@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 U. D. 9 * 4º ESO E. AC. GEOMETRÍA ANALÍTICA

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 U. D. 9.1 * 4º ESO E. AC. POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 POSICIÓN RELATIVA DE PUNTOS Y RECTAS Un punto P(a,b) pertenece a la recta r: A.x + B.y + C = 0 (r: y = m.x + n) cuando cumple con dicha ecuación: A.a + B.b + C = 0 ( b = m.a + n) En caso contrario el punto es exterior a la recta (no pertenece a ella). EJEMPLOS 1.-P(5, 1) y r: y = x – 4  P pertenece a r 2.-Q(2,– 1) y r: x + 3.y – 5 = 0  Q no pertenece a r 3.-R(8, – 3) y r: y = x / 2 – 7  R pertenece a r 4.-S(– 1, 1) y r: x – y + 2 = 0  S pertenece a r 5.-T(12 / 21, 3) y r: y = – 7.x /  T no pertenece a r POSICIÓN DE RECTA Y PUNTO

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Sea r: A.x + B.y + C = 0  r: y = m.x + n Sea s: A’.x + B’.y + C’ = 0  s: y = m’.x + n’ RECTAS PARALELAS Dos rectas serán PARALELAS si tienen la misma inclinación o pendiente: m = m’  A / A’ = B / B’ <> C / C’ EJEMPLOS 1.-r: 2.x + 3.y – 5 = 0s: 2.x + 3.y + 4 = 0 2.-r: y = 3.x – 4 s: y = 3.x r: x – y + 2 = 0 s: y – x + 1 = 0 4.-r: y = – 7.x + 3s: y = – 7.x – 1 5.-r: 3.x – 4.y – 2 = 0s: – 3.x + 4.y – 2 = 0 POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Sea r: A.x + B.y + C = 0  r: y = m.x + n Sea s: A’.x + B’.y + C’ = 0  s: y = m’.x + n’ RECTAS PARALELAS Dos rectas serán COINCIDENTES si tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen: m = m’ y n = n’  A / A’ = B / B’ = C / C’ EJEMPLOS 1.-r: y = 3.x – 4 s: y = 3.x – 4 2.-r: 2.x – 3.y – 5 = 0s: 4.x – 6.y – 10 = 0 3.-r: x – y + 2 = 0 s: y – x – 2 = 0 4.-r: y = – 7.x + ks: y = – 7.x + k 5.-r: x – 2.y – 2 = 0s: 3.x – 6.y – 6 = 0 POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Sea r: A.x + B.y + C = 0  r: y = m.x + n Sea s: A’.x + B’.y + C’ = 0  s: y = m’.x + n’ RECTAS SECANTES Dos rectas serán SECANTES si NO tienen la misma pendiente. m <> m’  A / A’ <> B / B’ La intersección de dos rectas secantes determina un punto. Las coordenadas de dicho punto es la solución del sistema. EJEMPLOS 1.-r: 2.x + 3.y – 5 = 0s: 2.x – 3.y – 5 = 0 2.-r: y = x – 4 s: y = – x r: x – y + 2 = 0 s: 2.x + 2.y + 4 = 0 4.-r: y = – 7.x + 3s: y = – 5.x + 3 POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Sea r: A.x + B.y + C = 0  r: y = m.x + n Sea s: A’.x + B’.y + C’ = 0  s: y = m’.x + n’ RECTAS PERPENDICULARES Una particularidad de rectas secantes muy importante es cuando son perpendiculares, en cuyo caso se cumple: m.m´= – 1  A.B / A´.B´ = – 1 EJEMPLOS 1.-r: y = x – 4 s: y = – x r: x + 3.y – 5 = 0s: 3.x – y – 5 = 0 3.-r: y = x / 2 – 7 s: y = – 2.x r: x – y + 2 = 0 s: 5.x + 5.y + 10 = 0 5.-r: y = – 7.x / 4 + 3s: y = 12.x / / 3 POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 r s r s r s r r≡s GRÁFICAS DE POSICIÓN RELATIVA

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.9 Ejemplo 1 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto A’(3, 4) y que es paralela a la recta r cuya ecuación continua es: x - 4 y + 5 r: = De la ecuación dada obtenemos su vector director: v=(3,2) Si dos rectas son paralelas, el vector director es el mismo. Hay que hallar la ecuación de la recta que pasa por A’(3, 4) y v=(3, 2) y - 4 = 2/3.( x – 3 )  3.y - 12 = 2.x – 6  s: 2.x – 3.y + 6 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’(-2, 5) y que es paralela a la recta r: y = 3.x - 4 En la ecuación general dada: m = 3 La pendiente m’ de la recta s es la misma al ser paralelas: m’ = m = 3 Por la ecuación punto-pendiente: y - 5 = 3.( x + 2 )  y - 5 = 3.x + 6  s: 3.x – y + 11 = 0

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.10 Ejemplo 3 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto A’(- 3, 2) y es paralela a la recta r cuya ecuación general es: r: 5.x – 4.y + 5 = 0 Despejamos y en la ecuación dada: y = (5.x + 5) / 4 = (5/4).x + (5/4)  De donde m = 5/4 Al ser paralelas: m’ = m = 5/4 Por la ecuación punto-pendiente: y - 2 = (5/4).( x + 3 )  4.y - 8 = 5.x + 15  s: 5.x – 4.y + 23 = 0 Ejemplo 4 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’(1, 1) y que es perpendicular a la recta r: y = 3.x - 4 En la ecuación general dada: m = 3 La pendiente m’ de la recta s es: m’ = - 1 / m = - 1 / 3 Por la ecuación punto-pendiente: y - 1 = (- 1/3).( x - 1)  3.y - 3 = - x + 1  s: x + 3.y – 4 = 0

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.11 Ejemplo 5 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto O(0, 0) y es perpendicular a la recta r cuya ecuación general es: r: 5.x – 4.y + 5 = 0 Despejamos y en la ecuación dada: y = (5.x + 5) / 4 = (5/4).x + (5/4)  De donde m = 5/4 Al ser perpendiculares: m’ = - 1 / m = - 1 / (5/4) = - 4 / 5 Por la ecuación punto-pendiente: y - 0 = (- 4 / 5).( x - 0 )  5.y = - 4.x  s: 4.x + 5.y = 0 Ejemplo 6 Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’( - 2, 7) y que es perpendicular a la recta r: (x, y) = (3, - 4 ) + t.(- 7, 2) En la ecuación vectorial dada: v=(- 7, 2 )  m = b/a = 2/(-7) = - 7 / 2 La pendiente m’ de la recta s es: m’ = - 1 / m = - 1 / (- 7 / 2) = 2 / 7 Por la ecuación punto-pendiente: y - 7 = (3/7).( x + 2)  7.y - 49 = 3.x + 6  s: 3.x – 7.y + 55 = 0