Modelo para sincronización y sincronización explosiva en redes complejas Vanesa Avalos Gaytán Seminario Integrador Seminario de Cómputo Científico del Posgrado de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM Septiembre 29,2016

Introducción Sincronización Es un proceso emergente que se observa en diferentes sistemas naturales y artificiales.

¿Qué es un Sistema? Lineales No lineales: Introducción ¿Qué es un Sistema? Es un conjunto de elementos relacionados entre sí para lograr un fin común. Lineales No lineales: Simples, COMPLEJOS

Introducción Sistema Complejo Está compuesto por varias partes interconectadas o entrelazadas cuyos vínculos crean información adicional no visible para el observador. A partir de las conductas simples de los elementos se han observado procesos que no son reducibles al comportamiento de sus partes.

Complejidad en los elementos y en las interacciones Introducción Sistema Complejo Una hormiga sólo presta atención a sus vecinos inmediatos y no recibe ordenes de un agente central. Cada hormiga actúa localmente, pero todas producen un comportamiento global y complejo. Complejidad en los elementos y en las interacciones Propiedades emergentes.

Propagación de epidemias Introducción Propagación de epidemias

Transiciones de sincronización Fuerza de acoplamiento Introducción Transiciones de sincronización en redes complejas Redes complejas con dinámica en los nodos Parámetro de orden → Sincronización Parámetro de corrida → Fuerza de Acoplamiento Fuerza de acoplamiento Parámetro de orden

Modelo de Kuramoto 1975, 1984 Es un modelo matemático para describir fenómenos de sincronización. Dada una población de N nodos acoplados, la fase del nodo m 𝜃 𝑚 evoluciona en el tiempo de acuerdo a la ecuación: Fuerza de acoplamiento entre los elementos (constante) Modela el comportamiento de sistemas de muchos elementos acoplados. 𝜃 𝑚 = ω 𝑚 + 𝜎 𝑁 𝑛 ∈ 𝒩 𝑤 𝑚𝑛 sin ( 𝜃 𝑛 − 𝜃 𝑚 ) Frecuencia natural (Ruido externo) Matriz adyacente ponderada (matriz de conectividad, (0,1)) Habitualmente cada elemento tiene su propia frecuencia natural y cada uno está acoplado igualmente al resto de elementos.

Modelo propuesto Diseñado para crear redes modulares, asortativas y sincrónas. 𝜃 = ω 𝑚 + 𝜎 𝑁 𝑛 ∈ 𝒩 𝑤 𝑚𝑛 sin ( 𝜃 𝑛 − 𝜃 𝑚 ) 𝒘 𝒎𝒏 = 𝒑 𝒎𝒏 − 𝒑 𝒄 𝒘 𝒎𝒏 𝟏− 𝒘 𝒎𝒏 𝑝 𝑚𝑛 = cos 𝜃 𝑚 − 𝜃 𝑛 2 Evoluciona los pesos de los enlaces: donde 𝑝 𝑐 es una correlación umbral que determina si un peso es reforzado refuerza nodos con fases similares 𝑝 𝑚𝑛 > 𝑝 𝑐 𝑤 𝑚𝑛 → 1 debilita nodos con fases diferentes 𝑝 𝑚𝑛 < 𝑝 𝑐 𝑤 𝑚𝑛 → 0 Miden la correlación entre pares de osciladores y nos dicen que tan similares o diferentes son las fases de los osciladores.

Metodología de Solución Implementamos un algoritmo para el modelo, en el cual se usa el método de integración de Runge-Kutta Fehlberg (RKF). RKF es un algoritmo de análisis numérico para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias. Las redes iniciales son redes completas. En el modelo 𝜎 y 𝑝 𝑐 son parámetros y toman los siguientes valores: 𝜎={0.20, 0.22, 0.24, 0.26, 0.30, 0.35, 0.40, 0.50, 0.60} 𝑝 𝑐 =0.025:0.025:0.975. Las condiciones iniciales para las fases de los nodos: 𝜃 𝑛 : se inicializan aleatoriamente en el intervalo 0, 2π . Los pesos y las frecuencias naturales son generados con una función de probabilidad uniforme continua: 𝑤 𝑚𝑛 : se inicializan aleatoriamente en el intervalo 0, 1 𝜔 𝑚 :se inicializan aleatoriamente en el intervalo 0.8, 1.2 . Los pesos 𝒘 𝒎𝒏 y las fases 𝜽 cambian de acuerdo a la evolución de las ecuaciones para las fases 𝜽 y para los pesos   𝒘 𝒎𝒏 La red final ya no es completa.

Resultados

Resultados Grado Grado Promedio Coeficiente de Agrupamiento

Marco teórico Resultados Modularidad Asortatividad

Modificación Evoluciona los pesos de los enlaces: donde 𝑝 𝑐 es una correlación umbral que determina si un peso es reforzado refuerza nodos con fases diferentes 𝑝 𝑚𝑛 > 𝑝 𝑐 𝑤 𝑚𝑛 →0 debilita nodos con fases similares 𝑝 𝑚𝑛 < 𝑝 𝑐 𝑤 𝑚𝑛 →1 𝒘 𝒎𝒏 = 𝒑 𝒎𝒏 − 𝒑 𝒄 𝒘 𝒎𝒏 𝟏− 𝒘 𝒎𝒏 𝜃 = ω 𝑚 + 𝜎 𝑁 𝑛 ∈ 𝒩 𝑤 𝑚𝑛 sin ( 𝜃 𝑛 − 𝜃 𝑚 ) 𝒘 𝒎𝒏 = 𝒑 𝒄 − 𝒑 𝒎𝒏 𝒘 𝒎𝒏 𝟏− 𝒘 𝒎𝒏 𝑝 𝑚𝑛 = cos 𝜃 𝑚 − 𝜃 𝑛 2 Refuerza enlaces que unen nodos con fases iguales. Debilita los enlaces que unen nodos con fases diferentes Reforzamos enlaces que unen nodos con fases diferentes. Debilitamos los enlaces que unen nodos con fases iguales

Resultados Sincronización global

Resultados Sincronización local

Resultados ¿Las redes que se obtienen serán explosivas?

Resultados Asortatividad

Resultados ¿Las redes que se obtienen serán explosivas? Grado promedio de los vecinos Grado promedio Coeficiente de agrupamiento 0.625 ¿Las redes que se obtienen serán explosivas?

Resultados ¿Las redes que se obtienen serán explosivas?

Sincronización Explosiva Fuerza de acoplamiento Es un fenómeno en el que se da la aparición de transiciones abruptas dinámicas en el estado global de un sistema. Fuerza de acoplamiento Parámetro de orden Transición de 1er orden Transición de 2do orden

Introducción Transiciones

Sincronización explosiva

Sincronización explosiva

Sincronización explosiva

Sincronización explosiva

Resultados Centralidad Mide la importancia de los nodos dentro de la red. Centralidad Se mide en base al vector propio asociado al mayor valor propio de la matriz que representa la red obtenida

Conclusiones