f  (y,z)  g (1, 1)  f Y (1, ½ )  g entonces (1,1/2)  g  f (2,4)  f y (4,2)  g entonces (2,2)  g  f S  R = { (2,2); (4,8) } (4,16)  R y (16,8)  S entonces (4,8)  S  R Dm S  R = { 2, 4 } S C A R B Im S  R = { 2, 8 }  1  1  2  3  2  4  3  10  6  8  5  4  16

Es el mayor entero menor o igual que x Función suelo Es el mayor entero menor o igual que x Sea Es una función definida de Reales en enteros ( R  Z ) Ejemplos:

Es el menor entero mayor o igual que x Función techo Es el menor entero mayor o igual que x Sea Es una función definida de Reales en enteros ( R  Z ) Ejemplos:

x y x y 1 1 2 2 1,01 2 0,01 1 1,6 2 7 a) Para representar Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y Trazamos un par de ejes coordenados y confeccionamos una tabla de valores La función es NO INYECTIVA (diferentes valores del dominio tienen la misma imagen) x y x y 1 1 2 2 La función es SOBREYECTIVA (todo el conjunto Z es imagen de la función) 1,01 2 0,01 1 1,6 2 Y así sucesivamente… Para cualquier valor del intervalo (0,1], la función toma el valor y=1 Para cualquier valor del intervalo (1,2], la función toma el valor y=2

x y x y 2 2 1 1 1,99 1 0,99 2,99 2 7 b) Para representar Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y Trazamos un par de ejes coordenados y confeccionamos una tabla de valores La función es NO INYECTIVA (diferentes valores del dominio tienen la misma imagen) x y x y 2 2 La función es SOBREYECTIVA (todo el conjunto Z es imagen de la función) 1 1 1,99 1 0,99 2,99 2 Y así sucesivamente… Para cualquier valor del intervalo (0,1], la función toma el valor y=0 Para cualquier valor del intervalo [1,2), la función toma el valor y=1

7 c) Para representar Primero reconocemos que el dominio son todos los números reales x y Entonces cualquier valor de x debe tener un correspondiente en y Investigamos para que valores de x la función vale por ejemplo: 1; 2 y 0 1 2 2 La función es NO INYECTIVA (diferentes valores del dominio tienen la misma imagen) -2 0,1 2 -0,1 1 La función es SOBREYECTIVA (todo el conjunto Z es imagen de la función) -1,99 1 2,01 Siempre es conveniente analizar este tipo de funciones por intervalos desde los puntos de perturbación (donde cambia de valor)

Se necesitan 13 bytes para codificar 100 bits 8) Los datos almacenados en un disco rígido o trasmitidos en una red se expresan en cadenas de bytes. Cada byte consta de 8 bits. ¿Cuántos bytes se requieren para codificar 100 bits de datos? Cantidad de bytes = 12,5 = 13 Se necesitan 13 bytes para codificar 100 bits 9) En una determinada Red los datos se organizan en células de 53 bytes. ¿Cuántas células se pueden transmitir en un minuto si la velocidad de conexión es 500 Kbits por segundo? En 1 minuto se trasmiten: 500 Kbits/seg x 60 seg = 30.000 Kbits Veloc de conexión: 500 Kbits/seg 1 byte son 8 bits entonces 53 bytes son 424 bits (1 célula son 424 bits) 1 Kbit = 1.000 bits En 1 minuto se trasmiten: células

9) En una determinada Red los datos se organizan en células de 53 bytes. ¿Cuántas células se pueden transmitir en 10 segundos si la velocidad de conexión es 300Kbits por segundo? En 1 segundo pasan 300.000 bits en 10 segundos pasan 3.000.000 bits 1 byte son 8 bits entonces 53 bytes son 424 bits (1 célula son 424 bits) ¿Cuántas células se pueden transmitir en 10 segundos si la velocidad de conexión es 1 Mbit por segundo? En 1 segundo pasan 1.000.000 bits en 10 segundos pasan 10.000.000 bits 1 byte son 8 bits entonces 53 bytes son 424 bits (1 célula son 424 bits)

Almacenar una gran cantidad de datos es una tarea que puede resultar bastante “simple”, pero no así recuperarlos, ya que el programa tendrá que “recorrer” la lista completa buscando lo que se desea hasta encontrarlo. para dar solución a esta situación los datos se almacenan en “listas enlazadas” Para cada registro de datos se crea una clave, de n dígitos, y desde esa clave se pueden almacenar y recuperar los registros, según la clave propuesta. Ejemplo: Si tengo 1200 registros, para recuperar un dato, debo efectuar 1200 verificaciones (en el peor caso), pero si almaceno los datos en 2 listas, una de registros pares y otra de registro impares, la búsqueda se reduce a la mitad (600 registros) El problema será ahora identificar en cuál de las dos listas buscar…

h es la lista a la que se asigna el registro n 10) Debe almacenarse y procesarse 10000 registros de cuentas de clientes. La computadora de la compañía tiene capacidad de buscar aceptablemente listas de 100 elementos. Se decide crear 101 listas enlazadas para almacenamiento. ¿A qué lista sería asignado el registro con número de cuenta 2473871?. Se divide el número de cuenta por la cantidad de listas, y el resto de ese cociente nos dará a qué lista se asigna el registro h es la lista a la que se asigna el registro n h(n) = n ( mód 101 ) h(2.473.871) = 2.473.871 ( mód 101 ) Se resuelve buscando el resto de : entonces h(2.473.871) = 2.473.871 ( mód 101 ) = 78 que resulta ser: 78 Tenga presente que el dominio de h es el conjunto {0,1,2,3,…,100}

11) La función en este caso toma los tres primeros dígitos del número de cuenta como un número y los últimos cuatro como otro número y los suma, y luego aplica la función módulo 59. a) ¿cuántas listas se crean en este caso?. Si se aplica módulo 59, se crean 59 listas h= { 0, 1, 2, 3, …, 57, 58 } b) Determine en qué lista deben agregarse las cuentas de clientes N°: i) 3759273; ii) 7149021; iii) 5167249 Se busca el resto de: Para 3759273 se efectúa: 375 + 9273 = 9648 que resulta 31 Entonces: h(9648) = 9648 mod ( 59 ) = 31 Se busca el resto de: Para 7149021; se efectúa: 714 + 9021 = 9735 que resulta 0 Entonces: h(9735) = 9735 mod ( 59 ) = 0 Para 5167249; se efectúa: 516+7249 = 7765 Se busca el resto de: que resulta 36 Entonces: h(7765) = 7765 mod ( 59 ) = 36