DECISIONES BAJO CONDICIONES DE RIESGO. JUAN ANTONIO DEL VALLE F.

3.1 Criterios de decisión. Para este tipo de toma de decisiones existen varios criterios, sin embargo, el criterio universalmente reconocido es maximizar el valor esperado, siendo un criterio auxiliar minimizar la Varianza. Existen otros criterios que se consideran especiales, por ser aplicables a necesidades de toma de decisión muy particulares: Principio del más probable futuro. Principio del nivel esperado.

3.1.1 Maximización o minimización del valor esperado y varianza. Este es el criterio que se utiliza en el tratamiento formal de los problemas de decisión bajo riesgo; el valor esperado debe entenderse como un criterio de toma de decisión. Sea X una variable aleatoria discreta definida para un número finito de valores y P(x) la probabilidad de ocurrencia de un valor particular, entonces el valor esperado se define como:                          E(X) = S xi P(xi)

Criterio auxiliar: mínima Varianza En el caso de empate entre los valores esperados de dos o más alternativas, la Varianza mínima deberá ser un criterio de decisión secundario; el argumento para este criterio de decisión es que a mayor varianza mayor riesgo:

Varianza de una variable V(x) = (x1 - E(x))2 P(x1) + (x2 - E(x))2 P(x2) + ........ (xn–E(x))2P(xn) V(x) = (x1 -E(x))2 P(x1) + (x2 -E(x))2 P(x2) + ........ (xn–E(x))2 P(xn) V(x)=Σni (xi-E(x))2 P(xi)

Ejemplo 3.1.1 P(E1)=0.1 P(E2)=0.3 P(E3)=0.6 A1 15163 11962 9742 A2 16536 16934  7049 A3 18397 10840 5679

Ejemplo 3.1.1   E(A1) = 15163(0.10) + 11962(0.30) + 9742(0.60) = 10950.10 E(A2) = 16536(0.10) + 10934(0.30) + 7049(0.60) = 10963.2 E(A3) = 18397(0.10) + 10840(0.30) + 5679(0.60) = 8499.10 Teniendo la alternativa A2 un valor esperado mayor, sería la alternativa a seleccionar, si los valores de la matriz fueran ingresos o ganancias.

Cálculo de la Varianza ALTERNATIVA 1 la de menor riesgo

3.1.2 Principio del más probable futuro. En una decisión bajo riesgo, un estado de la naturaleza puede tener una probabilidad de ocurrencia considerablemente mayor a los otros estados, por lo cual se puede estimar conveniente eliminar a todos los demás estados de la naturaleza y considerar el problema como determinístico, bajo certeza.

En la aplicación de este principio, habrá que tener cuidado cuando el valor de un resultado correspondiente a un estado de la naturaleza despreciable por su probabilidad, es tan significativo que su probable ocurrencia puede representar una grave pérdida. Así en el ejemplo pasado 3.1.1, E3 tiene una probabilidad de 0.60 y es por lo tanto es el estado mas probable. Este criterio reduciría el problema bajo riesgo a uno bajo certeza. Donde la matriz sería: Tener cuidado en ciertos problemas que tienen valores de la matriz significativamente diferentes, donde no obstante la baja probabilidad de su ocurrencia, implican una muy alta pérdida.  P(E3)=1 A1 19742 A2 7049 A3 5679

3.1.3 Principio del nivel esperado. En la mayoría de las decisiones del mundo real, los tomadores de decisiones fijan sus metas en términos de resultados que sean suficientemente buenos. En este sentido los decisores fijan niveles de aspiración y posteriormente evalúan sus alternativas contra estos niveles. Una interpretación de esta filosofía en términos de una decisión bajo riesgo es seleccionar una alternativa que maximice la probabilidad de alcanzar al menos el nivel de aspiración fijado.

En el caso del ejemplo 3.1.1, un objetivo podría ser elegir la alternativa que maximice la probabilidad de que el valor del resultado, en este caso la utilidad, sea igual o mayor que 8,000. Para A1 P(utilidad >=8000) = P(E1) + P(E2) + P(E3) = 0.1+0.30 + 0.60 =1 Para A2 P(utilidad >= 8000) = P(E1) + P(E2) = 0.10 + 0.30 = 0.40 Para A3 P(utilidad >= 8000) = P(E1) + P(E2) = 0.10 + 0.30 = 0.40 De acuerdo a este principio se elige la alternativa A1, por ser la que, con mayor probabilidad, asegura alcanzar al menos una utilidad de 8000.

PROBLEMA 1 PROPUESTO Una empresa armadora de autobuses planea desarrollar y operar un sistema público de autobuses para una ciudad. El propósito de la empresa es demostrar la rentabilidad del sistema de autobuses y entonces vender el sistema al gobierno. El mayor problema que podría tener la empresa es que se autorizara la operación de un sistema de autobuses paralelo a la competencia; es razonable pensar que existe una pequeña posibilidad de que esto pudiera pasar, asignándose una probabilidad de 0.20 a este evento. Un análisis detallado de la armadora lleva a considerar un requerimiento de 500 vehículos en el caso de que no hubiera competencia y de solo 250 vehículos si la competencia se presentara. Además, es razonable pensar, que ya sea que el sistema opere  500 o 250 vehículos, no influirá en la probabilidad de que el gobierno autorice o no la competencia.

Si la armadora inicialmente operara al sistema con 500 vehículos no existiera competencia, se estima que el sistema alcanzará una utilidad de 2500 millones de pesos. Si se presentara la competencia se tendría una perdida de 1200 millones de pesos. Si el sistema operara 250 vehículos y se presentara la competencia, el sistema se vendería tan pronto como sea posible, estimándose una utilidad de 250 millones de pesos en este caso. Por otra parte, si no hubiera nunca la competencia, el sistema de 250 vehículos resultaría inadecuado, se daría un pobre servicio y el efecto de su operación sería negativo afectando el precio de venta del sistema.

Así en el caso de no existir competencia, la empresa armadora piensa que otra decisión podría tomarse, en el sentido de ampliar el sistema de 250 a 500 vehículos. Si no hay expansión, el fabricante vendería tan pronto fuera posible para evitarse mala publicidad por el pobre servicio esperado, estimando una utilidad de 350 millones en este caso. Por otra parte, si el sistema es expandido antes de venderse el sistema, dos situaciones pueden presentarse: -Exhibir un pobre servicio durante la expansión y una perdida neta de 1000 millones de pesos (una probabilidad de 0.10 es asignada subjetivamente a este evento). -Ningún efecto negativo durante la expansión, siendo en este caso la  utilidad neta esperada de 1800 millones de pesos. Desarrollar un modelo de árbol de decisión y resolverlo por el criterio de la esperanza matemática.

PROBLEMA 2 PROPUESTO Un ingeniero constructor para ejecutar unos trabajos de terracerías analiza las alternativas de rentar, comprar o utilizar su mismo equipo para cumplir con un cierto contrato que ya obtuvo. El ingeniero mantiene la expectativa de que exista una ampliación del contrato al doble o al menos de un 50%, eventos que se estiman sucedan con probabilidades de 0.35 y 0.40, siendo la probabilidad de que no se extiendan los trabajos de 0.25. Con el contrato actual, el ingeniero estima una utilidad de 500, -1300 y 1000 millones de pesos en forma correspondiente con cada una de las alternativas mencionadas, rentar, comprar o reutilizar. Si se ampliaran los trabajos al doble, las expectativas de utilidad serían 1000, 2000 y -1500 millones de pesos y si solo se contratara un 50% mas entonces estos valores serían 750, 1000 y -900 millones de pesos