Teoría de Juegos Sesión #1 Juegos Secuenciales Dixit & Skeath, 3 Mas Colell, 9.A, 9.B.1 – 9.B.3

Juegos Secuenciales Orden de Juego Estricto Si hago esto, ¿Cómo va a reacciones el(los) otro(s)? Observo lo que hacen el(los) otro(s) y respondo, y ellos observan lo que yo hago, y responden – Es necesaria la observación de las acciones de los otros para que sea secuencial – No observar las acciones de los otros es equivalente a jugar en forma simultánea!

Elementos de la representación extensiva de un juego Consiste de un árbol de decisión con todas las estrategias de los participantes, y los pay-offs asociados a cada uno de los resultados posibles El árbol de decisión está compuesto por nodos: Nodo inicial Nodo de decisión – Puntos específicos del juego en donde cada jugador debe tomar una decisión Nodos terminales, que indican los resultados posibles del juego en términos de estrategia y de pay-offs Juegos secuenciales de información perfecta: No sólo conozco mi estructura de pay-offs sino también la de mis “oponentes”, y soy capaz de observar su(s) decisiones en cada uno de los nodos de decisión que les corresponden

La carrera por un puesto como Senador Representación Extensiva de un Juego Secuencial GRAY, GREEN 1, 1 3, 3 2, 4 4, 2 b c No Ads Ads GRAY a FIGURE 3.1 Tree for Senate Race Game

4 ¿Cuáles son las estrategias - puras - de cada jugador? Gray Green Set de Información: Estrategia (en el set) Total a 2 (ADS, NO ADS) = 2 Green b 2 (IN, OUT) = 2 c 2 (IN, OUT) = 2 x IN, IN OUT, IN IN, OUT OUT, OUT 4

Criterios de Solución: Inducción hacia atrás Se divide el juego en sub-juegos, y se empiezan a resolver los sub-juegos desde el final hacia el principio Cada sub-juego debe partir de un nodo de decisión – y de un set de información - y llegar hasta los nodos terminales que se derivan de esta estrategia Este procedimiento está estrechamente relacionado con la idea de racionalidad secuencial, porque parte de la base de que cada jugador se va a comportar de forma óptima en cada uno de los nodos de decisión secuenciales (Rollback = Backward Induction)

Criterios de Solución: Inducción hacia atrás En este caso, jugar primero es una ventaja, no siempre es así 1, 1 3, 3 2, 4 4, 2 GREEN b c No Ads Ads GRAY a GRAY,

Criterios de Solución: Inducción hacia atrás (cont.) 1, 1 3, 3 2, 4 4, 2 GREEN b c No Ads Ads GRAY a GRAY,

Equilibrio en juegos secuenciales finitos de información perfecta La solución encontrada utilizando inducción hacia atrás es también un equilibrio – único – en el sentido de Nash: Cada jugador observa las acciones de sus oponentes y da su mejor respuesta – No tiene incentivo para cambiar Teorema de Zermelo: Cada juego secuencial de información perfecta tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura que puede ser derivado por inducción hacia atrás – backward induction – Ese equilibrio es único si ningún jugador tiene pay-offs iguales en algún nodo de decisión a lo largo del juego

Ejemplo: ¿Y si cambiamos el orden de decisión? 1 , 1 4 , 2 3 , 3 , 4 GRAY Out In GREEN , GRAY

Ejemplo: Empresa Incumbente y Entrante ENT, INCUMB FIGHT -3, -1 INCUMBENTE b 2, 1 IN ACCOMODATE ENTRANTE a “FIGHT” NO ES UNA AMENAZA CREIBLE OUT 0, 2 c

Ejemplo: Take or Pass on US $10 B Pass A Pass B Pass B Pass 0, Take Take Take Take Take 10, 0, 20 30, 0, 40 0, 100 Payoffs all shown as A, B

Teoría de Juegos Sesión #2 Juegos Secuenciales (cont.) Dixit & Skeath, 3 Mas-Colell, 7.C-7.D, 9.A-9.B

Repaso (Rollback = Backward Induction) Criterios de Solución: Inducción hacia atrás Se divide el juego en sub-juegos, y se empiezan a resolver los sub-juegos desde el final hacia el principio Cada sub-juego debe partir de un nodo de decisión – y de un set de información - y llegar hasta los nodos terminales que se derivan de esta estrategia - La división del juego en sub-juegos no puede “partir” sets de información Este procedimiento está estrechamente relacionado con la idea de racionalidad secuencial, porque parte de la base de que cada jugador se va a comportar de forma óptima en cada uno de los nodos de decisión secuenciales

Repaso (continuación) Criterios de Solución: Inducción hacia atrás La clave del rollback equilibrium NO ES ¿Qué haría yo en esa situación?, sino ¿Qué haría mi oponente – de acuerdo con su sistema de valores – en esa situación? – Como a veces los sistemas de valores no son conocidos, muchos juegos son de información asimétrica o incompleta ¿Jugar primero es una ventaja o una desventaja?

La carrera por un puesto como Senador Representación Extensiva de un Juego Secuencial GRAY, GREEN 1, 1 3, 3 2, 4 4, 2 b c No Ads Ads GRAY a FIGURE 3.1 Tree for Senate Race Game

Ejemplo: ¿Y si cambiamos el orden de decisión? 1 , 1 4 , 2 3 , 3 , 4 GRAY Out In GREEN , GRAY

4 Solución: ADS; OUT-IN Juego Invertido: IN; NO ADS, NO ADS ¿Cuáles son las estrategias - puras - de cada jugador? Gray Set de Información: Estrategia (en el set) Total a 2 (ADS, NO ADS) = 2 Green b 2 (IN, OUT) = 2 c 2 (IN, OUT) = 2 x IN, IN OUT, IN IN, OUT OUT, OUT 4 Solución: ADS; OUT-IN Juego Invertido: IN; NO ADS, NO ADS

Tres tiendas por departamento decidiendo secuencialmente en qué mall ubicarse: Rural o Urbano Reglas del Juego 1) Cada tienda por departamento decide en su turno si: a) Trata de obtener un lugar en el mall urbano, y si falla se va al rural (U), o b) Buscar un local en el rural de una vez (mejor ubicación) (R) 2) En el mall urbano caben sólo dos tiendas, en el rural caben tres Las tres tiendas tienen un sistema de valores (PAYOFFS) similar para valorar los posibles resultados del juego: 5: En el mall urbano con otra tienda 4: En el rural mall con una o dos tiendas más 3: Sólo en el mall urbano 2: Sólo en el mall rural 1: Sólo en el rural luego de haber intentado obtener un lugar en el urbano y fallado (porque pierdo la mejor ubicación con otros tiendas aunque no sean por departamentos)

Juego 3 Tiendas por Departamentos 1, 5, 5 2 2, 3, 4, 4 3 TITAN R d e f g BIG GIANT b c FRIEDA’S a PAYOFFS (F,B,T)

4 ¿Cuáles son las estrategias - puras - de cada jugador? FRIEDA’S Set de Información: Estrategia (en el set) Total a 2 (U, R) = 2 BIG GIANT b 2 (U, R) = 2 c 2 (U, R) = 2 x U, U U, R R, U R, R 4

16 Estrategias - puras - de cada jugador TITAN Set de Información: Estrategia (en el set) Total d 2 (U, R) = 2 e 2 (U, R) = 2 f 2 (U, R) = 2 g 2 (U, R) = 2 x U, U, U, U U, U, U, R U, U, R, U U, R, U, U R, U, U, U U, U, R, R U, R, R, U R, R, U, U U, R, U, R R, U, R, U R, U, U, R U, R, R, R R, U, R, R R, R, U, R R, R, R, U R, R, R, R 16

# de estrategias jugador 3 = 2 = 16 2 (3-1) Dos métodos más para estimar el número de estrategias en juegos de tipo secuencial “puro” Para juegos de n jugadores, en donde cada jugador tiene el mismo número de opciones en cada nodo de decisión y juega una sola vez, siendo ese número de opciones b, el número de estrategias disponibles para el jugador n es: En el ejemplo de las tiendas por departamentos, 3 jugadores, cada uno con 2 opciones # de estrategias = b b (n-1) # de estrategias jugador 3 = 2 = 16 2 (3-1) # de estrategias jugador 2 = 2 = 4 (2-1)

# de estrategias jugador 3 = 2 = 16 (2*2) Dos métodos más para estimar el número de estrategias en juegos de tipo secuencial “puro” (cont.) Para juegos de n jugadores, en donde cada jugador tiene un número de opciones en cada nodo de decisión que puede diferir del número de decisiones disponibles a otros jugadores en sus nodos de decisión, siendo bi el número de opciones disponibles al jugador i, el número de estrategias disponibles para el jugador n es: En el ejemplo de las tiendas por departamentos, 3 jugadores, cada uno con 2 opciones # de estrategias = bn (b1*b2*…*b(n-1)) # de estrategias jugador 3 = 2 = 16 (2*2)

A pesar de que la definición de estrategias en este caso es más complicada, la definición del roll-back equilibrium es sencilla... U 1, 5, 5 2 2, 3, 4, 4 3 TITAN R d e f g BIG GIANT b c FRIEDA’S a PAYOFFS (F,B,T) Equilibrium Strategies TITAN: UUUR BIG GIANT: UU FRIEDA’S: R X X X X X X X

Solución: (R, UU, RRRU) En el mall Urbano aplican Big Giant y Titan, mientras Frieda’s decide aplicar directamente en el Mall Rural Obsérvense que los pay-offs de cada uno son consistentes con las definiciones hechas anteriormente, Frieda’s se ganó 2 porque esta sola en el Mall Rural habiendo aplicado de primero allí (2), mientras que Big Giant y Titan disfrutan del mejor de los escenarios, que es aplicar directamente en el Mall Urbano y quedarse allí junto con otra tienda por departamentos (5) En el ejercicio Frieda’s es la tienda más pequeña, por lo que se mueve más rápido con los papeles de aplicación y por tal razón juega primero ¿Representa eso una ventaja dentro de la estructura actual? – Ejercicio: Resolver el juego con el orden de elección inverso (Tip: Al ser la más pequeña, probablemente tenga menores probabilidades de obtener el local en el Urban Mall si las tres aplican)

Agregando más “turnos” para cada jugador Vieja versión simplificada (X escoge primero, siempre gana) bottom left Player O Player X X wins top right

Juegos para desarrollar en clase Split, un dólar, cien dólares, quinientos dólares – Dos jugadores, comienza A y propone una división para el monto en cuestión, si B lo acepta hecho, si lo rechaza los dos ganan cero Valores – Dinero no es Utilidad, la Utilidad depende del set de valores Sumas a 100 – 2 jugadores secuencialmente suman números del uno al diez, gana quien lleve el total hasta 100 Backward Induction: Quien lleve al contrario a jugar en 89 gana Estrategia ganadora para quien juega primero: 1, luego 11-lo que diga el oponente – Jugar primero es una ventaja (si no te equivocas) Sumas a 99 – 2 jugadores secuencialmente suman números del uno al diez, gana quien lleve el total hasta 100 Backward Induction: Quien lleve al contrario a jugar en 88 gana Estrategia ganadora para quien juega segundo: 1, luego 11-lo que diga el oponente – Jugar segundo es una ventaja (si no te equivocas)

Ejercicios Prácticos – Dixit Capítulo 3, Ejercicio 2a Estrategias: Dixit A = 2 (N , S) B = 2 (t, d) Según las definiciones de la Lámina 11: Según las definiciones de la Lámina 12: (pié de página 3, pag.61) B = 4 (TT, TB, BT, BB), pero si A escoge “S” no hay diferencia entre los payoffs de jugar T, o B N A S t B b 0, 2 2, 1 1, X # de estrategias jugador 2 = 2 = 4 2 (2-1) X # de estrategias jugador 2 = 2 = 4 2 Solución: (S; T,T) ó (S; T,B)

Ejercicios Prácticos – Dixit Capítulo 3, Ejercicio 2b Estrategias: Dixit A = 8 “N”, “N” si b, “N” si d “N”, “N” si b, “S” si d “N”, “S” si b, “N” si d “N”, “S” si b, “S” si d “S”, “N” si b, “N” si d B = 2 “T”si “N” “B”si “N” C = 2 “U”si “S” “D” si “S” La estrategia especifica cada acción en cada nodo de decisión del jugador, aunque su propia estrategia los haga irrelevante t B b 1, 1 N A S 2, 3, 2 0, u C d 3 4 X X X X X