Sucesiones Autor: Grupo Océano Colaborador: Prof Sucesiones Autor: Grupo Océano Colaborador: Prof. Lourdes Barreno Huffman Portal Educa Panamá.

Nociones Básicas

Concepto de sucesión Una sucesión es un conjunto ordenado de números que presenta una regularidad. Conocida la relación existente entre ellos, es posible calcular el siguiente número de sucesión. Un ejemplo de sucesión es 1, 3, 5, 7,… tal como se puede observar, los términos están relacionados de la forma que cada uno se obtiene al sumar dos unidades al anterior, por lo que siempre es posible calcular el siguiente número de la serie: 1--------- 3 -------- 5 -------- 7 +2 +2 + 2

Nociones Básicas Para obtener el siguiente número se calcula 7 + 2 = 9. De este modo, con sucesivas sumas de dos, se podrán añadir infinitos números a esta sucesión. Las sucesiones se representan mediante una letra, normalmente la a, seguida de la letra n en el subíndice, del siguiente modo: an = 1, 3, 5, 7,..

Sucesiones En una sucesión, cada término ocupa una posición concreta. En la sucesión 1, 3, 5, 7,…el número 3 ocupa la segunda posición, lo que se expresa como: a2 = 3. En la cuarta posición se encuentra el número 7, y se representa mediante la expresión a4 = 7. Los tipos de sucesiones más frecuentes en matemáticas son las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas.

Progresiones Aritméticas Las progresiones aritméticas son un tipo de sucesiones que se caracterizan porque la diferencia entre dos de sus números consecutivos es siempre la misma. Esta cantidad constante se conoce como diferencia o razón y se representa mediante la letra d.

Ejemplos En la sucesión 1, 3, 5, 7,… Por ejemplo, al restar dos términos consecutivos, se obtiene siempre el mismo resultado: 3 – 1 = 2 5 – 3 = 2 7 – 5 = 2 El número dos es por lo tanto, la diferencia de esta progresión aritmética.

Término General En una progresión aritmética se cumple, por definición, que cualquiera de sus términos se obtiene al sumar la diferencia al término anterior.

Término General El término an que ocupa el lugar n, será siempre igual al anterior más la diferencia d, es decir, an= an-1 + d, para todos los valores de n, salvo el inicial (a1), que no tiene un término anterior. En consecuencia se tendrá: a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + d+ d = a1 + 2d a4 = a3+ d = a1 + 2d + d = a1 + 3d Si se generaliza , se obtiene que para cualquier n: an = a1 + (n-1) . d

Primer término de la sucesión an = a1 + (n-1) . d Término General Primer término de la sucesión Diferencia

Término General Esta expresión ( diapositiva anterior) se conoce con el nombre de término general. Para hallar el término general de una progresión aritmética, es suficiente saber cuál es el primer término de la serie y cuál la diferencia. Para averiguar, por ejemplo, el término general de la progresión aritmética 7, 11, 15, 19… es necesario calcular en primer lugar, la diferencia.

Calcular la Diferencia Para ello, se restan dos números consecutivos de la progresión: 11- 7 = 4 La diferencia es d = 4. El primer término, a, es igual a 7. El término general de una progresión aritmética será, por tanto: an = 7 + (n-1) . 4 Se elimina el paréntesis y se obtiene: an = 7 + 4n - 4

Simplificar Se simplifica la expresión anterior: an = 4n + 3 Si se quiere hallar el valor que ocupa la progresión en la posición 19, se sustituye en el término general la letra n por el número 19. En el caso del ejemplo propuesto sería: a19 = 4 . 19 +3 = 79

Propiedad Fundamental En una progresión aritmética de n términos , las sumas de los pares de términos equidistantes de los extremos, a1+ an, a2 +an -1, a3 + an-2…

Propiedad Fundamental Tienen siempre el mismo valor. Se puede comprobar que esta propiedad se cumple en la siguiente progresión:

Progresiones Aritméticas Cuando la progresión aritmética consta de un número impar de términos, la propiedad fundamental se cumple al sumar el término central consigo mismo. En general, dados los n primeros términos de una progresión aritmética, a1, a2 , a3…..

Progresiones Aritméticas Se cumple siempre que: a1+ an, a2 +an -1, a3 + an-2… = ak + an-k+1 Si se tienen en cuenta que: a1+ an = a1 + a1 + (n-1) . d Se deduce que todas las desigualdades anteriores son a su vez, equivalentes a: 2a1 + (n – 1).d

Progresiones Aritméticas En la progresión 3, 7, 11, 15, 19, 23… del ejemplo anterior se comprueba que para el primer caso, 26 = 2 . 3 + (6 -1) . 4

Suma de Términos Se trata de hallar una fórmula para calcular el valor Sn = de la suma de los términos de una progresión aritmética, hasta un término an dado: Sn= a1+ a2 + a3 + …an-1 + an

Suma de Términos Para deducirla, se utiliza la propiedad fundamental, antes expuesta. El desarrollo de Sn también se puede escribir con los términos en orden inverso, de la siguiente manera: sn = an + an-1 +… a3 + a2 + a1 Si se suman ambas expresiones , se tiene: sn + sn = ( a1+ an ) + (a2 + an-1 ) +…. + (an-1 + a2 ) + ( an + a1 )

Suma de términos Por la propiedad fundamental, se sabe que los valores de cada uno de los n paréntesis son el mismo, por lo cual se deduce que: 2sn = n . ( a1 + an ) y al despejar sn. SN = ( a1 + an ) . n 2

Suma de Términos s19 = ( a1 + a19 ) . 19 2 Para calcular, por ejemplo la suma de los 19 primeros términos de la progresión aritmética 7,11, 15, 19 … se puede aplicar esta fórmula: s19 = ( a1 + a19 ) . 19 2

Suma de términos a1= 7 Si se tiene en cuenta que : a19= 79 Tal como ya ha sido calculado en un ejemplo anterior, se obtiene: s19 = ( 7 + 79 ) . 19 = 817 2

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