Modulo 4. Pruebas de Hipótesis para una población Facultad de Ciencias Sociales Departamento de Sociología Estadística II Modulo 4. Pruebas de Hipótesis para una población Parte II Catalina Canals Cifuentes 4/04/2016

Contenidos INTRODUCCIÓN PARTE III PARTE II PARTE I Test de hipótesis para una población Test Z para medias: Estadísticos, supuestos y distribución nula. Test Z para proporciones: Estadísticos, supuestos y distribución nula. Relación entre pruebas de hipótesis e intervalos de confianza. Test T para medias: Estadísticos, supuestos, distribución nula. Relación Test T y Test Z. Test Binomial para proporciones: Estadísticos, supuestos y distribución nula. Pruebas de hipótesis para mediana. Pruebas de hipótesis de distribución de variables: normalidad, simetría y curtosis. Test de hipótesis para una población Test Z para medias: Estadísticos, supuestos y distribución nula. Test Z para proporciones: Estadísticos, supuestos y distribución nula. Relación entre pruebas de hipótesis e intervalos de confianza. Test T para medias: Estadísticos, supuestos, distribución nula. Relación Test T y Test Z. Test Binomial para proporciones: Estadísticos, supuestos y distribución nula. Pruebas de hipótesis para mediana. Pruebas de hipótesis de distribución de variables: normalidad, simetría y curtosis. PARTE III PARTE II PARTE I

I. Test de hipótesis para una población

I. TEST DE HIPÓTESIS PARA UNA POBLACIÓN 0. Verificar Supuestos 1. Definir Hipótesis 2. Definir significancia 3. Determinar el estadístico del Test 4. Identificar la distribución nula 5. Rechazamos o No rechazamos H0

Test de hipótesis para una Población I. TEST DE HIPÓTESIS PARA UNA POBLACIÓN Test de hipótesis para una Población Parámetros Distribución Media Proporción Mediana Normalidad Simetría Curtosis Test Z Test T Test binomial

V. Test T para medias (T de Student)

Test Z para medias V. TEST T PARA MEDIAS Test de hipótesis paramétrico para evaluar hipótesis sobre el valor de una media poblacional (parámetro) SUPUESTOS: Variable cuantitativa Muestreo probabilístico Muestra grande

Test T para medias V. TEST T PARA MEDIAS Test de hipótesis paramétrico para evaluar hipótesis sobre el valor de una media poblacional (parámetro) SUPUESTOS: Variable cuantitativa Muestreo probabilístico Distribución de la variable normal

Hipótesis del Test T V. TEST T PARA MEDIAS HIPÓTESIS: H0: 𝜇= 𝜇 0 H1: 𝜇≠ 𝜇 0 (Prueba de dos colas) H1: 𝜇> 𝜇 0 (Prueba de una cola) H1: 𝜇< 𝜇 0 (Prueba de una cola)

Estadístico y distribución nula en Test T para medias V. TEST T PARA MEDIAS Estadístico y distribución nula en Test T para medias 𝑋 :𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Problema: ¿Cómo distribuye 𝑋 ? Si X es normal, Estadístico T= 𝑋 −𝜇 𝑆𝐸( 𝑋 ) = 𝑋 −𝜇 𝑠 𝑛 =∼ 𝑇 𝑛−1 𝑔𝑙 𝑆𝑖 𝐻 0 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎, 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ∼ 𝑇 𝑛−1 𝑔𝑙

Grados de libertad (gl) V. TEST T PARA MEDIAS Grados de libertad (gl) Corresponden al número de valores de un conjunto de observaciones que pueden ser asignados de forma arbitraria, previo a que los demás valores asuman un valor automáticamente. Los grados de libertad se relacionan con la forma que tendrá la distribución determinada.

Distribución T V. TEST T PARA MEDIAS Simétrica en torno a 0. La dispersión de los datos depende de los grados de libertad (gl): Desviación estándar> 1, pero se acerca a 1 cuando los gl aumentan. Dado que es más dispersa que una distribución N(0,1), la probabilidad de caer en las colas es mayor.

Test T para medias de dos colas V. TEST T PARA MEDIAS Test T para medias de dos colas TEST DE DOS COLAS: ZONA DE RECHAZO H0: 𝜇= 𝜇 0 H1: 𝜇≠ 𝜇 0 𝑆𝑖 𝐻 0 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎, 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ∼ 𝑇 𝑛−1 𝑔𝑙 ℙ − 𝑇 𝛼 2 𝑛−1 𝑔𝑙 ≤ 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ≤ 𝑇 𝛼 2 𝑛−1 𝑔𝑙 =1−𝛼 Zona de Rechazo: 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 < − 𝑇 𝛼 2 ∪ 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 > 𝑇 𝛼 2

Test T para medias de dos colas V. TEST T PARA MEDIAS Test T para medias de dos colas TEST DE DOS COLAS: ZONA DE RECHAZO H0: 𝜇=23 H1: 𝜇≠23 𝑆𝑖 𝐻 0 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ∼ 𝑇 𝑛−1 𝑔𝑙  eligiendo 𝛼=5% ℙ − 𝑇 𝛼 2 𝑛−1 𝑔𝑙 ≤ 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ≤ 𝑇 𝛼 2 𝑛−1 𝑔𝑙 =95% Siendo 𝑋 =22, 𝑠=2 𝑦 𝑛=30 𝑋 −23 𝑠/ 𝑛 = 22−23 2/ 30 =-2,78 𝑇 𝛼 2 29 𝑔𝑙 = (Ver tabla)

Test T para medias de dos colas V. TEST T PARA MEDIAS Test T para medias de dos colas TEST DE DOS COLAS: ZONA DE RECHAZO H0: 𝜇=23 H1: 𝜇≠23 𝑆𝑖 𝐻 0 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ∼ 𝑇 𝑛−1 𝑔𝑙  eligiendo 𝛼=5% ℙ − 𝑇 𝛼 2 𝑛−1 𝑔𝑙 ≤ 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ≤ 𝑇 𝛼 2 𝑛−1 𝑔𝑙 =95% Siendo 𝑋 =22, 𝑠=2 𝑦 𝑛=30 𝑋 −23 𝑠/ 𝑛 = 22−23 2/ 30 =-2,78 𝑇 𝛼 2 29 𝑔𝑙 = 2.045-2,78<- 𝑇 𝛼 2 𝑛−1 𝑔𝑙 Rechazamos 𝐻 0

Test T para medias de dos colas V. TEST T PARA MEDIAS Test T para medias de dos colas TEST DE DOS COLAS: VALOR P H0: 𝜇= 𝜇 0 H1: 𝜇≠ 𝜇 0 Valor P= 2 ℙ 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ≤−|𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙| H0: 𝜇=23 H1: 𝜇≠23 Valor P=2 P 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ≤−2.78 Dado que 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ∼ 𝑇 𝑛−1 𝑔𝑙 Valor P=2 P 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ≤−2.78 =2𝑃 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ≥2.78 = 2 (Ver tabla)

Test T para medias de dos colas V. TEST T PARA MEDIAS Test T para medias de dos colas TEST DE DOS COLAS: VALOR P H0: 𝜇= 𝜇 0 H1: 𝜇≠ 𝜇 0 Valor P= 2 ℙ 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ≤−|𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙| H0: 𝜇=23 H1: 𝜇≠23 Valor P=2 P 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ≤−2.78 Dado que 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ∼ 𝑇 𝑛−1 𝑔𝑙 Valor P=2 P 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ≤−2.78 =2𝑃 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ≥2.78 = 2 *0.005=0.01 Rechazamos 𝐻 0

Test T para medias de una cola V. TEST T PARA MEDIAS Test T para medias de una cola TEST DE UNA COLA: ZONA DE RECHAZO H0: 𝜇= 𝜇 0 H1: 𝜇> 𝜇 0 H1: 𝜇< 𝜇 0 𝑆𝑖 𝐻 0 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎, 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ∼ 𝑇 𝑛−1 𝑔𝑙 Zona de Rechazo: 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 > 𝑇 𝛼 𝑛−1 𝑔𝑙 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 <- 𝑇 𝛼 𝑛−1 𝑔𝑙

Test T para medias de una cola V. TEST T PARA MEDIAS Test T para medias de una cola TEST DE UNA COLA: ZONA DE RECHAZO H0: 𝜇=23 H1: 𝜇>23 H1: 𝜇<23 𝑆𝑖 𝐻 0 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎, 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ∼ 𝑇 𝑛−1 𝑔𝑙 Siendo 𝑋 =22, 𝑠=2,𝑛=30 y a=5% 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 =-2.78 𝑇 𝛼 29 𝑔𝑙 = (Ver tabla)

Test T para medias de una cola V. TEST T PARA MEDIAS Test T para medias de una cola TEST DE UNA COLA: ZONA DE RECHAZO H0: 𝜇=23 H1: 𝜇>23 H1: 𝜇<23 𝑆𝑖 𝐻 0 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎, 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ∼ 𝑇 𝑛−1 𝑔𝑙 Siendo 𝑋 =22, 𝑠=2,𝑛=30 y a=5% 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 =-2.78 𝑇 𝛼 29 𝑔𝑙 = 1.699 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 > 𝑇 𝛼 𝑛−1 𝑔𝑙 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 <- 𝑇 𝛼 𝑛−1 𝑔𝑙 No se rechaza H0 Se rechaza H0

Test T para medias de una cola V. TEST T PARA MEDIAS Test T para medias de una cola TEST DE UNA COLA: VALOR P H0: 𝜇= 𝜇 0 =23 H1: 𝜇> 𝜇 0 =23 H1: 𝜇< 𝜇 0 =23 Valor P= ℙ 𝑋 − 𝜇 0 𝑆𝐸 𝑋 > 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Valor P=ℙ 𝑋 − 𝜇 0 𝑆𝐸 𝑋 <𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Valor P= ℙ 𝑋 − 𝜇 0 𝑆𝐸 𝑋 > −2.78 Valor P=ℙ 𝑋 − 𝜇 0 𝑆𝐸 𝑋 <−2.78 Dado que 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ∼ 𝑇 𝑛−1 𝑔𝑙 Valor P= 𝑉𝑒𝑟 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 Valor P= 𝑉𝑒𝑟 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎

Test T para medias de una cola V. TEST T PARA MEDIAS Test T para medias de una cola TEST DE UNA COLA: VALOR P H0: 𝜇= 𝜇 0 =23 H1: 𝜇> 𝜇 0 =23 H1: 𝜇< 𝜇 0 =23 Valor P= ℙ 𝑋 − 𝜇 0 𝑆𝐸 𝑋 > 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Valor P=ℙ 𝑋 − 𝜇 0 𝑆𝐸 𝑋 <𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Valor P= ℙ 𝑋 − 𝜇 0 𝑆𝐸 𝑋 > −2.78 Valor P=ℙ 𝑋 − 𝜇 0 𝑆𝐸 𝑋 <−2.78 Dado que 𝑋 − 𝜇 0 𝑠 𝑛 ∼ 𝑇 𝑛−1 𝑔𝑙 Valor P= 0.995 Valor P=0.005 No se rechaza H0 Se rechaza H0

Test T y Test Z V. TEST T PARA MEDIAS Test Z está diseñado para cuando la varianza es conocida, y por ende el error estándar es conocido. Problema: casi nunca conocemos la varianza poblacional.  Puede utilizarse el estimador de la varianza, cuando n es grande. Test T está diseñado para cuando la varianza es desconocida. Entonces, si la variable distribuye normal, la varianza es desconocida y n es grande, ¿ 𝑋 − 𝜇 0 𝑆𝐸 𝑋 distribuye Normal(0,1) o T? Para n grande la distribución T converge en la distribución Z, siendo prácticamente idénticas para n>30.

Test T y normalidad V. TEST T PARA MEDIAS Una técnica estadística es robusta cuando funciona de forma adecuada incluso cuando se violan ciertos supuestos. El Test T es robusto a las violaciones al supuesto de normalidad, cuando n>15. El Test T NO es robusto a la violación del supuesto de muestra probabilística.

VI. Test binomial para proporciones

Test Binomial para proporciones VI. TEST BINOMIAL PARA PROPORCIONES Test Binomial para proporciones Test de hipótesis no paramétrico para evaluar hipótesis sobre el valor de una proporción (porcentaje) poblacional (parámetro) SUPUESTOS: Variable categórica Muestra aleatoria HIPÓTESIS: H0: 𝑝= 𝑝 0 H1: 𝑝≠ 𝑝 0 (Prueba de dos colas) H1: 𝑝> 𝑝 0 (Prueba de una cola) H1: 𝑝< 𝑝 0 (Prueba de una cola)

Estadístico y distribución nula en Test Binomial para proporciones VI. TEST BINOMIAL PARA PROPORCIONES Estadístico y distribución nula en Test Binomial para proporciones La variable X= cantidad de veces que ocurre el suceso A, en un total de n veces, distribuye binomial (B(n,p)), donde p es la proporción poblacional del suceso A. 𝑆𝑖 𝐻 0 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎, 𝑋∼𝐵(𝑛, 𝑝 0 )

Test Binomial para proporciones de dos colas VI. TEST BINOMIAL PARA PROPORCIONES Test Binomial para proporciones de dos colas TEST DE DOS COLAS: VALOR P H0: 𝑝= 𝑝 0 H1: 𝑝≠ 𝑝 0 Si 𝑝 < 𝑝 0 : Valor P= 2ℙ 𝑋≤𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Si 𝑝 > 𝑝 0 : Valor P= 2ℙ 𝑋≥𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

Test Binomial para proporciones de dos colas VI. TEST BINOMIAL PARA PROPORCIONES Test Binomial para proporciones de dos colas

Test Binomial para proporciones de dos colas VI. TEST BINOMIAL PARA PROPORCIONES Test Binomial para proporciones de dos colas EJEMPLO H0: 𝑝=0.5 H1: 𝑝≠0.5 X: cantidad de veces que se eligió a un hombre para el entrenamiento=9 Si 𝐻 0 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎, X~𝐵(10,0.5) Valor P= 2ℙ 𝑋≥𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Valor P= 2(P(9)+P(10))= P(9)+P(10)+P(1)+P(0)= 2(0.001 + 0.01)=0.022 Con 5% de significancia, se rechaza H0

Test Binomial para proporciones de una cola VI. TEST BINOMIAL PARA PROPORCIONES Test Binomial para proporciones de una cola VALOR P H0: 𝑝= 𝑝 0 H1: 𝑝> 𝑝 0 H1: 𝑝< 𝑝 0 Valor P= ℙ 𝑋≥𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Valor P=ℙ 𝑋≤𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

Test Binomial para proporciones de una cola VI. TEST BINOMIAL PARA PROPORCIONES Test Binomial para proporciones de una cola VALOR P H0: 𝑝=50% H1: 𝑝>50% H1: 𝑝<50% Valor P= ℙ 𝑋≥𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Valor P=ℙ 𝑋≤𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 Valor P= 𝑃 9 +𝑃 10 Valor P=𝑃 0 +…+𝑃(9) Valor P=0,001+0,01=0,011 Valor P=0,999 Se Rechaza H0 No se Rechaza H0

EJERCICIOS Considere una muestra probabilística de chilenos con los siguientes datos: Realice test de hipótesis para probar las siguientes hipótesis con 1% de significancia: defina las hipótesis nula y alternativa, indique qué test utilizará y porqué, refiérase al cumplimiento de los supuestos del test, determine el estadístico del test y la distribución nula, estime el estadístico y el valor P, interprete estadística y sociológicamente sus resultados. Suponga que el número de hogares distribuye normal. La minoría de chilenos viven hacinados. Los chilenos viven en hogares de 3 miembros promedio. Los chilenos viven en hogares de más de 5 miembros promedio. n 10 Promedio de tamaño del hogar (n° personas) 4 Desviación estándar de tamaño del hogar 1.3 Proporción de personas que viven en condiciones de hacinamiento 20%

PREGUNTAS Indique para las siguientes situaciones que test de hipótesis recomendaría y por qué. 4. Un grupo de investigadores realizó una encuesta con una muestra probabilística a 20 chilenos para estimar la pobreza, y quieren probar la hipótesis de que la pobreza es inferior al 10%. 5. Un investigador realizó una encuesta a 30 mujeres embarazadas, preguntándoles si, tras tomarse una ecografía, el médico les preguntó si quería saber si su hijo tenía alguna malformación. Quiere probar la hipótesis de que a la minoría de las mujeres no se les realiza esta pregunta, pero la variable no distribuye normal. 6. Un investigador realizó una encuesta a 30 estudiantes de JGM sobre la cantidad de litros de cerveza consumidos durante la fiesta mechona. Quiere probar la hipótesis de que el consumo promedio es superior a 1 litro, sabiendo que la variable distribuye normal.

Contenidos INTRODUCCIÓN PARTE III PARTE II PARTE I Test de hipótesis para una población Test Z para medias: Estadísticos, supuestos y distribución nula. Test Z para proporciones: Estadísticos, supuestos y distribución nula. Relación entre pruebas de hipótesis e intervalos de confianza. Test T para medias: Estadísticos, supuestos, distribución nula. Relación Test T y Test Z. Test Binomial para proporciones: Estadísticos, supuestos y distribución nula. Pruebas de hipótesis para mediana. Pruebas de hipótesis de distribución de variables: normalidad, simetría y curtosis. Test de hipótesis para una población Test Z para medias: Estadísticos, supuestos y distribución nula. Test Z para proporciones: Estadísticos, supuestos y distribución nula. Relación entre pruebas de hipótesis e intervalos de confianza. Test T para medias: Estadísticos, supuestos, distribución nula. Relación Test T y Test Z. Test Binomial para proporciones: Estadísticos, supuestos y distribución nula. Pruebas de hipótesis para mediana. Pruebas de hipótesis de distribución de variables: normalidad, simetría y curtosis. PARTE III PARTE II PARTE I