Trigonometría. 4º ESO Trigonometría

¿Qué es la Trigonometría? La Trigonometría es la rama de las Matemáticas que estudia todo lo relacionado con la medida de los lados y los ángulos de los triángulos. El origen de la palabra “trigonometría” proviene del griego, su significado etimológico es “la medición de los triángulos” y deriva de los términos griegos τριγωνο trigōno “triángulo” y μετρον metron “medida”.

Aplicaciones de la Trigonometría Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.

Astronomía Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol, predicción de eclipses, confección de calendarios.

Cartografía Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y algunos ángulos.

Arquitectura Cómo construir un edificio para que cumpla ciertas exigencias de orientación. En qué dirección se excava un túnel para que salga, al otro lado de la montaña, en el lugar deseado.

Cálculo de distancias y alturas inaccesibles

Medidas de ángulos 1. SISTEMA SEXAGESIMAL: GRADOS  

2. SISTEMA NATURAL: RADIANES Un RADIÁN es un ángulo plano que teniendo como vértice el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual al radio. 1 rad arco de long r 360º arco de long 2πr 360º = 2π rad 1 rad r            

Triángulos rectángulos Para nombrar los elementos de un triángulo: Vértices  letras mayúsculas Lados  letra del vértice opuesto, en minúscula Ángulos  letra asignada a su vértice con un “^” sobre ella, o bien, una letra griega   “alfa”   “beta”   “gamma”   “delta”   “theta”   “mi”

Características de los triángulos rectángulos Presentan un ángulo recto: 𝐶 = 90 𝑜 Consecuencia: Sus otros dos ángulos son agudos. Se verifica el teorema de Pitágoras:

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Sea  un ángulo agudo contenido en un triángulo rectángulo. Se llaman razones trigonométricas de  las siguientes relaciones definidas sobre ese triángulo: Razones básicas Razones recíprocas

¿Cómo se leen las razones trigonométricas? sen   “seno de ” cosec   “cosecante de ” cos   “coseno de ” sec   “secante de ” tg   “tangente de ” cotg   “cotangente de ” Observación:

Criterios de semejanza de triángulos Recuerda: Dos triángulos son semejantes si sus lados son proporcionales y sus ángulos iguales. Criterios de semejanza de triángulos 1er criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales. 2ºcriterio: Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos son iguales. 3er criterio: Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales.

Seno Coseno Tangente Observación: Consecuencia del 2º criterio de semejanza: Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual son semejantes. Observación: El valor de las razones trigonométricas de un ángulo  no depende del triángulo rectángulo que lo contenga. Seno Coseno Tangente

Relaciones trigonométricas Relaciones fundamentales Las razones trigonométricas de cualquier ángulo agudo  verifican las siguientes relaciones: Relaciones fundamentales Otras relaciones   Observación:

  Demostración de las relaciones trigonométricas fundamentales teorema de Pitágoras 

Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º Consideremos un triángulo equilátero. Al trazar la altura sobre uno de sus lados, obtenemos dos triángulos rectángulos iguales, cuyos ángulos agudos miden 30º y 60º. Veamos cuánto vale la altura en función del lado según el teorema de Pitágoras:

Razones trigonométricas de 45º Por lo tanto, las razones trigonométricas de 30º y 60º son: Razones trigonométricas de 45º Dibujemos un triángulo rectángulo isósceles en el que, evidentemente, sus ángulos agudos miden ambos 45º. Utilizando el teorema de Pitágoras se deduce que:

Resumiendo: Entonces, las razones trigonométricas de 45º son: 30º 45º 60º sen cos tg cosec sec cotg

Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo consiste en calcular uno o más elementos desconocidos (lados o ángulos) a partir de otros ya conocidos. Conocidos dos lados El tercer lado se obtiene mediante el teorema de Pitágoras. Cada uno de los ángulos agudos se halla a partir de la razón trigonométrica que lo relaciona con los lados conocidos. Conocidos un lado y un ángulo Otro lado se halla mediante la razón trigonométrica que lo relaciona con el lado y el ángulo conocidos. El tercer lado se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras, o bien, utilizando otra razón trigonométrica. El otro ángulo agudo es el complementario del que conocemos.

EJEMPLOS (1) Si se conocen la hipotenusa y un cateto (2) Si se conocen los dos catetos:

(3) Si se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo: (4) Si se conocen un cateto y un ángulo agudo:

Resolución de triángulos oblicuángulos Cualquier triángulo no rectángulo puede ser resuelto también mediante la estrategia de la altura. Esta consiste en elegir adecuadamente una de las alturas del triángulo de modo que, al trazarla, se obtengan dos triángulos rectángulos que se pueden resolver por separado o conjuntamente.

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera entre 0º y 360º Se llama circunferencia goniométrica a la circunferencia de radio 1 con centro en el origen de coordenadas de un sistema de ejes cartesianos. 1 -1 1 O X Para representar un ángulo sobre esta circunferencia situamos su vértice en el origen de coordenadas y hacemos coincidir uno de sus lados con el semieje -1 positivo de abscisas, midiendo desde aquí el ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj (sentido positivo) y dibujando el otro lado donde corresponda.

Por lo tanto, cualquier ángulo agudo  puede ser identificado con un punto de la circunferencia goniométrica, quedando así determinado por las coordenadas cartesianas (abscisa y ordenada) del mismo, las cuales coinciden con su coseno y su seno, respectivamente. Observación: Esta nueva definición de seno y coseno es equivalente a la dada sobre triángulos rectángulos. ordenada del punto A abscisa del punto A

Por extensión, definimos el seno y el coseno de cualquier ángulo como la ordenada y la abscisa, respectivamente, del punto en el que el segundo de sus lados corta a la circunferencia goniométrica. Observaciones: Para todo ángulo , no necesariamente agudo, se verifica:

También podemos definir la tangente de cualquier ángulo (agudo u obtuso) utilizando la circunferencia goniométrica. Situamos el ángulo sobre la circunferencia goniométrica. Trazamos la recta tangente a la circunferencia en el punto U (1,0). El segundo lado del ángulo, o su prolongación, corta a la tangente en un punto T. La tangente del ángulo considerado es igual a la medida del segmento UT. Observación: Como consecuencia de la semejanza de triángulos, para todo ángulo :

Signo de las razones trigonométricas Teniendo en cuenta las definiciones anteriores y el signo que presentan las coordenadas cartesianas de un punto en los diferentes cuadrantes, podemos saber también cuál va a ser el signo del seno, coseno y tangente de un ángulo sin necesidad de calcular el valor exacto de dichas razones trigonométricas.

Razones trigonométricas de 0º, 90º, 180º, 270º y 360º Gracias a la circunferencia goniométrica, resulta muy sencillo determinar el valor de las razones trigonométricas de aquellos ángulos cuyos lados coinciden con los ejes de coordenadas. 0º 90º 180º 270º 360º sen cos tg No existe No existe

Relaciones entre las razones trigonométricas de ciertos ángulos Además de las relaciones que afectan a las razones trigonométricas de un mismo ángulo, existen otras que ligan las razones trigonométricas de ciertas parejas especiales de ángulos. Ángulos complementarios

Ángulos que se diferencian en 90º Ángulos suplementarios

Ángulos que se diferencian en 180º Ángulos opuestos

Ángulos que suman 360º Ángulos que se diferencian en 360º

Reducción de ángulos al 1er cuadrante Si  es un ángulo del 2º cuadrante lo relacionamos con su suplementario  perteneciente al 1er cuadrante . Si  es un ángulo del 3er cuadrante buscamos el ángulo  del 1er cuadrante 180º menor que  . Si  es un ángulo del 4º cuadrante calculamos el ángulo  que sume 360º con  .

Observación: Si  es un ángulo mayor que 360º, en primer lugar debemos restarle un número entero de vueltas hasta obtener un ángulo comprendido entre 0º y 360º, lo cual equivale a realizar la división entera  : 360º y quedarse con el resto de la misma. A continuación, el ángulo así calculado será reducido al primer cuadrante empleando uno de los métodos anteriormente explicados.