DEFINICIONES

“FUNCIONES ANALITICAS” 1.1 Numeros complejos y su algebra. Un numero complejo se compone de la suma de la parte real mas una parte imaginaria. (z= x + iy) y Re {Z}=x (x,y) Im {Z}=y x

a) Polar (Es multievaluada) –Pi a Pi 1.2 Representacion polar Polar o trigonometrica Exponencial z cis z e ^ I Caracteristicas a) Polar (Es multievaluada) –Pi a Pi

Repaso de Geometria Analitica Circunferencia.- Lugar geometrico donde todos los puntos equidistan en un punto fijo centro. Condicion Geometrica Representacion Analitica Centro en el origen x^2 + y^ 2 = p^2 Centro en (h,k) (x-h)^2 + (y-k)^2 = p^2 Ecuacion general x^2 + y^2 +Dx+Ey + F=0 Circunferencia real Si D^2+E^2- 4F > 0 Un punto Si D^2+E^2- 4F = 0 Ningun lugar geometrico Si D^2+E^2- 4F < 0

1.3 Conjuntos en el plano complejo *Conjunto de puntos.- Cualquier coleccion de puntos en el plano complejo. *Punto.- Elemento del conjunto. *Entorno.- Conjunto de puntos situados alrededor de un punto con radio. *Conjunto abierto.- Vecindad cuyos puntos pertenecen todos al conjunto. *Conjunto conexo.- Dos puntos cualquiera del conjunto y que una recta los une. *Dominio.- Conjunto abierto conexo. *Puntos interior, exterior y de frontera.- Interior puntos que pertenencen todos al conjunto. Frontera puntos pertenecientes si y no al conjunto. Exterior cuando no es ni el primero ni el segundo. *Region.- Union de un dominio.

ECUACION LUGAR GEOMETRICO y Re (z) = 1 x=1 x 1 Re (z)<1 x x<1 -3<x<2 -3<Re (z)<2 -3 2 x<=y Re (z)<= Lm (z)

! z != 1 x^2+y^2= 1 ! z !<1 x^2+y^2<1 ! z-2!= 4 !x+yi-2!=4 (x-2^2)+y^2 =4 6 h=2 k=0 &=4

Graficar f(z) en el plano w si F (z)=z+1 b) f (z)= z W=z+1 z4 z3 Plano w Plano z z1 z2 z1=( 1+i)= (1-i) w1=1-i w4 w3 z2=(2+i)= (2-i) w2=2-i z3= (1+2i)= 1-2i z4= (2+2i)= 2-2i Plano w w1 w2 z1= 1+i w1=(1+i)+1=2+i z2= 2+i w2=(2+i)+1=3+i z3=1+2i w3=(1+2i)+1=2+2i z4=2+2i w4=(2+2i)+1=3+2i

c) z1=(1+i)^2= 1+2i-1=2i z2=(2+i)^2 = 4+4i-1=3+4i z3=(2+2i)^2=4+8i-4=8i z4=(1+2i)^2= 1+4i-4= -3+4i

1.4 “Funciones continuas de una variable” Definicion.- Por una funcion definida sobre el plano z se entiende por un una regla que asigna a cada z un unico numero complejo w. W= f(z) Z= variable compleja F(z) o w= funcion compleja “Procesamiento digital de señales = pds” y w= f(z) z mapeo w y=v x=u Re (w)=u w=u +iv Lm (w)=v

1.5 “Condiciones necesarias para la analiticidad” * Definicion en el plano complejo Lim f(z+ z) – f(z) O z 1.6 “Condiciones suficientes de la analiticidad” Definicion de analiticidad.- Se dice que una funcion f(z) es analitica en D si f(z) esta definida y es diferenciable en todos los puntos de D. Teorema de Cauchy-Riemann dado f(z)= u (x,y) + iv (x,y) se dice que la funcion es diferenciable si :

1.7 “Funcion exponencial y potencia compleja” * Funcion exponencial compleja ez = ex+iy = ex (Cos y + i Sen y) donde: ez = Debe reducirse a ex cuando z= x ez Debe se r una funcion entera es decir analiticamente para toda z. (ez) = ez

1.7 “Funciones trigonometricas e hiperbolicas complejas” Cos z= ½ (eiz + e-iz) Sen ½ i(eiz + e-iz) Asi como en calculo: Tan z= sen z/ cos z Ctan z= cos z/ sen z Sec z= 1/ cos z Csc z= 1/sen z b) Funciones Hiperbolicas Cos hz =1/2(ez + e-z) Sen hz= ½(ez + ez) (Cos hz)1= Sen hz (Sen hz )1= cos hz Tan hz = Sen hz/ Cos hz CTan hz = Cos hz/ Sen hz Sec hz= 1/ Cos hz Csc= 1/ Sen hz Las funciones hiperbolicas estan relacionadas por: Cos hiz= Cos z y Sen hiz=I Sen z De forma reciproca: Cos iz= Cos hz y Sen iz= iSen hz

UNIDAD 2 INTEGRACION COMPLETA 2.1 Integrales de linea En el caso de una integral compleja se integra a lo largo de una curva C en el plano complejo, denominada trayectoria de integracion. Esta curva se puede representar de la siguiente forma z(t)= x(t) + iy(t) en el intervalo a<t<b Donde t es el parametro real. Ejemplo : x= t y = 3t Sustituyendo y=3x Linea recta

DEFINICION EXPRESION DE UNA INTEGRAL DE UNA LINEA COMPLEJA Donde las longitudes z k de las cuerdas tienden a cero cuando el numero n de subdivisiones de c tiende a infinito.

METODOS DE INTEGRACION Uso de una representacion de la trayectoria.- (Teorema) Sea C una trayectoria suave por secciones, representada por z(t) donde a<t<b. Sea f(z) una funcion continua sobre c entonces la integral: Donde: Z’(t)=x’(t) + iy (t)

Para el plano real Pasos: *Representar c en la forma z(t) *Capturar z’(t) *Sustituir z(t) para toda z en f(z) * Integrar

Metodo 2 Teorema de integracion de funciones analiticas Sea f(z) analitica en un dominio D simplemente conexo. Entonces en el dominio D existe una integral indefinida de f(z); es decir; una funcion analitica F(z) tal que F’(z)=f(z) en D que une dos puntos Z0 y Z1 en D.

2.2 Teorema de Green y sus consequences Definicion :Contorno cerrado simple. Es un contorno que genera dos dominios uno acotado y otro no acotado, ambos dominios tienen al contorno como frontera. Se dice que un dominio acotado es el interior del contorno. Contorno simple Cerrado doble cerrado Teorema de Green en el plano Sean P(x,y) y Q(x,y) y sus primeras derivadas parciales funciones continuas en una region R definida por el interior de un contorno cerrado simple C mas los puntos de C entonces:

2.3 Teorema de Cauchy-Gausart (Teorema fundamental de la variable compleja) Sea f diferenciable en un dominio simplemente convexo D. Entonces dado un contorno cerrado simple C contenido en D se tiene: Se tiene que observar que sea cerrada y analitica para poder aplicar el teorema.

Consecuencias del teorema de Cauchy * Independencia de la trayectoria *Teorema de deformacion

2.4 Formula Integral de Cauchy Teorema Sea f (z) analitica en un dominio simplemente conexo, entonces para cualquier punto Zo en ese dominio y cualquier trayectoria simple cerrada C que se encierre a Zo se tiene :

2.4.1 Cotas para el valor absoluto de Integrales A menudo se decea encontrar un numero positivo que sea mayor o igual que el modulo de la integral incognita. Donde: L= Longitud de C M= Una cte tal que ! f(z)!<=M en todos los puntos de C

2.5 Teorema de Lioville y el principio del maximo Si el valor absoluto de un a funcion entera esta cotada en todo punto del plano Z entonces la funcion es constante. Teorema (Formula integral de Cauchy para orden superior)

Unidad 3 Series Infinitas Series de Taylor Teorema de Taylor. Sea f(z) una funcion analitica en un disco abierto !Z – Zo !< R centrado en Zo. Entonces en todo punto Z de este disco f(z) admite la reprentacion en serie.

! Z – Zo ! < R Si Zo = 0 la serie se llama Serie de Mauclaurin. La expancion en serie de potencias es llamada desarrollo en serie de Taylor de la funcion compleja f(z) alrededor de Zo. Region de convergencia de la serie de Taylor. Cuando se desarrolla f(z) en una serie de potencias alrededor de Zo, el radio de convergencia de la serie sera distinta de Zo al punto mas cercano en donde f(z) no es diferenciable. ! Z – Zo ! < R

Ejemplo *Encontrar el desarrollo de Taylor de ez alrededor de i. * ez-i+i = eiez-I = ei (z-i) n

Obtener la serie de Maclaurin de la siguiente funcion ez Si z=0 1+

3.1.2 Metodos practicos a) Ecuaciones diferenciales Encontrar la serie de Mauclaurin de f(z)=Tan z f’ (z)=Sec z= 1 f’’ (z)= 2 Tan z Sec2 z= 2 Tan z (Tan z2+1)= 2 Tan 3 z + 2 Tan z= 0

b) Sustitucion Serie de Maclaurin f(z)=

c) Usando la serie geometrica Alrededor de -2i F(z)=

d) Serie Binomial, reduccion fracciones parciales Ejemplo

3.2 Convergencia Uniforme Convergente Una sucesion convergente z1,z2,z3,..zn que tiene como limite “c” es Lim zn = c Divergente Sucesion que no converge. Convergencia absoluta Se denomina absolutamente convergente. Condicionalmente convergente Z1+z2.. Zn converge pero |z1| + |z2|+… diverge entonces se dice que la serie es condicionalmente convergente. Convergencia Uniforme Se dice que la serie cuya enesima suma parcial es Sn(z), converge uniformemente a z a Sn(z) en la region R si para todo E>0 existe un numero N que no depende de z tal que para todo z de R.

3.3 Serie de Laurent Sea f(z) una funcion analitica en un dominio anular R1=|z-z0<R2| entonces, en todo punto z de ese dominio f(z) admite la siguiente representacion f(z)= a0= bo=

3.4 Singularidades Aisladas Donde la funcion solo en el numerador se hace cero. F(z)= 0 Singularidades aisladas cuando f(z)=inf (polos)

Unidad 4 Integracion de contornos 4.1 Residuos Definicion.- Sea una funcion continua singularidad (Zo) aislada y desarrollo de Laurin f(z)= Sum bn (Z -Zo) en algun anillo o<!Z -Zo! < R, entonces el coeficiente b1 se llama Residuo y se denota Res (f,Zo), es decir b1= Res (f,Zo).

b) Obtencion de Residuo Metodo 1 * Para polos simples. Res f(z)= b1 Lim (Z- Zo) f(z) Ejemplo: f(z)= 9z + i / z(z2+1) Polos (0)(-i)(i) 9(0) + i / 0(02+1)= i 9(i) + i / i(i2+1)= -5i 9(-i) + i / -i(-i2+1)= 4i

Metodo 2 Res f(z)= Res p(z) /q’(z) f(z)= 9z + i / z (z+i) (z-i) b1= Res f(z)= Res 9z + i/ 3z2 +1 9(-i) + i/ 3(-i)2 +1= 4i 9(i) + i/ 3(i)2 +1= -5i 9(0) + i/ 3(0)2 +1=i

Metodo 3 Polos “m” esimo orden Res f(z)= 1/(m-1)! Lim d m-1/ dz m-1 [(Z-Zo) m f(z)] Ejemplo: f(z)= 50z / (z+4)(z-1)2 Polos (-4)(-1)(1) b1= Lim 50(-4) / (-4+4)(-4-1)2= -8 b2= Lim 1/(2-1)! Lim d 2-1/ dz 2-1 [(Z-1)2 50z / (z+4)(z-1)2 ] = 8

C )Teorema del residuo f(z) dz=2TI Sum Res f(z) Ejemplo 5z -2 / z(z-1) dz = 10 TI I Polos (0)(1) b1= Res f(z)= Res 5(0) -2 / 0(0-1)= 2 b2= Res f(z)= Res 5(1) -2 / 1(1+1)= 3 2TIi (Sum f(z))= 10 TIi

4.2 Evaluacion de integrales reales definidas. * Las integrales del tipo I= in f (cos o, sen o) do en donde: * F (cos o, seno) es una funcion racional de cos o sen o y es finita sobre el intervalo de integracion. * Cos o = ½ (e io+ e -io)= ½ (z+z-1) * Sen o = ½ (e io + e -io)= ½ (z – z-1) * Se observa que el integrando se vuelve una funcion racional de z y la integral asume la forma: * I= IN f(z) dz/iz

4.3 Evaluacion integrales reales impropias * Las integrales del tipo IN f(x)dx se llaman impropias y de pueden definir en terminos de integrales propias. * IN f(x)dx= Lim IN f(x)dx * Siempre y cuando existan los limites y f(z) debe ser una funcion racional real cuya denominador es diferente de cero y su grado es por lo menos 2 unidades mayor que el grado del numerador. Asi el limite existe. Como f(x) es racional tiene infinidad de polos en el plano superior. Si R es suficientemente grande entonces abarca a todos esos polos y entonces la integral se convierte: * IN f(x)dx= 2TIi Sum Res f(z) * Ejemplo: IN x2 -1 / x4 +5x2+4 dx = TI/6 * Polos (i)(2i)(-1)(-2i) * in x2 -1 / x4 +5x2+4 dx = 2TIi [Res f(x) + Res f(z)]= 2TIi [5/12i -1/3i]= TI/6

4.4 Integrales con polos sobre el eje real * Teorema: Si f(z) tiene un polo simple en z=a sobre el eje real entonces: * Lim IN f(z)dz= TIi Res f(z) * Es posible combinar ambas integrales * In f(x)dx= 2TIi Sum Res f(z) + TIi Res f(z) * Que solo es valida para f(x) racional con grado q>= (p+z) donde f(x)= f(x)/ q(x)

Unidad 5 Mapeo Conforme 5.1 Consideraciones geometricas El mapeo se denomina conforme si preserva la magnitud y la direccion de los angulos entre curvas orientadas. Teorema (Mapeo conforme) El mapeo definido por una funcion analitica f(z) es conforme excepto en puntos criticos es decir, en puntos donde la derivada f’(z) es cero.

5.2 Transformaciones fraccionales linelaes * W= az + b / cz + d transformacion de Mobius * Exiten casos especiales a) w= z+ b b) w= az * Traslacion !a!=1 rotacion a>1 expancion 0<a>1 contraccion C) w= az+b w=1/2 inversion “f(z)”