Teoría de Juegos Sesión #4

Presentación del tema: "Teoría de Juegos Sesión #4"— Transcripción de la presentación:

1 Teoría de Juegos Sesión #4
Combinaciones de Juegos Simultáneos y Secuenciales Dixit & Skeath, 6 Mas-Colell, 9.A - 9.B

2 Juego Secuencial – The Senate Race Forma Extensiva
1, 1 3, 3 2, 4 4, 2 GREEN b c No Ads Ads GRAY a GRAY,

3 Representación Normal (o Estratégica) -
GRAY In, In In, Out GREEN 1, 1 Ads No Ads Out, In Out, Out 2, 4 4, 2 3, 3 Nuevo Equilibrio de Nash que no aparece en la resolución del juego por inducción hacia atrás Nunca es mejor respuesta para Green No puede formar parte de un equilibrio de Nash de estrategia pura

4 Resolviendo la estrategia mixta de Gray (p-mix) que hace a Green indiferente podemos demostrar que una estrategia que nunca es mejor respuesta no puede formar parte de un equilibrio de Nash mixto Green’s Expected Payoff 1 p -Mix 4 3 2 IN-IN OUT-IN OUT-OUT IN-OUT

5 Juegos Secuenciales en su Forma Normal (Estratégica)
Nótese que el juego The Senate Race resuelto a través de inducción hacia atrás y representado en forma extensiva, conduce a una solución unívoca – de acuerdo con el Teorema de Zermello – que es también un equilibrio de Nash Cuando ese mismo juego es representado en su forma normal (lámina anterior) y resuesto a través de eliminación sucesiva de estrategias estrictamente dominadas o eliminación sucesiva de estrategias que nunca son una mejor respuesta, el juego no tiene solución Más aún, en ese caso la inspeccíon celda por celda nos va a revelar un equilibrio de Nash nuevo que se obtuvo haciendo inducción hacia atrás (2,4) – (No Ads; In-In)

6 Juegos Secuenciales en su Forma Normal (Estratégica)
Esta diferencia en soluciones (única en inducción hacia atrás e inexistente cuando se resuelve el juego en su representación normal a través de dominancia) y equilibrios de Nash (único en inducción hacia atrás y múltiple en su representación normal) es debida a que se están utilizando métodos de solución distintos dentro de representaciones del juego que procuran ser equivalentes La conclusión es que aún cuando el diagrama de pagos de un juego secuencial se puede representar en su forma normal, la búsqueda de la solución y equilibrios se debe hacer a través del método de inducción hacia atrás (se adapta mejor a juegos secuenciales porque si no existe un nodo en el que el jugador se enfrente a pagos iguales va a existir una solución y equilibrio única)

7 Juegos Secuenciales en su Forma Normal (Estratégica)
Cuando se observa que para cualquier p-mix de Gray, la estrategia Out-In de Green es débilmente dominante (si p=0, le da lo mismo que In-In; si p=1, le da lo mismo que Out-Out), uno se siente tentado a decir que Gray sabe que Green siempre va a jugar Out-In y en consecuencia Gray hace la campaña (su mejor respuesta a Out-In), obteniéndose una solución similar a la que conseguimos a través de la inducción hacia atrás (Ads; Out-In), (3,3) Sin embargo eso no es 100% correcto, porque Out-In es débilmente dominante, y ya hemos estudiado que resolver juegos por dominancia débil podría conducir a resultados equivocados en aquellos juegos en los que existe más de una estrategia débilmente dominada Utilizar eliminación sucesiva de estrategias débilmente dominantes para encontrar equilibrios de Nash es válido, pero si existen varias estrategias de ese tipo se deben estudiar TODOS los órdenes posibles de eliminación

8 La Batalla del Mar de Bismarck
USAF North South JAPANESE NAVY 2 1 3 (a) Forma Normal o Estratégica Dado que este juego se puede resolver utilizando dominancia estricta, la resolución de estrategias mixtas da que existe un único equilibrio de Nash, en donde p=1, q=1

9 Juegos Simultáneos en su Forma Extensiva
Se puede representar un juego simultáneo en su forma extensiva, pero necesito algo que me indique que cuando un jugador decide – aunque en el tiempo haya decidido posteriormente a los otros – aún no tiene conocimiento de las acciones de los demás Set de Información: Línea punteada que engloba varias decisiones de un jugador en cierta etapa del juego, para indicar que el jugador no ha sido capaz de observar la acción tomada por el jugador inmediatamente en el nodo anterior a su decisión Siendo así, sus estrategias disponibles dentro de un mismo set de información deben ser siempre las mismas

10 Juegos Simultáneos en su Forma Extensiva
(b) Forma Extensiva USA, JAPAN SET de INFORMACIÓN 2, -2 JAPAN North 2, -2 USAF 1, -1 South 3, -3

11 Combinación de Juegos Simultáneos y Secuenciales
Investigación y desarrollo (RD) Reglas del Juego El juego toma lugar durante un año Cada empresa por separado (Kumquat y Kiwifruit) toma decisiones por separado sobre el monto a invertir en RD Kumquat y Kiwifruit producen el mismo tipo de productos, saben que el otro etá invirtiendo en RD, pero no saben cuánto La única manera de tener idea de cuánto invirtió la otra firma en RD es observar la calidad del producto final presentado por cada una, lo que ocurre en un show industrial realizado una vez al año Para simplificar, el presupuesto de RD puede ser Grande o Pequeño

12 Combinación de Juegos Simultáneos y Secuenciales
Investigación y desarrollo (RD) Reglas del Juego (continuación) Una vez que las firmas observan la calidad de los productos del otro, deben decidir los precios que ponen a sus productos, en forma simultánea, escogiendo entre Altos (H) y Bajos (L) Un presupuesto Bajo probablemente producirá un producto con pocas cualidades especiales, y uno más alto viceversa Los payoffs en lugar de ser beneficios – que son más dicíciles de calcular – representan cómo cada jugador clasifica los posibles resultados que podrían ocurrir En la estructura de payoffs se supone (esto no es una regla) que productos de mayor calidad (mejores cualiddes( son más costosos de producir, y que hay siempre consumidores dispuestos a comprar el producto de menor cualidades sólo porque es más barato

13 Combinación de Juegos Simultáneos y Secuenciales
Investigación y desarrollo 5, 5 2, 6 6, 2 4, 4 3 3, 1 1, 7 7, KIWIFRUIT KUMQUAT H L Information set PEQUEÑO GRANDE TRADE SHOW Ambos Tienen productos High-quality High-Q, Low-Q Low-Q, High-Q Anuncian Productos de Calidad limitada

14 Juegos Simultáneos y Secuenciales Combinando Dominancia con Inducción
Cada empresa tiene 16 estrategias puras (Precio H si ambas decidimos RD grandes, precio H si mi RD es Grande y el otro no...) Nótese que de los cuatro juegos simultáneos finales, los dos juegos en los que ambos han decidido similar RD (sea Grande o Pequeño) son Dilemas de Prisionero, cada empresa tiene una estrategia dominante a poner precios Bajos (L) Los dos juegos restantes en los que ambas escogen RD diferentes no son Dilemas de Prisionero, pero sí tienen estrategias dominantes: La firma que invierte menos en RD siempre tiene como estrategia dominante poner precios bajos (L) Dados estos cuatro resultados, podemos utilizar inducción hacia atrás para decidir las mejores estrategias de RD (PEQUEÑO, PEQUEÑO)

15 Combinaciones de Juegos Simultáneos y Secuenciales con Estrategias Mixtas – Football 20 yardas
Reglas del Juego: Al equipo a la ofensiva le quedan dos turnos y necesita avanzar 20 yardas para ganar Si avanza 20 yardas gana (payoff=1), si no avanza 20 yardas pierde (payoff=0) Tiene dos opciones: Trata de avanzar 20 yardas de una vez en el tercer turno, y si falla vuelve a tratar de avanzar 20 en el cuarto; o b) Trata de avanzar 10 yardas en cada turno El entrenador del equipo contrario sabe que esas son las opciones y debe decidir en cada turno si arma una defensa para protegerse de ataques de 10 yardas o de 20 yardas

16 Resolviendo por inducción hacia atrás
Cuarto Turno Si se llega al cuarto turno es porque: La ofensiva avanzó 0 yardas en el tercer turno, en cuyo caso necesita avanzar 20 en el cuarto (y la defensa lo sabe), La ofensiva avanzó 10 yardas en el tercero y necesita sólo 10 yardas más en el cuarto (la defensa lo sabe) 20 Yardas 4to.turno (Solución Unica) OFFENSE 10 20 DEFENSE 1 / 2

17 Resolviendo por inducción hacia atrás (cont.)
OFFENSE 10 20 DEFENSE 4 / 5 1 2 b) 10 Yardas 4to.turno Cualquier estrategia exitosa para la ofensiva lo lleva a ganar (payoff=1), sea que utiliza la jugada de 20 yardas y le defensiva se prepara para 10, o viceversa Si la defensiva adivina la jugada, existen dos casos: a) Si adivina la jugada de 10 yardas, aún así tiene 80% de probabilidades de perder el juego (aparentemente estas jugadas son fáciles) b) Si adivina la jugada de 20 yardas, están 50%-50%

18 Resolviendo por inducción hacia atrás (cont.)
b) 10 Yardas 4to.turno OFFENSE 10 20 DEFENSE 4 / 5 1 2 p-mix= 5/7 q-mix= 5/7 Payoff esperado: 6/7

19 Resolviendo por inducción hacia atrás (cont.)
OFFENSE 10 20 DEFENSE 11 / 14 6 7 1 3 4 3er. Turno a) b) c) d) Si la ofensiva decide intentar la jugada de 10 yardas y la defensa cubra 10 yardas, la ofensiva tiene 4/5 de tener éxito (payoff=1), y 1/5 de fracasar y luego intentar lograr 20 yardas en el cuarto chance, con probabilidad de 1/2 (4/5 x 1 + 1/5 x 1/2) = 11/14 Si la ofensiva ataca por 10 yardas y la defensa se prepara para 20, la ofensiva tiene 6/7 de probabilidades de alcanzar las otras diez yardas en el cuarto chance Si la ofensiva ataca para 20 yardas, y la defensa se prepara para 10, la ofensiva gana Si la ofensiva va por 20 yardas y la defensa lo adivina, la ofensiva tiene 1/2 de probabilidades de ganar (payoff=1), y 1/2 de fracasar, y 1/2 de lograr 20 yardas en el último chance (1/2 x 1 + 1/2 x 1/2) = 3/4

20 Resolviendo por inducción hacia atrás (cont.)
OFFENSE 10 20 DEFENSE 11 / 14 6 7 1 3 4 3er. Turno a) b) c) d) Este juego a su vez tiene una estrategia mixta de p-mix = 7/9, q-mix = 1/3, con payoff esperado para la ofensiva de 5/7 Nótese que ningún entrenador ordena atacar por 10 yardas con 7/9 de probabilidad, pero sí debe aprender a mezclar sus jugadas, si se vuelve predecible (estrategia pura) el oponente puede explotar esa estrategia en su beneficio La probabilidad de escoger la jugada 10 yardas para la ofensiva es alta (7/9), esa estrategia es más segura, sus payoffs están más cercanos entre sí que los de jugar 20 yardas; para la defensiva la probabilidad de cubrir 20 yardas es 2/3 porque equivocarse en ese nivel equivale a perder el juego

21 Juegos desarrollados para ilustrar Subgame Perfect Nash Equilibria (SPNE)
Si, A-A, entonces:

22 Juegos desarrollados para ilustrar Subgame Perfect Nash Equilibria (SPNE)