Teoría de Probabilidad

Clasificación de Probabilidad Tipo Concepto Fórmula Ejemplo Clásica Considera el número de elementos igualmente posibles. 𝑃 𝐴 = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) Se tiene un grupo de 40 psicólogos y 20 psiquiatras, si se elige uno al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que éste sea psicólogo? P=psicólogo Q= psiquiatra 𝑃 𝑝 = 40 60 = 4 6 =𝟎.𝟔𝟔𝟔 Frecuencial Considera un experimento que se realiza n veces bajo las mismas condiciones. 𝑃 𝐴 = 𝑛(𝐴) 𝑆 De una urna grande, se han sacado 100 pelotas. Se observó que 70 son blancas y 30 son azules. Si se saca una mas, ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca? B=blanca A=azul 𝑃 𝐴 = 70 100 = 7 10 =𝟎.𝟕 Subjetiva Es el grado de certidumbre que tiene una persona, o grupo de personas, acerca de un evento que suceda. Está nublado, hay un 70% de posibilidades de que llueva. n(A) = eventos favorables de A n(S)= eventos totales S= número de repeticiones / total de datos

Definiciones Básicas Experimento: Es todo aquel acto o acción que se realiza con el fin de observar resultados y cuantificarlos. Determinístico Probabilístico Se conoce con certeza el resultado. Se conocen los posibles resultados, pero no se puede predecir con certeza el Resultado. Experimentos

Cada uno de los elementos del espacio Al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento, se le conoce como Espacio de Eventos, se denota por la letra S. A cada posible resultado le llamamos elemento. Al experimento de lanzar un dado y observar la cara que queda en la parte superior se le define como sigue: Espacio de Eventos 𝑆={1, 2, 3, 4, 5, 6} Para definir un conjunto se escribe el nombre (con mayúsculas), seguido de un igual, y entre llaves, todos los elementos que contiene. Cada uno de los elementos del espacio

Ejemplo: Arrojar dos dados y observar la suma de sus caras superiores. Para visualizarlo mejor, hacemos la tabla que muestre cada uno de los resultados. Dado 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 = 𝟏 𝟑𝟔 = 𝟐 𝟑𝟔 = 𝟑 𝟑𝟔 = 𝟒 𝟑𝟔 = 𝟓 𝟑𝟔 = 𝟔 𝟑𝟔 = 𝟐 𝟑𝟔 = 𝟑 𝟑𝟔 = 𝟒 𝟑𝟔 = 𝟓 𝟑𝟔 = 𝟔 𝟑𝟔 = 𝟓 𝟑𝟔 = 𝟑 𝟑𝟔 = 𝟒 𝟑𝟔 = 𝟓 𝟑𝟔 = 𝟔 𝟑𝟔 = 𝟓 𝟑𝟔 = 𝟒 𝟑𝟔 Dado 1 = 𝟒 𝟑𝟔 = 𝟓 𝟑𝟔 = 𝟔 𝟑𝟔 = 𝟓 𝟑𝟔 = 𝟒 𝟑𝟔 = 𝟑 𝟑𝟔 = 𝟓 𝟑𝟔 = 𝟔 𝟑𝟔 = 𝟓 𝟑𝟔 = 𝟒 𝟑𝟔 = 𝟑 𝟑𝟔 = 𝟐 𝟑𝟔 = 𝟔 𝟑𝟔 = 𝟓 𝟑𝟔 = 𝟒 𝟑𝟔 = 𝟑 𝟑𝟔 = 𝟐 𝟑𝟔 = 𝟏 𝟑𝟔

i P(X=i) 2 1 36 3 2 36 4 3 36 5 4 36 6 5 36 7 6 36 8 9 10 11 12 Una distribución de probabilidades es muy parecida a una distribución de frecuencias, con la diferencia de que la distribución de frecuencias nos indica el resultado de mediciones ya tomadas, y la distribución de probabilidades indica las posibilidades futuras de que algo suceda. Al igual que grupos de datos recopilados, en la distribución de probabilidad podemos obtener media y varianza. La media en una distribución de probabilidad se llama Esperanza Matemáticas o valor esperado, y cumple la misma función que la media o promedio de un grupo de datos.

La formula para calcular la Esperanza Matemática es la siguiente: 𝐸 𝑥 = 𝑖 𝑛 𝑖∙𝑃(𝑥=𝑖) Donde: 𝐸 𝑥 es la esperanza o valor esperado (media) 𝑖 es el elemento del espacio de eventos que estamos utilizando (la primer columna) P(x=i) es la función de probabilidad. La probabilidad de que nuestro evento obtenga el dato 𝑖 al momento de realizarlo (segunda columna).

La tercer columna realiza la operación dentro de la sumatoria 𝒊 𝑷(𝒙=𝒊) 𝒊∙𝑷(𝒙=𝒊) 2 1 36 2 36 3 6 36 4 3 36 12 36 5 4 36 20 36 6 5 36 30 36 7 42 36 8 40 36 9 36 36 10 11 22 36 12 La tercer columna realiza la operación dentro de la sumatoria 𝐸 𝑥 = 𝑖 𝑛 𝒊∙𝑷(𝒙=𝒊) Y solo falta sumar cada uno de los términos de esta tercer Columna, dicho resultado, será la Esperanza Matemática. 𝐸 𝑥 = 2 36 + 6 36 + 12 36 + 20 36 + 30 36 + 42 36 + 40 36 + 36 36 + 30 36 + 22 36 + 12 36 = 252 36 =7

La fórmula para la varianza es la siguiente: 𝜎 2 = 𝑥−𝐸 𝑥 2 𝑃(𝑥=𝑖)

𝒊 𝑷(𝒙=𝒊) 𝒙−𝑬[𝒙] 𝒙−𝑬 𝒙 𝟐 𝒙−𝑬 𝒙 𝟐 𝑷(𝒙=𝒊) 2 1∕36 -5 25 25/36 3 2∕36 -4 16 32/36 4 3∕36 -3 9 27/36 5 4∕36 -2 16/36 6 5∕36 -1 1 5/36 7 6∕36 8 10 11 12 Para la varianza, agregamos dos columnas a la tabla, al final se suman. 𝝈 𝟐 = 𝟐𝟏𝟎 𝟑𝟔 =𝟓.𝟖𝟑 Teniendo la varianza podemos encontrar la Desviación Estándar, ésta se calcula con la raíz cuadrada de la varianza. 𝝈= 𝝈 𝟐 = 𝟓.𝟖𝟑 =𝟐.𝟒𝟏 210/36