Investigación de operaciones Autor: Raymundo Palacios Capítulo 8 Métodos de transporte y asignación

8.1 INTRODUCCIÓN Se explican y solucionan algunos problemas especiales de PL denominados de “flujo de red”, los cuales se clasifican como modelos de transporte.

8.1 INTRODUCCIÓN En estos modelos, se determinan las rutas a usar y la cantidad de bienes que se deberán embarcar desde cada planta o almacén a cada centro de distribución en donde se comercializará el producto, con el objeto de minimizar el costo de transportación y al mismo tiempo satisfacer la demanda del consumidor.

8.1 INTRODUCCIÓN Estos problemas se resuelven en forma rápida y eficiente sin importar la cantidad de variables y restricciones que contenga el modelo por medio de los siguientes algoritmos: Regla de la esquina noroeste (REN) Método del costo mínimo (MCM) Método por aproximaciones de Vogel (MAV) Método de pasos secuenciales (MPS) También se explica el modelo de transporte de problema de asignación utilizando el método húngaro para solucionarlo.

8.2 EL PROBLEMA DE TRANSPORTE Un modelo de programación lineal típico de transporte de m orígenes y n destinos se plantea para encontrar el modo de menor costo de satisfacer demandas en n destinos mediante ofertas desde m orígenes como sigue: Maximizar: 𝑖=1 𝑚 𝑗=1 𝑛 𝑐 𝑖𝑗 𝑥 𝑖𝑗 Sujeto a: 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑖𝑗 ≤ 𝑆 𝑖 𝑖=1, 2,….. 𝑚 𝑠𝑢𝑚𝑖𝑛𝑖𝑠𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑖𝑗 = 𝑑 𝑗 j = 1, 2,.......n demanda 𝑥 𝑖𝑗 ≥0

REGLA DE LA ESQUINA NOROESTE (REN) Algoritmo que encuentra una solución inicial factible para que se satisfaga la demanda y se agote la oferta siguiendo un orden prescrito en la tabla de transporte. Este método produce una solución factible inicial sin considerar los costos durante el proceso de asignar las ofertas; por lo tanto, la solución óptima se obtiene aleatoriamente. Se le conoce como REN porque el algoritmo comienza con la celdilla superior izquierda en la tabla de transporte (ruta X11); es decir, por la esquina noroeste. La mecánica del algoritmo se basa en comparar la oferta y la demanda para cada renglón de la tabla de transporte y se elige la menor cantidad para satisfacer la demanda hasta terminar secuencialmente.

MÉTODO DEL COSTO MÍNIMO (MCM) A diferencia del REN, que no considera los costos de envío, el método del costo mínimo (MCM) sí toma en cuenta los costos de transportar la mercancía desde cada planta hacia sus destinos, con el fin de obtener la mejor solución factible inicial mediante el análisis del mínimo costo posible de enviar un producto a su destino.

MÉTODO POR APROXIMACIONES DE VOGEL (MAV) Algoritmo que encuentra una solución inicial factible al problema de transporte mediante la consideración de “costos de penalidad” de no usar la ruta económica disponible. El método de aproximación de Vogel (MAV) usa la información de costos mediante el concepto de costo de oportunidad para determinar una solución inicial factible que, al igual que con la REN y el MCM, podría ser óptima; sin embargo, se aproxima a una mejor solución.

MÉTODO DE PASOS SECUENCIALES El método de pasos secuenciales (MPS) es un algoritmo de programación lineal que garantiza encontrar la solución óptima a un problema de transporte. El algoritmo comienza con una solución inicial factible originada por medio de la REN, el MCM o el MAV y que calcula el costo marginal del envío de artículos por rutas que no se hayan usado (representadas por las celdillas vacías), en tanto que se elimina una de las rutas usadas ordinariamente, haciéndose un ajuste de la solución factible del problema de transporte al incorporarse una nueva ruta. El procedimiento secuencial termina cuando no hay cambio de rutas que mejoren el valor de la función objetivo.

8.4 EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN Es una extensión especial del problema de transporte, se aplica a una variedad de situaciones como son: asignar trabajos a máquinas, asignar personal de ventas, asignar contratos a licitaciones, asignar telefonistas para atender llamadas de servicios, asignar modelos a agencias de publicidad, etc. En general, el problema consiste en determinar la asignación óptima de agentes u objetos “invisibles” a n tareas.

8.4 EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN Un problema de asignación implica m agentes u objetos y n tareas. Si determinamos Xij =1 o Xij = 0, según los agentes u objetos i se asigna o no a la tarea j, y si Cij = costo de asignar el agente i a la tarea j, podemos escribir el modelo de asignación general como: Minimizar: 𝑖=1 𝑚 𝑗=1 𝑛 𝑐 𝑖𝑗 𝑥 𝑖𝑗 Sujeto a: 𝑗=1 𝑛 𝑥 𝑖𝑗 ≤ 1 i = 1, 2,.....m agentes u objetos 𝑖=1 𝑚 𝑥 𝑖𝑗 ≤1 j = 1, 2,.......m tareas Xij ≥ 0 para toda i y j

MÉTODO HÚNGARO El método húngaro es un algoritmo que reduce la matriz de costos mediante una serie de operaciones aritméticas para solucionar un problema de asignación La asignación óptima se logra mediante la selección de celdillas con un costo “reducido” de cero.

PROBLEMAS ESPECIALES DE ASIGNACIÓN En un modelo de asignación pueden presentarse una o más de las siguientes situaciones extraordinarias: 1. Maximización de la función objetivo. Agentes u objetos (suministros) no iguales a las tareas asignadas (demanda). Asignaciones inaceptables.

PROBLEMAS ESPECIALES DE ASIGNACIÓN Maximización de la función objetivo Si se desea maximizar la función objetivo en un problema de asignación, se multiplica la matriz de utilidades por -1, y se resuelve el problema sistemáticamente como un problema de minimización. En este caso se consideran utilidades en vez de costos. Los valores óptimos de la matriz de utilidades nos proporcionan las alternativas de decisión que se evalúan en función de ganancia en lugar de tiempo o costo. El aumento marginal anticipado del beneficio neto debido a tal asignación, conlleva a la asignación de un agente u objeto a una tarea.

PROBLEMAS ESPECIALES DE ASIGNACIÓN Agentes u objetos (suministros) no iguales a las tareas asignadas (demanda) Suponga que la cantidad de agentes u objetos (suministros) es menor al número de tareas (demandas). El problema de asignación no tendrá una solución factible y deberán agregarse los agentes u objetos ficticios que se requieran para la cantidad de tareas asignadas. Supongamos que tenemos 3 máquinas y 4 tareas que se deben asignar. Tendríamos que agregar una máquina ficticia que realice la tarea faltante. El costo medido en tiempo es de cero. Por supuesto, no se hará una asignación real de la máquina a ninguna tarea.

PROBLEMAS ESPECIALES DE ASIGNACIÓN Asignaciones inaceptables Cuando existen asignaciones inaceptables, se elimina la correspondiente variable de decisión Supongamos que una máquina se descompone por falta de mantenimiento preventivo, de modo que sería imposible realizar una tarea. Esta correspondencia (máquina – tarea) sería una asignación inaceptable. Para solucionar el problema, se asigna un costo arbitrariamente grande representado por la letra M a la celdilla del renglón y columna que le corresponda. M es un número muy grande y si se le resta un número finito cualquiera, queda todavía un valor mayor que los demás números relevantes y automáticamente se descarta la asignación de la máquina con la tarea que le correspondía al momento de solucionar el problema por el método húngaro. El mismo procedimiento se emplea en un problema de transporte, para asegurar que las rutas inaceptables no sean parte de la solución óptima y para eliminar las variables artificiales.