Investigación de operaciones Autor: Raymundo Palacios Capítulo 2 Temas fundamentales de geometría analítica y álgebra matricial

2.1 Introducción Se presenta la siguiente información por medio de ejemplos : Coordenadas rectangulares y pendiente de una recta Definición, tipos y multiplicación de matrices Definición de álgebra y su importancia en la solución de problemas Estudio de seis métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales : 1. Método de reducción 2. Método de sustitución 3. Método de igualación 4. Método de Kramer 5. Método de la matriz inversa 6. Método de Gauss-Jordan

2.2 Coordenadas rectangulares y pendiente de una recta El sistema de coordenadas rectangulares consta de un plano divido en cuatro regiones, llamados cuadrantes [I, II, III y IV], delimitados por dos rectas que se cruzan perpendicularmente en el origen O, estableciéndose una correspondencia biunívoca entre cada punto del plano y un par coordenado de números reales. La recta horizontal se llama eje X, y la recta vertical se llama eje Y. La distancia de un punto al eje X se llama abscisa, es positiva cuando el punto se encuentra situado a la derecha de O, y negativa en caso contrario. La distancia de un punto al eje Y se llama ordenada, es positiva cuando el punto está arriba de O, y negativa en sentido opuesto. La ordenada y la abscisa constituyen las coordenadas de un punto cualquiera (P), que se encuentra representado en un plano rectangular por (X, Y).

2.2 Coordenadas rectangulares y pendiente de una recta Una recta es una sucesión infinita de puntos alineados en una misma dirección (→), la cual se traza determinando dos puntos (P1, P2). La recta puede dibujarse en forma: a) paralela al eje X y perpendicular al eje Y, o b) paralela al eje Y y perpendicular al eje X, o c) oblicua, por lo que tiene inclinación; es decir, la recta tiene pendiente. La pendiente o pendiente angular de una recta se define como la tangente de su ángulo de inclinación, se designa comúnmente con la letra m, y se escribe como m = tag α. Si P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos cualesquiera de la recta, entonces la pendiente de la recta es: m = (y1 – y2)/(x1 – x2); x1≠ x2.

2.3 Definición, tipos y multiplicación de matrices Una matriz es una ordenación de números colocados en filas y columnas, encerrados entre paréntesis, corchetes o barras. Cada uno de los números que conforman la matriz se llama elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa; es decir, el renglón (fila) y la columna a la que pertenece. La dimensión de la matriz se denota por el símbolo m × n, donde m es el número de filas y n es el número de columnas de la matriz.

2.3 Definición, tipos y multiplicación de matrices Matriz cuadrada: Una matriz cuadrada contiene el mismo número de filas como de columnas en sus elementos; es decir, m = n. Matriz triangular superior: Una matriz cuadrada cuyos elementos aij = 0 para i > j. Matriz triangular inferior: Una matriz cuadrada cuyos elementos aij = 0 para i < j. Matriz triangular diagonal: A la matriz cuyos elementos superiores e inferiores son nulos, se le conoce como matriz diagonal. Matriz unidad o identidad: A la matriz diagonal cuyos elementos adquieren valores numéricos de unos (1) en su diagonal principal, se le denomina matriz unidad, y se le representa con la letra mayúscula I.

2.3 Definición, tipos y multiplicación de matrices Matriz invertible: Una matriz cuadrada A de orden n es invertible, no singular, no degenerada, si existe una matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa; representada como 𝐴 −1 , tal que A× 𝐴 −1 = 𝐴 −1 ×A = I, donde I es la matriz identidad de orden n. Una matriz no invertible es singular o degenerada si, y sólo si, su determinante es nulo.

2.3 Definición, tipos y multiplicación de matrices Multiplicación de una matriz por un escalar Se obtiene de acuerdo con la siguiente fórmula: 𝑘𝐴=[𝑘 𝑎 𝑖𝑗 ]m×n Multiplicación de dos matrices Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B, se obtiene una matriz C = [cij] donde los elementos cij se calculan con la siguiente fórmula: 𝑐 𝑖𝑗 = 𝑘=1 𝑝 𝑎 𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑗 (i = 1,2,...m;j=1, 2,..n)

2.4 Importancia del álgebra en la solución de problemas El álgebra es una ciencia cuyo objetivo es simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números por medio del uso de letras llamadas literales. Un problema algebraico es toda cuestión en la que se tiene que hallar una o más cantidades desconocidas llamadas incógnitas, relacionadas con otras cantidades conocidas denominadas datos. Para resolver un problema se representa la incógnita utilizando generalmente las últimas letras del alfabeto y luego se expresa la relación que hay entre los datos y las incógnitas por medio de ecuaciones.

Sea el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas:  2.5 MÉTODOS DE REDUCCIÓN, SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN, KRAMER y MATRIZ INVERSA Método de reducción Sea el siguiente sistema de ecuaciones algebraicas simultáneas: a) 2X + 4Y = 40 b) 6X + 2Y = 30 Multipliquemos la ecuación b) por -2, para igualar los coeficientes de Y en las dos ecuaciones: c) – 12 X − 4Y= − 60 Se suma la nueva ecuación c) con la ecuación a) para obtener: 2X + 4Y - 40 −12X − 4Y + 60 = −10X +20 = 0 Despejamos y obtendremos que X = 2 Sustituimos el valor de X = 2 en cualquiera de las dos ecuaciones dadas y despejamos Y Elijamos la ecuación a) 2X + 4Y = 40 y obtendremos que el valor de Y = 9 Comprobemos si los valores obtenidos son correctos, sustituyéndolos en cualquiera de las ecuaciones a) o b) 2(2) + 4(9) = 40 6(2) + 2(9) = 30

2.5 MÉTODOS DE REDUCCIÓN, SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN, KRAMER y MATRIZ INVERSA Método de sustitución a) 2X + 4Y = 40 b) 6X + 2Y = 30 Para resolver el sistema de ecuaciones, primero despéjese de la ecuación a) o b) cualquier incógnita X o Y. Despejemos de la ecuación a) la incógnita X: X = (40−4Y)/2 Sustitúyase X = (40 − 4Y)/2 en la ecuación 6X + 2Y=30; 6(40−4Y)/2+2Y=30 Obtenemos una ecuación con una incógnita, pues hemos eliminado la X Resolvemos esta ecuación simplificándola de la siguiente manera: 3(40 − 4Y) + 2Y = 30; 120 − 12Y + 2Y = 30; − 12Y + 2Y = 30 − 120; − 10Y = − 90; Y = 9 Sustitúyase Y = 9 en a) o en b), por ejemplo, en b) 6X + 2Y = 30 Se obtiene: 6X + 2(9) = 30; 6X + 18 = 30; 6X = 30 − 18; 6X = 12; X = 2

2.5 MÉTODOS DE REDUCCIÓN, SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN, KRAMER y MATRIZ INVERSA Método de igualación a) 2X + 4Y = 40 b) 6X + 2Y = 30 Despejemos en ambas ecuaciones a) o b) alguna de las dos incógnitas X o Y. Despejando Y en la ecuación 2X + 4Y = 40 ⇒ Y = (40−2X)/4 Despejando Y en la ecuación 6X + 2Y = 30 ⇒ Y = (30−6X)/2 Ahora se igualan entre sí los dos valores de X que hemos obtenido: (40 − 2X)/4 = (30 − 6X)/2 Resolvemos esta ecuación simplificándola de la siguiente manera: 2(40 − 2X) = 4(30 − 6X); 80 − 4X = 120 − 24X; − 4X + 24X = 120 − 80; 20X = 40; X = 2 Sustitúyase la expresión X = 2 en la cualquiera de las ecuaciones a) o b); por ejemplo, en a) 2X + 4Y = 40 se obtiene: 2(2) + 4Y = 40; 4Y = 40 − 4; 4Y = 36; Y = 9

2.5 MÉTODOS DE REDUCCIÓN, SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN, KRAMER y MATRIZ INVERSA Método de Kramer El método de Kramer utiliza operaciones aritméticas basadas en determinantes para solucionar sistemas de ecuaciones lineales que conforman una matriz cuadrada. El valor de la incógnita X es una fracción cuyo denominador es la determinante formada por los coeficientes de las incógnitas X y Y (determinante del sistema) y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema, la columna de los coeficientes de la incógnita X que se halla por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas. El valor de la incógnita Y es una fracción cuyo denominador es la determinante formada por los coeficientes de las incógnitas X y Y (determinante del sistema) y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema, la columna de los coeficientes de la incógnita Y que se halla por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.

2.5 MÉTODOS DE REDUCCIÓN, SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN, KRAMER y MATRIZ INVERSA Para resolver sistemas de ecuaciones lineales con el método de la matriz inversa: Se forma una matriz aumentada cuyos componentes se encuentran constituidos del lado izquierdo por la matriz de coeficientes y del lado derecho por medio de la matriz identidad, es decir: [ A | I ]. Por medio de operaciones aritméticas obtenemos la matriz inversa ( 𝐴 −1 ); para lograr el objetivo, es necesario convertir la matriz de coeficientes ( A ) en una matriz identidad ( I ), de tal manera que los valores de la matriz identidad ( I ) asuman los valores de la matriz inversa ( 𝐴 −1 ). Se comprueba que los valores de la matriz inversa son los correctos, para esto debemos multiplicar la matriz de coeficientes ( A ) por su inversa ( 𝐴 −1 ) a fin de obtener una matriz identidad ( I ) y viceversa; es decir, 𝐴 −1 A = A 𝐴 −1 = I. Multiplicamos la matriz inversa ( 𝐴 −1 ) por la matriz de términos independientes ( D ), para obtener las incógnitas buscadas ( X ); es decir, X = 𝐴 −1 D.

2.6 Método de Gauss-Jordan Tenemos un sistema de ecuaciones lineales. Del sistema, se forman una matriz A (matriz de coeficientes) y un vector D (vector de términos independientes). Se forma una matriz aumentada cuyos componentes están constituidos del lado izquierdo por la matriz de coeficientes (A) y del lado derecho por el vector de términos independientes D. Por medio de operaciones aritméticas basadas en transformaciones lineales de los renglones, convertimos la matriz de coeficientes ( A ) en una matriz identidad ( I ), con el objetivo de encontrar directamente los valores de las incógnitas x, y y z de la matriz de variables ( X ).