Integración por fracciones parciales e integrales impropias

Logro de la Sesión Al finalizar las dos primeras horas de la sesión, el alumno integra funciones, haciendo uso de fracciones parciales.

1. Métodos de integración: Integración por fracciones parciales. Temario 1. Métodos de integración: Integración por fracciones parciales. 2. Integrales Impropias.

Reflexiona un momento ¿Cómo podríamos calcular la siguiente integral? ¿Se puede aplicar el método de sustitución? ¿Se puede aplicar el método de integración por partes? Requerimos un nuevo método…

Función Racional Observación Una función formada por el cociente de dos polinomios se llama función racional. Función racional propia. Función racional impropia. Si el grado de p(x) es menor que el grado de q(x) la función se llama propia, de lo contrario se llama impropia. Observación

Descomposición en fracciones parciales CASO 1: El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos No hay factores repetidos, además A1,A2,…,Ak son constantes Ejemplos:

Descomposición en fracciones parciales CASO 2: El denominador q(x) es un producto de factores lineales algunos de los cuales se repiten. Si q(x) tiene un factor lineal repetido de la forma (ax+b)k entonces la descomposición en fracciones parciales contiene k términos de la forma: Ejemplos:

Descomposición en fracciones parciales CASO 3: El denominador q(x) contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los cuales se repite. Si q(x) tiene un factor cuadrático no repetido de la forma ax2+bx+c donde b2–4ac < 0, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma: Ejemplos:

Descomposición en fracciones parciales Teorema: Toda función racional impropia se puede escribir como la suma de un polinomio y una fracción propia.

Observación Ejemplos: Para hallar integrales aplicando la técnica de descomposición en fracciones parciales es importante recordar algunas integrales básicas. Ejemplos:

Ejercicio Determine las siguientes integrales:

Time for a break 20 minutos

Logro de la Sesión Al finalizar las dos ultimas horas de la sesión el alumno resuelve integrales impropias.

Reflexiona un momento ¿Cómo resolver una integral definida con un límite de integración infinito?

Integrales Impropias: TIPO I   𝑎 𝑆𝑖 𝑎 𝑡 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Existe para todo número 𝑡≥𝑎, entonces 𝑎 ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑡→∞ 𝑎 𝑡 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Siempre que este límite exista (como número finito) 𝑏 𝑆𝑖 𝑡 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Existe para todo número 𝑡≤𝑏, entonces −∞ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑡→−∞ 𝑡 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Las integrales impropias 𝑎 ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 y −∞ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 se denominan convergentes si existe el limite correspondiente y divergentes si el limite no existe. 𝑐 𝑎 ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 y −∞ 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 son convergentes, entonces definimos −∞ ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −∞ 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑎 ∞ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Ejemplos: Evalúe las siguientes integrales y determine la convergencia o divergencia.

Integrales Impropias: TIPO II Si f es continua en 𝑎;𝑏 y es discontinua en b, entonces 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑡→ 𝑏 − 𝑎 𝑡 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Si este límite existe (como número finito). Si f es continua en 𝑎;𝑏 y es discontinua en a, entonces 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim 𝑡→ 𝑎 + 𝑡 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥   La integral impropia 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 se denomina convergente si existe el límite correspondiente y divergente si el límite no existe. Si f tiene una discontinuidad en c, donde 𝑎<𝑐<𝑏, y por tanto 𝑎 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 como 𝑐 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 son convergentes, entonces definimos 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑐 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Ejemplos: Evalúe las siguientes integrales y determine la convergencia o divergencia.

Conclusiones Descomposición en fracciones parciales En esta sesión revisamos los siguientes temas Descomposición en fracciones parciales Integrales impropias

Bibliografía Cálculo de una variable Conceptos y Contextos Cuarta edición James Stewart

Continúa con las actividades propuestas en la guía del estudiante. Material producido por la Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Autor: Jairo Esquivel COPYRIGHT ©UPC 2016 - Todos los derechos reservados.