ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL U. D. 15 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

RECTA DE REGRESIÓN U. D. 15.4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Regresión lineal En el caso de variables bidimensionales, como las de los ejemplos ya estudiados, al representarlas gráficamente nos saldrá una nube de puntos. Cuando los puntos se condensan en torno a una recta, nos interesa conocer la ecuación de la misma. Esa recta será la que más se ajuste a la nube de puntos. Esa recta significativa es tal que la suma de distancias de todos los puntos de la nube a dicha recta es la menor posible. Es la llamada Recta de Regresión, o Recta de Ajuste. De ecuación y = a.x + b Una vez que obtengamos la ecuación de dicha recta, tendremos la función lineal: y=f (x) , pudiendo interpolar valores, es decir hallar pares de valores ( xi,yi ) que no estaban en la nube de puntos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 1: Regresión lineal xi yi xi2 yi2 xi.yi 1 …… …. ….. 7 8 49 64 56 33,5 43 147,75 249 190 xi=Horas de estudio semanal de una asignatura. yi=Calificaciones en los exámenes correspondientes. VALOR DE LOS PARÁMETROS YA CALCULADOS x=3,35 ; y = 4,30 ; Vx = 3,35 ; Vy = 6,61 ; Vxy = 4,595 ; CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN Y SOBRE X m = Vxy / Vx  y – yo = m.(x – xo)  y = m.x + (yo – m.xo) CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN X SOBRE Y m = Vxy / Vy  x – xo = m.(y – yo)  x = m.y + (xo – m.yo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 1: Recta Y sobre X m = Vxy / (Sx)2 m = 4,595 / (1,9)2 = 1,27 y – yo = m.(x – xo) y - 4,30 = 1,27.( x – 3,35) La ecuación será: y = 1,273.x + 0,036 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: x = 1  y = 1,31 x = 5  y = 6,44 La recta deberá pasar por el centro de gravedad (3’35, 4’30) Nota = f (horas) Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Cg(3’35,4’30) 0 1 2 3 4 5 6 7 Horas @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 1: Recta X sobre Y m = Vxy / (Sy)2 m = 4,595 / (2,57)2 = 0,70 x – xo = m.(y – yo) x – 3,35 = 0,70.( y – 4,30) La ecuación será: x = 0,70.y + 0,34 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: y = 1  x = 1,04 y = 6  x = 4,54 La recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (3’35, 4’30) Horas = f (notas) Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Cg(3’35,4’30) 0 1 2 3 4 5 6 7 Horas @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 1: Rectas y ángulo RECTA Y sobre X y = 1,273.x + 0,036 RECTA X sobre Y x = 0,70.y + 0,34 Si en lugar de una correlación estadística fuera una correlación funcional, ambas rectas serían la misma. Si el ángulo que forman ambas rectas es muy pequeño, la correlación es fuerte o muy fuerte. Por el contrario, cuando el ángulo es grande la correlación es débil o muy débil (hasta casi 90º). Horas = f (notas) Nota 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Horas @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplo 2: Regresión lineal xi yi xi2 yi2 xi.yi 1 7 49 ….. ……. 4 3 16 9 12 20 40 58 216 91 xi=Precio de un producto (en €). yi=Miles de unidades vendidas. VALOR DE LOS PARÁMETROS YA CALCULADOS x=2,5 ; y = 5 ; Vx = 1 ; Vy = 2 ; Vxy = – 1,125 ; CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN Y SOBRE X m = Vxy / Vx  y – yo = m.(x – xo)  y = m.x + (yo – m.xo) CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN X SOBRE Y m = Vxy / Vy  x – xo = m.(y – yo)  x = m.y + (xo – m.yo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 2: Recta Y sobre X Miles unidades 7 6 5 4 3 Recta Y sobre X m = Vxy / Vx m = – 1,125 / 1 = – 1,125 y – yo = m.(x – xo) y – 5 = – 1,125.( x – 2,5) La ecuación será: y = – 1,125. x + 7,8125 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: x = 1  y = 6,68 x = 4  y = 3,31 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (2,5 , 5) Cg(2,5 , 5) 0 1 2 3 4 Precio @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 2: Recta X sobre Y Miles unidades 7 6 5 4 3 Recta X sobre Y m = Vxy / Vx m = – 1,125 / 2 = – 0,5625 x – xo = m.(y – yo) x – 2,5 = – 0,5625.( y – 5) La ecuación será: x = – 0,5625. y + 5,3125 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: y = 3  x =3,60 y = 7  x = 1,40 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (2,5 , 5) Cg(2,5 , 5) 0 1 2 3 4 Precio @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 2: Rectas y ángulo Miles unidades 7 6 5 4 3 RECTA Y sobre X y = – 1,125. x + 7,8125 RECTA X sobre Y x = – 0,5625. y + 5,3125 Si en lugar de una correlación estadística fuera una correlación funcional, ambas rectas serían la misma. Como el ángulo que forman ambas rectas es muy pequeño, la correlación es fuerte o muy fuerte. 0 1 2 3 4 Precio @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Ejemplo 3: Regresión lineal xi yi xi2 yi2 xi.yi 15 37 225 1379 555 …. ….. ……. 18 43 324 1849 774 115 279 1899 11179 4587 xi=Edad de un joven (años). yi=Nº de calzado. VALOR DE LOS PARÁMETROS YA CALCULADOS x=16,43 ; y = 39,85 ; Vx = 1,24 ; Vy = 7 ; Vxy =0,15 ; CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN Y SOBRE X m = Vxy / Vx  y – yo = m.(x – xo)  y = m.x + (yo – m.xo) CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN X SOBRE Y m = Vxy / Vy  x – xo = m.(y – yo)  x = m.y + (xo – m.yo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 3: Recta Y sobre X y – yo = m.(x – xo) y – 39,85 = 0,121.( x – 16,43) La ecuación será: y = 0,121. x + 37,86 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: x = 15  y = 39,67 x = 18  y = 40,04 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (16,43 , 39,85) Nº de calzado 43 41 39 37 15 16 17 18 Edad @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 3: Recta X sobre Y x – xo = m.(y – yo) x – 16,43 = 0,0214.( y – 39,85) La ecuación será: x = 0,0214. y + 15,5772 Para llevarla sobre el gráfico de la Nube de Puntos tomamos dos valores: y = 39  x = 16,40 y = 43  x = 16,50 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (16,43 , 39,85) Nº de calzado 43 41 39 37 15 16 17 18 Edad @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

EJEMPLO 3: Rectas y ángulo RECTA Y sobre X y = 0,121. x + 37,86 RECTA X sobre Y x = 0,0214. y + 15,5772 Si en lugar de una correlación estadística fuera una correlación funcional, ambas rectas serían la misma. Como el ángulo que forman ambas rectas es muy grande, casi de 90º, la correlación es muy débil. Nº de calzado 43 41 39 37 15 16 17 18 Edad @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.