DISEÑO EN CUADRADO LATINO Y GRECOLATINO Es un diseño en el cual cada tratamiento se repite tantas veces como tratamientos haya. La disposición teórica del material experimental es la de un cuadrado dividido en tantos cuadrados como tratamientos, en el caso de que el numero de tratamientos sea 5, el diseño en cuadrado latino esta compuesto por 5*5 cuadrados. Los tratamientos se aplican de tal forma que cada uno de ellos aparecen una sola vez en cada fila y cada columna.

un cuadrado latino reducido (o cuadrado latino típico) es aquel en la que la primera fila y la primera columna están arreglados en orden alfabético A B C D B C D A C D A B D A B C

El modelo i = 1, 2, 3 . . . . . . . ., t j = 1, 2, 3 . . . . . . . ., t k = 1, 2, 3 . . . . . . . ., t

DESCOMPOSICION DE LA SUMA DE CUADRADOS SCT : Suma total de cuadrados Myy : Suma de cuadrados debido a la media Ryy : suma de cuadrados por fila

Cyy : suma de cuadrados por columna Tyy:suma de cuadrados de tratamientos Eyy : suma de cuadrados del error experimental

CUADRO No. 3.1.1 : ANALISIS DE VARIANZA

Ejemplo Consideremos el problema de probar 4 maquinas con el objeto de ver si difieren significativamente su capacidad de producción de una cierta pieza manufacturada. Es perfectamente conocido que diferentes trabajadores y diferentes periodos de tiempo en un día de trabajo tendrán un efecto sobre la producción . Entonces elegimos a 4 operadores como "columnas" y a cuatro periodos "filas" y así asignamos al azar la maquina correspondiente a cada una de las celdas del cuadrado, respetando la restricción de cada maquina sea usada por un solo operador en cada periodo de tiempo.

CUADRO DE DATOS PeriodO de tiempo Operadores 1 2 3 4 1 . . . . 36 ( B ) 2 . . . . 39 ( D ) 96 ( A ) 40 ( B ) 48 ( C ) 3 . . . . 57 ( B ) 33 ( C ) 40 ( D ) 84 ( A ) 4 . . . . 85 ( A ) 46 ( B ) 50 ( D )

CALCULO DE LA SUMA DE CUADRADOS SCT = 50375 Myy = 44415.5625 Ryy = 44823.7505 – 44415.5625 = 408.188 Cyy = 44504.2505 – 44415.5625 = 88.688 Tyy = 4962.2505 – 44415.5625 = 4946.688 Eyy = 50375 - Myy – Ryy - Cyy - Tyy = 515.98

CUADRO No. 3.1.3 : ANALISIS DE VARIANZA Fuente de variac. G.L. Sum. Cuad Cuad. Med. F Periodo de tiempo 3 408.188 136.06 1.58 Operadores 88.688 29.56 0.337 Maquinas 4946.688 1648.90** 19.178 Error 6 515.874 85.980

El valor de F para la producción de las maquinas es 19 El valor de F para la producción de las maquinas es 19.178 con 3 y 6 grados de libertad; es mucho mayor que el valor tabular del 1% de 9.70. Entonces se dice que hay diferencia altamente significativa, entre la producción de las máquinas; en cambio con respecto a los operadores y periodo de tiempo no existe diferencia significativa.

EXPERIMENTOS FACTORIALES Un problema muy común en la investigación consiste en determinar uno o mas factores sobre el rendimiento o calidad de un producto, la performancia de una maquina o un instrumento de medición, la resistencia de un material al ataque químico, el consumo de combustible o energía de un proceso, etc. Los diseños factoriales permiten obtener el máximo de información, con el numero mínimo de experiencias permitiendo su aplicación en todos los campos de investigación.

NIVELES DE UN FACTOR Los distintos valore asignados a un factor en nuestro experimento son conocidos como niveles. COMBINACIÓN EXPERIMENTAL El conjunto de todos los factores empleados en una experiencia determinada se denomina combinación experimental

RESPUESTAS El resultado numérico de una experiencia se denomina respuesta. La respuesta puede expresarse en una unidad conveniente a nuestra investigación EFECTO DE UN FACTOR El efecto de un factor es la variación en la respuesta producida por un cambio en el nivel del factor. cuando se examina un factor en dos niveles solamente, el efecto es simplemente la diferencia entre el promedio de las respuestas de .todas las experiencias en el nivel superior menos el promedio en el nivel inferior

DISEÑO FACTORIAL 2n En este diseño se estudian los efectos de todas las combinaciones de n variables, tomando cada una de ellas en dos niveles distintos y donde 2n=N indica el numero de experiencias que deben hacerse para distintos valores de las n variables. Si cada variable es continua, los dos niveles son el superior y el inferior. Si una variable es cualitativa, los dos niveles corresponden a los tipos usados o bien a la presencia o ausencia de la variable.

Usaremos la notación siguiente: Consideremos el diseño factorial 22 En el que hay observaciones experimentales por combinación de tratamiento. Usaremos la notación siguiente: (1), a,b y ab como los resultados totales para las cuatro combinaciones de tratamientos Se puede estimar el efecto de aumentar el factor A del nivel a1 al nivel a2 en cada uno de los niveles de B.

EXPERIMENTO FACTORIAL 22

Se puede definir los siguientes contrastes entre los totales de los tratamientos. Se ve que el contraste WA es la diferencia entre las respuestas medias del nivel bajo y alto del factor A.

DONDE: WA : se llama el efecto principal de A WB : se llama el efecto principal de B, WAB : es el efecto de interacción de AB

OBTENCIÓN DE LA SUMA DE CUADRADOS

C = factor de corrección SIGNOS PARA LOS CONTRASTES EXP. FACT. 22 EFECTO FACTORIAL COMBINACIÓN DE TRATAMIENTOS A B AB (1) - + a b ab

ANÁLISIS DE VARIANZA PARA EL EXPERIMENTO CON DOS FACTORES Y R REPETICIONES (REPLICAS)

EJEMPLO Supongamos que se desea determinar los efectos de la temperatura de la caldera y del ancho del horno sobre el tiempo requerido para producir coque (en horas)dados en el siguiente cuadro. Ancho de Horno Temperatura de la caldera Rep. 1 Rep. 2 Rep. 3 Total 4 1600 3.5 3.0 2.7 9.2 1900 2.2 2.3 2.4 6.9 8 7.1 7.5 21.5 5.2 4.6 6.8 16.5 TOTAL 18.0 16.8 19.4 54.2

SOLUCION Planteamiento de las hipótesis: Efectuar un análisis de varianza basado en este experimento con dos factores para probar la significancia de los efectos factoriales, empleando un nivel de significación de 0.01. SOLUCION Planteamiento de las hipótesis: Ho : i=0; Ho : j=0; Ho : ()ij=0 i, j=1, 2 H1 : i0; H1: j0; H1: ()ij  0 i,j=1,2 Nivel de significación =0.01 para todas las pruebas

suma total de cuadrados esta dado por: Calculamos : En primer lugar calculamos el termino de corrección C = (54.02)²/12 = 244.803 suma total de cuadrados esta dado por: La subdivisión de la suma de cuadrados de los tratamientos para los efectos de A y B, y para la interacción, puede facilitarse construyendo la siguiente tabla en dos dimensiones, donde las entradas de la tabla son los totales de columnas

FACTOR A TOTAL FACTOR B TEMP. 1600 OC TEMP. 1900 OC A. HORNO 4 9.2 ( 1) 6.9 b 16.1 A. HORNO 8 21.5 a 16.6 ab 38.1 30.7 23.5 54.2

CUADRO DE ANÁLISIS DE VARIANZA Fuente de variacC. Grados de lib. Suma de cuadrad. Cuadrado medio F Factor A 1 4.32 10.94 B 40.33 102.10 Interacción AB 0.56 1.42 Error 4 3.16 0.395

Decisiones : Para el efecto principal del factor A, dado que F=10 Decisiones : Para el efecto principal del factor A, dado que F=10.94 no sobrepasa a 11.26 no podemos rechazar la hipótesis nula Ho. En el caso del factor principal B F=102.10 sobrepasa a 11.26 por lo tanto Ho. Se rechaza, si se trata del efecto de interacción F=1.42. No excede a 11.26 por lo tanto la hipótesis nula se acepta.