UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 CÓNICAS MTRO. JOSÉ SALVADOR BELTRÁN LEÓN

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. Cónicas. 1.- Superficie cónica. 2.- Cónicas. 3. Las cónicas como lugares geométricos. 4. Aplicaciones de las cónicas.

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UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 1.- Superficie cónica. Superficie cónica, es la que se genera al girar una recta alrededor de otra a la cual corta. Si se tienen dos rectas, e y g, que se cortan en un punto V (figura 3.1) y hacemos girar la recta g alrededor de e, se obtiene una figura formada por dos conos infinitos opuestos por el vértice. Es la superficie cónica cuya forma depende del ángulo  que forman las rectas e y g.

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 1.- Superficie cónica. La recta e se llama eje, todas las rectas g (la inicial y las infinitas posiciones que ésta ocupa al girar alrededor de e) se llaman generatrices, y V es el vértice de la superficie cónica. Fig. 1: Superficie cónica. α e V V g

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 2.- Cónicas. Cónica, es cada una de las curvas planas que se obtienen al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa por su vértice. El tipo de curva que se obtiene depende del ángulo  de la superficie cónica y del ángulo β que forma el plano P con el eje e.

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 2.- Cónicas. Si β >  entonces el plano corta a todas las generatrices de la superficie cónica y, por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si β ≤  se obtiene una curva abierta. A continuación se exponen con más detalle los distintos casos que se pueden dar según los valores que tome β.

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 2.- Cónicas. Fig. 2: La circunferencia. Si β = 90º la intersección del plano con la superficie cónica es una circunferencia.

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 2.- Cónicas. Fig. 3: La elipse. Si β >  y β < 90º se obtiene una elipse tanto más alargada cuanto menor (más próximo a  ) sea el ángulo β.

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 2.- Cónicas. Fig. 4: La parábola. Si β =  el plano es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curva abierta llamada parábola.

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 2.- Cónicas. Fig. 5: La hipérbola. Si β <  entonces, tanto en los casos en que el plano corta al eje (0 < β <  ) como cuando es paralelo a él (β = 0), se obtiene una curva con dos ramas abiertas llamada hipérbola.

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 3. Las cónicas como lugares geométricos. Salvo la circunferencia, las restantes cónicas se pueden definir como lugares geométricos a partir de un punto fijo F, llamado foco, una recta fija, d, llamada directriz, y su excentricidad, e > 0. Del siguiente modo, el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el cociente de sus distancias a F y a d es igual a e ( ), es una cónica de excentricidad e.

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 3. Las cónicas como lugares geométricos. La excentricidad de una cónica es un número que mide su alargamiento y que está relacionado con los ángulos  y β. La excentricidad de la circunferencia es cero. Es decir, las circunferencias no son nada excéntricas. Las elipses son tanto más excéntricas cuanto más alargadas son: si una elipse es parecida a una circunferencia su excentricidad es próxima a cero, mientras que si es muy alargada, su excentricidad es próxima a uno.

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 3. Las cónicas como lugares geométricos. Todas las parábolas tienen excentricidad uno. Las hipérbolas tienen una excentricidad mayor que uno. d P F d F P d F P Fig. 3.7 Excentricidad.

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 4. Aplicaciones de las cónicas. Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Por ejemplo, las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los automóviles tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa.

UNVERSIDAD DE GUADALAJARA ESCUELA PREPARATORIA No. 2 MTRO. J. S. BELTRÁN L. 4. Aplicaciones de las cónicas. También existe un tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de las hipérbolas. La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

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