PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR CURSO “INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS” SEPTIEMBRE - NOVIEMBRE 2015 CLASE N°1 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES POLINOMIOS CONJUNTOS MATERIAL ELABORADO POR LILIA ÁLVAREZ LÓPEZ

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES Se deja al estudiante la lectura del Apéndice 1 de la guía “Curso semi-presencial de MA1111”. Haz clic en la imagen para ver el documento REPASO DE PUNTOS ESENCIALES A continuación se realizará un repaso de algunos temas que serán necesarios manejar correctamente para poder cumplir de manera exitosa con todos los contenidos del curso

POLINOMIOS Se denomina polinomio real a toda expresión algebraica de la forma 𝒑 𝒏 𝒙 = 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 +…+ 𝒂 𝟏 𝒙+ 𝒂 𝒐 donde los coeficientes (ao, a1,…,an) son números reales y los exponentes de la variable (n, n-1,…) son números naturales. NO hay variables como denominador. NO hay variables en raíces = NO hay exponentes fraccionarios.

𝒑 𝒏 𝒙 = 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 +…+ 𝒂 𝟏 𝒙+ 𝒂 𝒐 𝒑 𝒏 𝒙 = 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒏−𝟏 +…+ 𝒂 𝟏 𝒙+ 𝒂 𝒐 Términos o monomios: Sumandos de la relación (ej: 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 ) Coeficiente: Parte numérica y literal que acompaña a la variable (ej: 𝑎 𝑛 ) Término independiente: Aquel donde el exponente de la variable es 0 ( 𝑎 0 ) Grado del polinomio: Mayor exponente al cual está elevada la variable con coeficiente diferente de 0 (n) IMPORTANTE: A continuación se presentan algunos ejemplos de operaciones con polinomios. Resuelve primero el ejercicio por ti mismo y después observa la resolución para verificar tu respuesta! Operaciones con polinomios: Suma, resta, multiplicación, división.

¿Qué se está pidiendo? ¿p(x)-q(x) o q(x)-p(x)? Ejemplo 1.- Operaciones con polinomios. Suma y resta de polinomios Restar 𝑞 𝑥 = 𝑥 4 −2 𝑥 2 + 𝑥 3 +5 al polinomio 𝑝 𝑥 =3 𝑥 2 −4 𝑥 3 +𝑥−1 ¿Qué se está pidiendo? ¿p(x)-q(x) o q(x)-p(x)? p(x)-q(x) . Pendiente con los enunciados! Se suman o restan los términos semejantes, es decir, los que tienen el mismo factor literal 𝑝 𝑥 = 0𝑥 4 −4 𝑥 3 +3 𝑥 2 +𝑥−1 𝑞 𝑥 = 𝑥 4 + 𝑥 3 −2 𝑥 2 +0𝑥+5 𝑟 𝑥 = −𝑥 4 −5 𝑥 3 +5 𝑥 2 +𝑥−6 RECUERDA: El grado del polinomio resultante será menor o igual al grado del polinomio de mayor grado.

(b) Multiplicación de polinomios Multiplicar los polinomios 𝑝 𝑥 =𝑥−3 y 𝑞 𝑥 = 𝑥 2 +2𝑥−1 Se multiplican los polinomios término a término. 𝑝 𝑥 =𝑥−3 𝑞 𝑥 = 𝑥 2 +2𝑥−1 x 𝑥 3 −3 𝑥 2 2 𝑥 2 −6𝑥 + −𝑥+3 𝑟 𝑥 = 𝑥 3 − 𝑥 2 −7𝑥+3 ¿Cómo es el grado del polinomio resultante? El grado del polinomio resultante es la suma del grado de cada polinomio.

(c) División de polinomios Dividir el polinomio 𝑝 𝑥 = 𝑥 5 − 𝑥 4 +2 𝑥 3 +4 𝑥 2 +3𝑥−4 entre 𝑞 𝑥 = 𝑥 2 +1 Ordenamos el dividendo y divisor en forma decreciente. Se debe completar el dividendo cuando no lo esté. D(x): Dividendo; d(x): Divisor; C(x): Cociente; R(x): Resto. Haz clic en la imagen para ir a la página web ¿Cómo es el grado del cociente? El grado del cociente es la diferencia del grado del dividendo y el divisor.

Raíces de un polinomio: Valores “x” para los cuales el polinomio vale 0. El número de raíces es igual al grado del polinomio. Multiplicidad de raíces - > Cuando un polinomio tiene como varias raíces un mismo número. Ejemplo 2.- Raíces de polinomios. 𝑥 2 +7𝑥+12=(𝑥+3)(𝑥+4) Las raíces del polinomio son x = -3 y x = -4 𝑥 3 +4 𝑥 2 +𝑥−6=(𝑥+3)(𝑥+2)(𝑥−1). Las raíces del polinomio son x = -3, x = -2 y x = 1. 𝑥 2 +1 ¿Qué sucede en este caso? Tiene raíces imaginarias. 𝑥 2 +1= 0 NO tiene solución en ℝ.

Factorización de polinomios   Factor común: Constituye una aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación. 𝒑 𝒙 𝒒 𝒙 +𝒑 𝒙 𝒓 𝒙 =𝒑 𝒙 [𝒒 𝒙 +𝒓 𝒙 ] Factorización de polinomios de segundo grado (𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0) (b.1) Aplicación de resolvente 𝒙= −𝒃± 𝒃 𝟐 −𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂  𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=(𝒙− 𝒙 𝟏 )(𝒙− 𝒙 𝟐 ) (b.2) Método “San Martín” (Yo lo llamo así porque se buscan dos números que Sumados den a y Multiplicados den b) Se buscan dos números m,n tales que: 𝒎+𝒏=𝒂 𝒎𝒏=𝒃 𝒂 𝒙 𝟐 +𝒃𝒙+𝒄=(𝒙−𝒎)(𝒙−𝒏)

Haz clic en la imagen para ir a la página web (c) Regla de Ruffini o división sintética Recomendada para polinomios de grado mayor o igual a 3. Haz clic en la imagen para ir a la página web Ejemplo 3.- Factorización de polinomios. 𝑎 𝑥+2 −𝑥−2 =𝑎𝑥+2𝑎−𝑥−2=𝑥 𝑎−1 +2 𝑎−1 =(𝒂−𝟏)(𝒙+𝟐) (Factor común) (b) 𝑥 3 −11𝑥 2 +24𝑥 =𝑥 𝑥 2 −11𝑥+24 =𝒙 𝒙−𝟑 𝒙−𝟖 (San Martín) m+n=-11 m.n=24 Resolviendo el sistema se tiene m = - 3 y n = - 8. ¿Cuáles son las raíces del polinomio? x = 3 y x = 8. Recomendación: Uso del método “San Martín” cuando sea fácilmente visible las raíces (por tanteo, sin resolver el sistema directamente), sino usar resolvente.

Se debe completar el polinomio en caso de que no lo esté 𝑐 3 𝑥 4 +5𝑥 3 −5 𝑥 2 −5𝑥+2 (Regla de Ruffini) (c.1) Se identifican las posibles raíces del polinomio. Las mismas vienen dadas por los divisores exactos del término independiente (±1, ±2) dividido los divisores exactos del coeficiente del término de mayor grado (±1, ±3). Así, en este caso, las posibles raíces son: x = ±1, ±2, ±1/3, ±2/3. (c.2) Usando la regla de división de Ruffini se divide el polinomio p(x) entre cada una de las posibles raíces, hasta encontrar una que de por residuo de la división cero. Se acostumbra a empezar por las raíces enteras. Se debe completar el polinomio en caso de que no lo esté

¿Cuál es la raíz restante? x = 1/3 Así las raíces del polinomio son x=1, x=-1, x=-2, x=1/3. 3 𝑥 4 +5𝑥 3 −5 𝑥 2 −5𝑥+2=(𝒙−𝟏)(𝒙+𝟏)(𝒙+𝟐)(𝟑𝒙−𝟏) Este método también se puede usar para realizar una división rápida de p(x) entre q(x) cuando q(x) es de la forma (x - c) o (ax - c). El último número representa el resto de la división. Ejemplo rápido: polinomio anterior 3 𝑥 4 +5𝑥 3 −5 𝑥 2 −5𝑥+2 entre x -1. Simplemente se debe colocar en el lugar donde se prueban las raíces, la raíz del factor por el cual se dividirá el polinomio, en este caso x = 1. Así, el resultado lo representa la tercera línea de la resolución anterior.  3 𝑥 4 +5𝑥 3 −5 𝑥 2 −5𝑥+2 𝑥−1 = 3 𝑥 3 +8𝑥 2 −3𝑥−2

(d) También se pueden recurrir a otros métodos de factorización, como lo son los productos notables y el binomio de Newton. Se deja al lector repasar estos dos puntos. Racionalización Haz clic en la imagen para ver el documento Haz clic en la imagen para ir a la página web

Simplificar 1− 𝑥 𝑥+1 1 𝑥−1 + 1 𝑥+2 + 3 𝑥 2 +𝑥−2 Mínimo común múltiplo (mcm) de varios polinomios: El mínimo común múltiplo de dos polinomios viene dado por el producto de los polinomios primos no comunes y comunes con su mayor exponente. Ejemplo 4.- Aplicaciones a las fracciones algebraicas.   Simplificar 1− 𝑥 𝑥+1 1 𝑥−1 + 1 𝑥+2 + 3 𝑥 2 +𝑥−2 = 𝑥+1−𝑥 𝑥+1 1 𝑥−1 + 1 𝑥+2 + 3 (𝑥−1)(𝑥+2) = 1 𝑥+1 𝑥+2+𝑥−1+3 (𝑥−1)(𝑥+2) = 1 𝑥+1 2𝑥+4 (𝑥−1)(𝑥+2) = 1 𝑥+1 2(𝑥+2) (𝑥−1)(𝑥+2) = 1 𝑥+1 2 𝑥−1 = 2 (𝑥−1)(𝑥+1) = 𝟐 𝒙 𝟐 −𝟏 ¿Qué sucedería si quisiera hallar el mcm de (x-1), (x+1)(x-1)2(x+3)? El mcm sería (x-1)2(x+1)(x+3)

CONJUNTOS Conjunto: Colección de objetos o elementos (números) → Entidad (se representa con { }). Por ejemplo: Conjunto de los números reales. Subconjunto: A es subconjunto de B (A⊂B) si todos los elementos de A pertenecen a B. Un subconjunto de ℝ es también conocido como intervalo.

Clasificación de los intervalos

Operaciones con conjuntos y subconjuntos (intervalos)

Estudie bien el uso de los colores para hallar la respuesta. Ejemplo 5.- Operaciones con intervalos. IMPORTANTE: Estudie bien el uso de los colores para hallar la respuesta. Se recomienda usar un solo color por conjunto, así el conjunto sea la unión de dos intervalos como en el ejemplo (d) (a) (-5,2] ∩ [2,+∞) = {2} (b) (-5,2) ∩ [2,+∞) = ∅ (c) (-∞,-5/4] U(-5/4,+∞) = (-∞, +∞) = ℝ (d){ (-∞,-2) U (-1,2] } ∩ [1, +∞) = [1,2] (-∞,-2) U (-1, +∞) ¿Si en vez de intersección fuese unión? (e){ (-∞,1) U [5/3, +∞)} – {1/2} ∩ (1, 3/2) = ∅

POR HACER GRACIAS POR TU ATENCIÓN EJERCICIOS PROPUESTOS: Resuelve los ejercicios propuestos y verifica tu respuesta con la indicada al final del documento Realiza nuevamente los ejercicios resueltos en la clase por ti mismo Haz clic en la imagen para ver el documento El viernes publicaré la resolución de los ejercicios para que compares tus respuestas SI TIENES ALGUNA PREGUNTA NO DUDES EN CONTACTARME